Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В связи сэтим при проверке адекватности уравнения регрессии, полученного по ротатабельному плану второго порядка, поступают следующим образом.Находят остаточную сумму квадратовn)S12 = ∑ ( y j − y j ) 2(6.34)j =1с числом степеней свободыm1 = n − l = n −(k + 2)(k + 1).2По опытам в центре плана определяют сумму квадратов воспроизводимостиn0−S22 = ∑ ( y 0 j − y 0 j ) 2(6.35)j=1с числом степеней свободы m2 = n0 -1.Далее находят сумму квадратов, характеризующих неадекватностьS32 = S12 - S22 , число степеней свободы которойm3 = m1 − m2 = n −(k + 2)(k + 1)− (n0 − 1).21886.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫПроверяют адекватность по F-критерию:S32 / m3F=.S22 / m 2(6.36)Уравнение адекватно, если F<Fα;m3;m2.Если модель второго порядка оказалась неадекватной, следует повторить эксперименты на меньшем интервале варьирования факторов или перенести центр плана в другую точку факторного пространства. В тех случаях, когда адекватность модели по-прежнему не достигается, рекомендуется перейтик планам третьего порядка.6.4.3. Исследование причин образования расслоенийв горячекатаных листахВ качестве примера планирования эксперимента второго порядка рассмотрим задачу исследования причин образования расслоений в горячекатаных листах (за основу числового материала взяты данные из книги1).Известно, что при прокатке листов толщиной более 12 мм появлениебрака связано большей частью с дефектами, унаследованными от слитка.
Наиболее серьезными дефектами толстого листа являются расслоения, трещины ирванины.Существует достаточно тесная связь между некоторыми параметрамивыплавки стали и пораженностью листов расслоениями. По результатам ультразвуковой дефектоскопии было установлено, что на пораженность листов расслоениями (которая количественно может быть выражена в относительныхединицах по площади расслоений, отнесенной к площади всего раската – Y, %)наиболее существенно влияют такие два фактора, как скорость выгорания углерода в период рудного кипения – x1, %/ч, и время разливки стали – x2, мин.Уровни варьирования факторов представлены в табл.
6.13.Таблица 6.131Паршин В.А, Зудов Е.Г., Колмогоров В.Л. Деформируемость и качество. – М.:Металлургия,1979.1896. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫУровни варьирования факторовФакторыx1, %/чx2, мин0,355,50,203,50,507,50,152,0УровнифакторовОсновной (нулевой)НижнийВерхнийИнтервал варьированияДля проведения эксперимента использовался ортогональный план второго порядка с тремя опытами в центре плана.
По табл. 6.9 при числе факторовk=2 и n0 = 3 величина звездного плеча составляет α = 1,148≈1,15, поэтому матрица планирования выглядит (табл.6.14) следующим образом:Таблица 6.14Ортогональный план второго порядка для двух факторови с тремя опытами в центре планаФакторы(кодированные значения)1Ядро 2плана 345Звезд- 6ные7точки 8Центр 9плана 1011Факторы(натуральные значения)Откликx1x2x1, %/чx2, минyj , %-1+1-1+1α = +1,15α = -1,1500000-1-1+1+100α = +1,15α = -1,150000,200,500,200,500,520,180,350,350,350,350,353,53,57,57,55,55,57,83,25,55,55,50,360,511,331,510,500,311,590,450,300,290,31Для обработки результатов эксперимента используем методику, изложенную ранее в параграфе 6.4.1.Начнем с того, что к кодированным значениям x1 и x2 в исходную таблицуплана (см.табл.6.14) добавим фиктивный столбец x0=1, а также дополнительные столбцы x12=x1x2.112x1' j = x1 j −∑xj =11121j11и2x 2' j = x 2 j −190∑xj =122j11.6.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫПоскольку1111∑ x1 j = ∑ x2 j = (−1) 2 + (+1) 2 + (−1) 2 + (+1) 2 + (+1,15) 2 + (−1,15) 2 + (0) 2 + ... + (0) 2 = 6,636,2j =12j =12то x1' j = x1 j −6,63622≈ x1 j − 0,6 , аналогично x 2' j ≈ x 2 j − 0,6 .11В итоге матрица плана эксперимента с фактическими результатами эксперимента yj, полученными в ходе проведения опытов, выглядит следующимобразом (табл.6.15):Таблица 6.15Матрица ортогонального плана второго порядка в кодированных значенияхФакторыРезультатНомеропытаx0x1x2x12x1'x2'yjyj1Ядро 2плана 345Звезд- 6ные7точки 8Центр 9плана 1011+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1-1+1-1+1+1,15-1,1500000-1-1+1+100+1,15-1,15000+1-1-1+10000000+0,4+0,4+0,4+0,4+0,7225+0,7225-0,6-0,6-0,6-0,6-0,6+0,4+0,4+0,4+0,4-0,6-0,6+0,7225+0,7225-0,6-0,6-0,60,360,511,331,510,500,311,590,450,300,290,310,3660,5261,3461,5060,5070,3231,5870,460,2960,2960,296^^В табл.
6.15 также приведены значения оценок отклика y j , найденные помодели, построенной после обработки экспериментальных данных.Для оценки коэффициентов в уравнение регрессии)''y = b0 '+b1 x1 + b2 x2 + b12 x12 + b11' x11' + b22x22по зависимостям (6.27) сформируем еще две дополнительные таблицы(табл. 6.16, 6.17), в которых представим результаты всех необходимых промежуточных расчетов.Таблица 6.16Таблица произведений кодированных значений факторовна значения отклика1916. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫНомеропыта1234567891011Σ-суммаx0⋅y0,360,511,331,510,50,311,590,450,30,290,317,46Произведения факторов на откликx1⋅yx2⋅yx12⋅yx1'⋅y-0,36-0,360,360,1440,51-0,51-0,510,204-1,331,33-1,330,5321,511,511,510,6040,575000,36125-0,3565000,22397501,82850-0,9540-0,51750-0,27000-0,18000-0,174000-0,1860,54853,2810,030,305225x2'⋅y0,1440,2040,5320,604-0,3-0,1861,1487750,325125-0,18-0,174-0,1861,9319Таблица 6.17Величина квадратов кодированных значений факторовНомеропыта1234567891011Σ-сумма(x0)21111111111111(x1)211111,32251,3225000006,645Квадраты факторов(x2)2(x12)2(x1')2110,16110,16110,16110,16000,522006000,5220061,322500,361,322500,36000,36000,36000,366,64543,484013(x2')20,160,160,160,160,360,360,5220060,5220060,360,360,363,484013Используя значения из строк «Σ-сумма» в этих двух таблицах, находимоценки коэффициентов регрессии:b 0 ' = 7,46/11 = 0,678182 ;b1 = 0,5485/6,645 = 0,082543 ;b 2 = 3,281/6,645 = 0,493755 ;b12 = 0,03/4 = 0,0075 ;b11 ' = 0,305225/3,484013 = 0,087607 ;1926.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫb 22 ' = 1,9319/3,484013 = 0,554504 .ЗначимостькоэффициентовпроверяемпокритериюСтьюдентаt i = b i S bi , для чего находим дисперсию воспроизводимости S2восп по трем параллельным опытам в центральной точке плана:∑ (y32воспS==i =10i− y03 −1)221 ⎡ 3 2 1⎛ n⎞ ⎤=⎢∑ y 0i − ⎜ ∑ y 0i ⎟ ⎥ =3 − 1 ⎢⎣ i=13 ⎝ i=1 ⎠ ⎥⎦()1⎡12⎤(0,30) 2 + (0,29) 2 + (0,31) 2 − (0,30 + 0,29 + 0,31) ⎥ = 0,0001⎢2⎣3⎦и рассчитываем по (6.28) дисперсии и средние квадратичные отклонения покаждому из коэффициентов:S 2b 0 ' = 0,0001/11 = 9,09091 ⋅ 10 -6 ;S b 0 ' = 9,09091 ⋅ 10 -6 = 0,003015 ;S 2b1 = S 2b 2 = 0,0001/6,645 = 1,5 ⋅ 10 -5 ;S b1 = S b 2 = 1,5 ⋅ 10 -5 = 0,003879 ;S 2b12 = 0,0001/4 = 2,5 ⋅ 10 -5 ;S b12 = 2,5 ⋅ 10 -5 = 0,005 ;S 2b11 ' = S 2b 22 ' = 0,0001/3,484013 = 2,87 ⋅ 10 -5 ; S b11 ' = S b 22 ' = 2,87 ⋅ 10 -5 = 0,005357 .Тогда критерий Стьюдента по каждому из коэффициентов составит:t b0 ' = 0,678182/0,003015 = 224,9 ;t b1 = 0,082543/0,003879 = 21,2 ;t b 2 = 0,493755/0,003879 = 127,3 ;t b12 = 0,0075/0,005 = 1,5 ;t b11 ' = 0,087607/0,005357 = 16,3 ;t b 22 ' = 0,554504/0,005357 = 103,5 .Поскольку критическое значение t0,05;3-1=4,30 (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;2)==4,302655725), то все коэффициенты в уравнении регрессии можно считатьзначимыми, кроме b12.1936.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСледовательно, окончательно уравнение регрессии можно записать ввиде)y = 0,68 + 0,08 ⋅ x 1 + 0,49 ⋅ x 2 + 0,09 ⋅ x 1' + 0,55 ⋅ x '2 .^Оценки отклика y j , полученные по этому уравнению для точек плана^эксперимента, приведены в табл. 6.15. Сопоставляя полученные величины y j сопытными данными yj, находим дисперсию адекватности, учитывая, что числозначимых коэффициентов в уравнении регрессии равно пяти:11S =2ад^∑ (y j − y j ) 2j=111 − 52221 ⎡(0,360 - 0,366 ) + (0,510 - 0,526 ) + (1,330 - 1,346 ) + ...⎤= ⎢⎥ = 0,00019.6 ⎣⎢+ (0,310 - 0,296 )2⎦⎥22Sвосп=Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера F = Sад=0,00019/0,0001=1,9.
Уравнение адекватно, поскольку составленное таким образомF-отношениеменьшетеоретическогоF < F0, 05;m1=6;m 2=2 = 19,3 (FРАСПОБР(0,05;6;2)= 19,3294909), где m1=11-5=6 – числостепеней свободы дисперсии адекватности; m2=3-1=2 – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.В завершение данного примера перепишем полученное уравнение регрессии относительно x12 и x22, учтя ранее введенные соотношения для22x 1' ≈ x 1 − 0,6 и x '2 ≈ x 2 − 0,6 .)22y = 0,68 + 0,08 ⋅ x 1 + 0,49 ⋅ x 2 + 0,09 ⋅ ( x 1 − 0,6) + 0,55 ⋅ ( x 2 − 0,6) =22= (0,68 − 0,09 ⋅ 0,6 − 0,55 ⋅ 0,6) + 0,08 ⋅ x 1 + 0,49 ⋅ x 2 + 0,09 ⋅ x 1 + 0,55 ⋅ x 2 =22= 0,29 + 0,08 ⋅ x 1 + 0,49 ⋅ x 2 + 0,09 ⋅ x 1 + 0,55 ⋅ x 2 .Проанализируем полученное уравнение на экстремум относительно x1 иx2:)∂y= 0,08 + 2 ⋅ 0,09 ⋅ x 1 = 0;∂x 1)∂y= 0,49 + 2 ⋅ 0,55 ⋅ x 2 = 0.∂x 21946.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
