Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При планировании опытов используем методику проведения дробного факторного эксперимента (ДФЭ) первого порядка сдвухуровневым варьированием факторов.Перед разработкой плана эксперимента на основе априорной информации были выявлены факторы, влияющие на величину давления в томильнойзоне печи. К числу таких факторов относятся расходы топлива на каждую зонунагрева и угол поворота дымового клапана. Расходы воздуха на каждую зону в1756. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫкачестве факторов не фигурировали, поскольку схема управления горением топлива автоматически меняет расход воздуха при изменении расхода газа.Обозначим факторы: X1 — расход газа в томильной зоне, м3/ч; X2 — расход газа во второй сварочной зоне, м3/ч; X3 — расход газа в первой сварочнойзоне, м3/ч; X4 — расход газа в нижней сварочной зоне, м3/ч; X5 — положениедымового клапана, % хода исполнительного механизма (рис.6.2).Рис.6.2. Положение факторов (X1, ..., X5) и отклика (Y) припроведении исследования на методической печиРеализация ПФЭ в этом случае при варьировании всех факторов на двухуровнях потребовала бы постановки 25=32 опытов.Будем предполагать, что эффекты взаимодействия факторов в исследуемом объекте маловероятны и пренебрежимо малы.
Воспользуемся 1/4 репликой ПФЭ, т.е. ДФЭ типа 25-2, где формально 2 фактора заменены соответствующими произведениями остальных факторов (x4=x1 x2, x5=x1 x2 x3 ). Это позволит сократить число опытов до 23=8. Уровни варьирования факторов представлены в табл. 6.6.Таблица 6.6Уровни варьирования факторовУровнифакторовОсновной (нулевой)НижнийВерхнийИнтервал варьированияX1,м3/ч5250400065001250X2,м3/ч390031004700800176ФакторыX3,X4,3м /чм3/ч26501100175070035001500900400X5,% хода ИМ745098246. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫВ табл. 6.7 приведены матрица планирования ДФЭ 25-2 и результаты эксперимента — значения выходной переменной (давления в томильной зоне методической печи).Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 4.5.1.
Расчет построчных средних:yj =y j 1 + y j 2 + ... + y j m *m*,где m* — число повторных опытов (m*=2). Например,y1 =(−2,6) + (−2,5)= −2,55.2Результаты расчета представлены в табл. 6.7.Таблица 6.7Матрица ДФЭ 25-2 с двумя параллельными опытамиФакторы (кодированные значения)X011111111X11-11-11-11-1X211-1-111-1-1X31111-1-1-1-1X41-1-111-1-11X51-1-11-111-1Переменная состояния(отклик), кПаОпы ОпыСредМот1т2неедель)yjyjy1Y2-2,5-2,6-2,55-2,412,22,32,252,265,14,74,904,74-1,10,5-0,300,082,12,32,202,26-2,0-2,4-2,20-2,410,00,80,400,084,25,14,654,74ПострочнаядисперсияS2j0,0050,0050,0801,2800,0200,0800,3200,4052.
Определение построчных (выборочных) дисперсий:m*S 2j =∑(yi =1ji− y j )2m * −1; S12 =(−2,5 − (−2,55)) 2 + (−2,6 − (−2,55)) 2= 0,005.2 −1Аналогично S22=0,005; S32=0,08; S42=1,28; S52=0,02; S62=0,08; S72=0,32;S82=0,405. Сумма построчных (выборочных) дисперсий:SΣ2=0,005+0,005+0,08+1,28+0,02+0,08+0,32+0,405=2,195.1776.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ3. Определение однородности дисперсий по критерию Кохрена:G эксп =S 2j max2ΣS=1,28= 0,5831.2,195Далее по табл. П.9 находим Gα;m;n. Для α=0,05, m=m*-1=2-1 и n=8 значение G0,05;1;8=0,6798. Поскольку Gэксп< Gтеор, то дисперсии однородны.4. Определение коэффициентов в уравнении регрессии:n∑yb0 =⋅ x0 jjj =1nn∑yb1 =nn∑yb2 =nnb3 =∑yjj =1b4 =∑yjj =1b5 =∑yj =1j=− 2,55 + 2,25 − 4,9 + 0,3 + 2,2 − 2,2 − 0,4 − 4,65= −1,244;8=− 2,55 + 2,25 + 4,9 − 0,3 − 2,2 + 2,2 − 0,4 − 4,65= −0,094;8=− 2,55 − 2,25 − 4,9 − 0,3 + 2,2 + 2,2 − 0,4 + 4,65= −0,169;8=− 2,55 − 2,25 − 4,9 − 0,3 − 2,2 − 2,2 + 0,4 − 4,65= −2,331.8⋅ x4 jnn− 2,55 − 2,25 + 4,9 + 0,3 + 2,2 + 2,2 + 0,4 − 4,65= 0,069;8⋅ x3 jnn=⋅ x2 jjj =1− 2,55 + 2,25 + 4,9 − 0,3 + 2,2 − 2,2 + 0,4 + 4,65= 1,169;8⋅ x1 jjj =1=⋅ x5 jn5.
Проверка значимости коэффициентов регрессии. Предварительно определим дисперсию воспроизводимости (дисперсию отклика):n2S восп∑Sj=1n2j=S Σ2 2,195== 0,2744.n8Дисперсия коэффициентов уравнения регрессииS 2b =2S восп0,2744== 0,01715; S b = S 2b = 0,131.n⋅m*8⋅ 2Находим значение доверительного интервала для коэффициентов регрессии:1786.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ∆b j = t α; m ⋅ S b .Здесь m=n(m*-1)=8(2-1)=8, тогда теоретическое значение критерия Стьюдента t0,05;8=2,31 (можно рассчитать, используя функцию электронных таблицMicrosoft Excel СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8)=2,31), откуда ∆bj=2,31⋅0,131=0,303. Изсопоставления доверительного интервала ∆bj с абсолютными значениями коэффициентов модели следует, что ⏐b1⏐=0,069<0,303; ⏐b3⏐=0,094<0,303 и⏐b4⏐=0,169<0,303. Эти коэффициенты оказались незначимы, а остальные зна-чимы.
Таким образом, окончательное уравнение регрессии запишется в виде)y =1,169-1,244X2-2,331X5.Результаты расчета выходных параметров по уравнению полученной модели)y i занесены в табл. 6.7.6. Проверка адекватности полученной модели. Предварительно определим дисперсию адекватности:S ад2 =n)m * ∑ ( y i − yi ) 2i =1n−l.В нашем случае m*=2; n=8; l=3, и в результате имеемS ад2 =[2(−2,55 + 2,41) 2 + (2,25 − 2,66) 2 + (4,9 − 4,74) 2 + ( −0,3 − 0,08) 2 +8−3+ ( 2,2 − 2,26) 2 + ( −2,2 + 2,41) 2 + (0,4 − 0,08) 2 + (4,65 − 4,74) 2 ] = 0,1386.С учетом ранее найденной выборочной дисперсии SΣ2=2,195 определяем дисперсию воспроизводимости:2S восп=S Σ2 2,195== 0,274.n8Экспериментальное значение критерия Фишера следующее:Fэксп =S ад2S2восп=0,1386= 0,505.0,2744Теоретическое значение критерия Фишера Fα;m1;m2 при α=0,05 можно определить по справочнику [11], табл.
П.4 или с помощью встроенной функции элек1796. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫтронных таблиц Microsoft Excel FРАСПОБР. Для m1=(n-l)=(8-3)=5 и m2=n(m*1)=8(2-1)=8 значение F0,05;5;8=3,69 (FРАСПОБР(0,05;5;8)=3,69). Поскольку Fэксп<Fтеор, то полученная модель адекватна.6.4.
Планы второго порядкаОписание поверхности отклика полиномами первого порядка часто оказывается недостаточным. Во многих случаях удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго порядка(6.7).В этом случае требуется, чтобы каждый фактор варьировался не менеечем на трех уровнях. В этом случае полный факторный эксперимент содержитслишком большое количество опытов, равное 3k. Так, при k=3 их 27, а число коэффициентов b – 10, при k=5 число опытов 243, а коэффициентов 21. В связи сэтим осуществление ПФЭ для планов второго порядка не только сложно, но инецелесообразно.Сократить число опытов можно, воспользовавшись так называемым композиционным или последовательным планом, разработанным Боксом и Уилсоном. Так, при двух факторах модель функции отклика y = f(x1,x2) второго порядка представляет собой поверхность в виде цилиндра, конуса, эллипса и т.д.,описываемую в общем виде уравнением)22y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b11 x1 + b22 x2 + b12 x1 x2 .Для определения такой поверхности необходимо располагать координатами не менее трех ее точек, т.е.
факторы x1 и x2 должны варьироваться не менее чем на трех уровнях. Поэтому план эксперимента в плоскости факторов x1 иx2 на рис.6.3, а не может состоять лишь из опытов 1, 2, 3, 4 ПФЭ 22, располагающихся в вершинах квадрата, как это было для модели первого порядка. Кним должны быть добавлены опыты (звездные точки) 5, 6, 7, 8, расположенныена осях x1 и x2 с координатами (±α;0), (0;±α) и обязательно опыт 9 в центреквадрата, чтобы по любому направлению (5-9-6), (1-9-4) и т.д. располагалосьтри точки, определяющие кривизну поверхности в этом направлении.1806. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫaб21Рис.
6.3. Планы второго порядка при k=2:а — ортогональный; б — ротатабельныйТаким образом, в общем случае ядро композиционного плана составляетпри k<5 ПФЭ 2k, а при k≥5 — дробную реплику от него. Если линейное уравнение регрессии оказалось неадекватным, необходимо:1) добавить 2⋅k звездных точек, расположенных на координатных осяхфакторного пространства (±α,0,0,...,0), (0,±α,0,...,0), ..., (0,0,...,±α), где α —звездное плечо, или расстояние до звездной точки;2) провести n0 опытов при значениях факторов в центре плана.При k факторах общее число опытов в матрице композиционного планасоставитn=2k + 2⋅k +n0 при k<5,n=2k-1 + 2⋅k +n0 при k≥5.При этом величина звездного плеча α и число опытов в центре плана n0зависит от выбранного вида композиционного плана.Композиционный план для k=2 и n0=1 представлен в табл.6.8.Таблица 6.8Композиционный план второго порядкаНомерФакторы181Результат6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
