Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 29
Текст из файла (страница 29)
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫопыта123456789ЯдропланаЗвездныеточкиЦентрпланаx0+1+1+1+1+1+1+1+1x1-1+1-1+1+α-α00x2-1-1+1+100+α-αx1x2+1-1-1+10000x12+1+1+1+1α2α200x22+1+1+1+100α2α2yjy1y2y3y4y5y6y7y8+100000y9Аналогичным образом составляются планы и для большего числа факторов.6.4.1. Ортогональные планы второго порядкаВ общем виде план, представленный в табл.6.8, неортогонален, так какn∑xj =120jxij ≠ 0;n∑xj =12ij2xuj ≠ 0, i ≠ u .(6.26)Приведем его к ортогональному виду, для чего введем новые переменные (преобразования для квадратичных эффектов):n2xi' j = xi j −При этом∑x2i jj =12nn2= xi j − x i .nn∑ x 0 j x i j = ∑ ( x i j − x i ) = ∑ x i j − n x i = 0.'j =122j =122j =1Тогда уравнение регрессии будет записано какk)y = b0 '+ ∑ bi xi +i =1k∑bi ,u =1ki u x i x u + ∑ bi i ' x i '.i =1Композиционные планы легко привести к ортогональным, выбирая звездное плечо α.
В табл. 6.9 приведено значение α для различного числа факторовk и числа опытов в центре плана n0.Таблица 6.9Значения звездных плеч в ортогональных планах второго порядка1826. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫЧисло опытовв центреплана n012345678910Звездное плечо α при различном числе факторов kk=21,0001,0771,1481,2141,2671,3201,3691,4141,4541,498k=31,2151,2851,3531,4141,4711,5251,5751,6231,6681,711k=41,4141,4711,5461,6061,6641,7181,7721,8191,8681,913k=5 *1,5461,6061,6641,7181,7721,8191,8681,9131,9572,000*) В ядре полурепликиВ частности, ортогональный план второго порядка для k=2 и n0=1 представлен в табл. 6.10, а его геометрическая интерпретация – на рис.
6.3, а.Представленный на рис.6.3, а и в табл. 6.10 прямоугольный (квадратный)план эксперимента для модели второго порядка работоспособен, хотя и несколько избыточен (9 опытов для определения 6 коэффициентов). Благодарятрем избыточным опытам, он позволяет усреднить случайные погрешности иоценить их характер.Таблица 6.10Ортогональный план второго порядкаНомеропыта1Ядро 2плана 345Звезд- 6Ные7точки 8Центр 9планаx0+1+1+1+1+1+1+1+1x1-1+1-1+1α=+1α=-100+10Факторыx2x1x2-1+1-1-1+1-1+1+100000α=+10α=-10092В этой таблице x'i j = xi j −∑xj =19x1+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3+1/3-2/3-2/3x2’+1/3+1/3+1/3+1/3-2/3-2/3+1/3+1/3Результат yjy1y2y3y4y5y6y7y8-2/3-2/3y9’2ij22= xi j − .3В силу ортогональности матрицы планирования все коэффициентыnbi =∑xj =1ijyjn∑xj =1n2ij; bi i ' =∑xj =1ij'⋅ y jn∑ x'j =12ijn∑183 ( xi j xu j ) y j; bi u =j =1.n∑ (xj =1ijxi u ) 2(6.27)6.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫуравнения регрессии b определяются независимо один от другого по формуламЗдесь i – номер столбца в матрице планирования; j – номер строки; суммы взнаменателях различны для линейных, квадратичных эффектов и взаимодействий.Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии следующие:2S bi = S 2 воспn∑x2ijj=12; S ' bii = S 2 воспn∑xj=1'ij22; S biu = S 2 воспn∑ (xj=1ijx u j )2 .(6.28)Следует особо отметить, что коэффициенты уравнения регрессии, получаемые с помощью ортогональных планов второго порядка, определяются сразной точностью (см.
уравнение (6.28)), в то время как ортогональные планыпервого порядка обеспечивают одинаковую точность коэффициентов, т.е. план,представленный в табл. 6.10, являющийся ортогональным и обеспечивающийнезависимость определения коэффициентов b, не является ротатабельным.В результате расчетов по матрице с преобразованными столбцами дляквадратичных эффектов получим уравнение регрессии в видеkkk)22y = b0 '+ ∑ bi xi + ∑ bi u xi xu + ∑ bi i ' ( xi − x i ).i =1i ,u =1(6.29)i =1Для преобразования к обычной форме записи следует перейти от коэффициента b0’ к коэффициенту b0, используя выражениеkb0 = b0 '−∑ b'i i x i .2(6.30)i =1При этом дисперсия этого коэффициента рассчитывается по следующему соотношению:kS b 0 = S b '0 + ∑ x i ⋅S b 'ii .2222(6.31)i =1В дальнейшем, зная дисперсию воспроизводимости, проверяют значимость коэффициентов и адекватность уравнения:k)y = b0 + ∑ bi xi +i =1kki ,u =1i =1∑ biu xi xu + ∑ bii xi .2(6.32)1846.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫЗначимостьt i = biкоэффициентовпроверяетсяпокритериюСтьюдентаS bi . Коэффициент значим, если t i > t α, m , где m – число степеней сво-боды дисперсии воспроизводимости.АдекватностьуравненияпроверяетсяпокритериюФишера2 S2F = S адвосп . Уравнение адекватно, если составленное таким образом F-отношение меньше теоретического: F < Fα; m1; m2 , где m1=n-l – число степенейсвободы дисперсии адекватности; m2 – число степеней свободы дисперсиивоспроизводимости; l – число коэффициентов в уравнении регрессии второгопорядка, равное числу сочетаний из k+2 по 2, т.е.l=(k + 2)(k + 1).2(6.32а)6.4.2. Ротатабельные планы второго порядкаКак мы установили, план второго порядка, представленный в табл.6.10,не обладает свойством ротатабельности.
Ротатабельным называют планиро)вание, для которого дисперсия отклика (выходного параметра) y , предсказанного уравнением регрессии, постоянна для всех точек, находящихся на равномрасстоянии от центра эксперимента. Экспериментатору заранее не известно,где находится та часть поверхности отклика, которая представляет для негоособый интерес, поэтому следует стремиться к тому, чтобы количество информации, содержащееся в уравнении регрессии, было одинаково для всех равноотстоящих от центра эксперимента точек. Действительно, удаление от центраточек 5,6,7,8 в2 =1,414 раза меньше, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 (см. рис.6.3, а), и, следовательно коэффициенты уравнения регрессии определяются сразличной дисперсией. Бокс и Хантер предложили ротатабельные планы 2-гопорядка.
Для того чтобы композиционный план был ротатабельным, величинузвездного плеча α выбирают из условияα =2k4при k<5 иα =2k −14при k≥5или в общем случае185(6.32б)6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫα =2k− p4,где k – число факторов; р – дробность реплики (для ПФЭ р=0, для полурепликир=1, для четвертьреплики р=2 и т.д.).Число точек в центре плана n0 увеличивают. В табл.
6.11 приведены значения α и n0 для различного числа независимых факторов.Таблица 6.11Значения звездных плеч и числа точек в центре ротатабельных плановПараметрпланаЯдро планаЗвездноеплечоЧисло точек вцентре плана n0Значения параметров при числе независимых факторов2345666772223242525-12626-12727-11,4141,682562,00 2,378 2,007102,8282,3783,3332,82815921146Поясним идею выбора значения звездного плеча α на примере матрицыротатабельного планирования второго порядка для k=2, представленной втабл.
6.12.Размещение точек этого плана показано на рис. 6.3,б. Для обеспеченияротатабельности точек 5, 6, 7, 8 необходимо удалить их от центра плана нарасстояние α в2 =1,414 раз большее, чем удаление точек 1, 2, 3, 4 от осей х2и х1. В результате этого все точки плана (табл. 6.12) оказываются лежащими наокружности. Учитывая существенно большее влияние на функцию отклика случайной ошибки в точке 9, рекомендуется ставить в этой точке плана не один, анесколько дублирующих опытов (в данном случае опыты с 9 до 13) для усреднения полученных результатов и для осуществления статистического анализарезультатов всего эксперимента в целом.Таблица 6.12Ротатабельный план второго порядкаНомеропытаЯдропланаЗвезд-12345x0+1+1+1+1+1x1-1+1-1+1+1,414Факторыx2x1x2-1+1-1-1+1-1+1+1001862x1+1+1+1+122x2+1+1+1+10Результатyjy1y2y3y4y56.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫныеточки678910111213Центрплана+1+1+1+1+1+1+1+1-1,41400000000+1,414-1,41400000000000002000000002200000y6y7y8y9y10y11y12y13Учитывая специфический характер ротатабельного плана в общем виде,можно также получить формулы для расчета коэффициентов уравнения регрессии и их дисперсий:b0 =kA⎡ 2()()(iiy )⎤⎥;λ+−λ2k2oy2c∑⎢n⎣i =1⎦(I)b i = (c / n )(iy );(II)bii =kA⎡ 22()()()(iiy ) − 2λc(oy)⎤⎥;+λ−+−λc[k2k]iiyc1∑⎢n⎣i =1⎦(III)b iu =c2(iuy );nλ(IV)S2b0 =2Aλ2 (k + 2) 2Sвосп ;n(V)S 2bii =A[ k + 1)λ − (k − 1)c 2 ] 2S восп ;n(VI)S2biu =c2 2Sвосп ,λn(VII)где()n(oy ) = ∑ x 0 j y j ;j=1n(iy ) = ∑ x ij y j ;j=1C=n;n∑xj=1n(iuy ) = ∑ x ij x uj y j ;(VIII)j=1n(iiy ) = ∑ x ij2 y j ;(IX)j=1A=2ij1871;2λ[(k + 2 )λ − k ](X)6. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫλ=nkk (n1 + n 0 )=.(k + 2) n1 (k + 2) n1(XI)Здесь n0 – число опытов в центре плана; n1 – число остальных опытов.Матрица ротатабельного планирования, оказывается неортогональной,так какn∑ x 0 j ⋅ x uj ≠ 0;2j=1n∑xj=12ij2⋅ x uj ≠ 0; i ≠ u.(6.33)Следовательно, если какой-либо из квадратичных эффектов оказалсянезначимым, то после его исключения коэффициенты уравнения регрессии необходимо пересчитать заново.При использовании ротатабельных планов второго порядка дисперсиювоспроизводимости можно определить по опытам в центре плана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
