Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Выбор основных факторов и их уровнейВ качестве факторов можно выбирать только контролируемые и управляемые переменные, т.е. такие, которые исследователь может поддерживатьпостоянными в течение каждого опыта на заданном уровне. В число факторовдолжны быть включены параметры процесса, оказывающие наиболее сильноевлияние на функцию отклика.
Необходимо заметить, что, несмотря на всю заманчивость и очевидные преимущества активного спланированного эксперимента перед пассивным, в его применении имеется целый ряд трудностей, связанных с определенными ограничениями на его реализацию.
Важнейшим условием применимости этого подхода является управляемость процессов по каждому из выбранных факторов, т.е. возможность независимого изменения каждого из этих факторов и поддержания его на заданном уровне в период проведения опытов.Для каждого фактора необходимо указать тот интервал изменения параметров, в пределах которого ставится исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливаются ориентировочные значения факторов x10,1636. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫx20, ..., xi0, ..., xk0. Этой комбинации значений факторов соответствует точка вмногомерном факторном пространстве, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень.Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (каждое для соответствующего фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний пределы.
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осямвыбираются так, чтобы верхний уровень составлял +1, нижний -1, а основной –0.Для факторов с непрерывной областью определения это достигается спомощью преобразования (кодирования) факторов:x − x i0.Xi = i∆x i(6.10)В теории планирования экспериментов показано, что минимально необходимое число уровней факторов на единицу больше порядка уравнения.6.3.2. Планирование экспериментаРассмотрим сначала частный случай, когда функция отклика линейно зависит от трех независимых факторов. Уравнение регрессии в этом случае имеет вид (6.9), а план эксперимента представлен в табл.
6.3.Таблица 6.3Таблица полного факторного эксперимента для трех факторовНомеропыта12345678x0+1+1+1+1+1+1+1+1x1-1+1-1+1-1+1-1+1x2-1-1+1+1-1-1+1+1x3-1-1-1-1+1+1+1+1Планx1 x2 x1 x3+1+1-1-1-1+1+1-1+1-1-1+1-1-1+1+1164x2 x3+1+1-1-1-1-1+1+1x1 x2 x3-1+1+1-1+1-1-1+1Результатyjy1y2y3y4y5y6y7y86. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫЗдесь добавлен столбец фиктивной переменной х0, нужный для оценкисвободного члена b0. После реализации плана получают 8 уравнений с 8 неизвестными, их решение и даст оценку всех 8 коэффициентов регрессии b0, b1, ...,b3, b12, ..., b123.План, в котором число опытов равно числу определяемых коэффициентов, называется насыщенным.Заметим, что мы использовали все точки с "крайними" координатами, т.е.±1, или, говоря другими словами, все возможные комбинации выбранных уров-ней.
В самом деле, всех возможных комбинаций 2k=8 (k – число факторов), имы все их использовали. Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и при этом в процессе эксперимента осуществляются все возможные неповторяющиеся комбинации из k факторов, то постановка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента (ПФЭ) или 2k.Иными словами, полный факторный эксперимент (ПФЭ) — это эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов.Кодированный план геометрически может быть интерпретирован в видекуба, восемь вершин которого представляют собой восемь экспериментальныхточек (рис.6.1).При числе факторов k=2 построение матрицы ПФЭ не вызывает затруднений, при увеличении же числа фактороввозникает необходимость в некоторых специальных приемах построения матрицы.Первый прием основан на чередованиизнаков.
В первом столбце (для х1) знаки чередуются поочередно. Во втором (для х2) —через 2, в третьем (для х3) — через 4 и т.д. постепеням двойки 2k. Этот подход и использован при составлении плана, представленного Рис.6.1. Геометрическоеизображение ПФЭв табл.6.3.1656. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫВторой прием основан на последовательном достраивании матрицы.
Дляэтого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинации уровней исходного плана — сначала при значениях нового фактора на верхнемуровне, а затем — на нижнем.Матрица ПФЭ обладает следующими свойствами:1) свойство симметричности: алгебраическая сумма элементов векторстолбца каждого фактора равна нулю (за исключением столбца, соответствующего свободному члену):n∑Xj =1ij= 0,(6.11)где i – номер фактора; j – номер опыта;2) свойство нормирования: сумма квадратов элементов каждого столбцаравна числу опытов:n∑Xj =12ij= n;(6.12)3) свойство ортогональности: скалярное произведение всех векторстолбцов (сумма почленных произведений элементов любых двух векторстолбцов матрицы) равно нулю:n∑Xj =1ijX uj = 0, i ≠ u.(6.13)Планы, для которых выполняется свойство 3, называют ортогональными.Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.Поскольку результаты наблюдений отклика носят случайный характер,приходится в каждой точке плана проводить не один, а m* параллельных опытов (обычно m*=2÷4), осреднение результатов которых, как уже отмечалось,дает возможность уменьшить погрешности оценки истинного значения откликавm * раз.В каждой серии экспериментов их последовательность рандомизируется,т.е.
с помощью таблиц случайных чисел определяется случайная последова1666. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫтельность реализации экспериментов. Рандомизация дает возможность свестиэффект некоторого случайного фактора к случайной погрешности. Это позволяет в определенной степени исключить предвзятость и субъективизм исследователя.6.3.3. Определение коэффициентов уравнения регрессииВоспользуемся свойствами ПФЭ для определения коэффициентов урав)нения регрессии методом наименьших квадратов y = b 0 + b1x 1 + b 2 x 2 .n)Φ = ∑ y j − y j 2 → min;bij =1n∂Φ= 2 ∑ y j − b 0 − b1X1 j − b 2 X 2 j X1 j = 0;∂ b1j =1nnnn∑ y jX1 j − b 0 ∑ X1 j − b1 ∑ X1 j2 − b 2 ∑ X1 jX 2 j = 0.j =1j =1j =1j =1()()(6.14)Воспользуемся свойствами ПФЭ:- (симметричности) b0 ∑ X1 j = 0;- (нормирования) b1 ∑ X1 j2 = nb1;- (ортогональности) b2∑X1jX2j = 0;nnnyXyX∑ j 1j∑ j 2j∑ y jX 0 jj=1j=1j=1b1 =; b2 =; b0 =.nnn(6.15)Следовательно, любые коэффициенты уравнения регрессии определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец X.Можно показать, что аналогичным образом определяются коэффициенты, если в уравнении регрессии (6.6) учитываются линейные взаимодействия(двойные, тройные):1676.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫnn∑ y j (X1X 2 ) jb12 =j=1n∑ y j (X1X 2 X 3 ) j; b123 =j=1и т.д.n(6.16)Следует обратить особое внимание на то, что все линейные коэффициенты независимы, так как в формулы для их расчета (6.15), (6.16) входят своиодноименные переменные. Поэтому каждый коэффициент характеризует рольсоответствующей переменной в процессе или силу влияния факторов.
Чембольше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказываетэтот фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значенияфактора отклик увеличивается, а если минус – уменьшается.В результате определения уравнения регрессии может получиться так,что один (или несколько) коэффициентов не очень большие и окажутся незначимыми. Факторы, имеющие коэффициенты, незначимо отличающиеся от нуля,могут быть выведены из состава уравнения, так как их влияние на параметрыотклика будет отнесено к ошибке эксперимента. Учитывая ортогональностьплана, оставшиеся коэффициенты уравнения регрессии можно не пересчитывать.
При отсутствии ортогональности плана эксперимента все коэффициентынеобходимо пересчитывать заново.6.3.4. Статистический анализ результатов экспериментаПланирование эксперимента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения подвергаются тщательному статистическому анализу с целью извлечь из результатов эксперимента максимуминформации и убедиться в достоверности полученной зависимости и ее точности.
Процедура проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии иего адекватности принципиально не отличается от описания, данного в параграфах 4.5.1 и 4.5.2, поэтому остановимся только на отдельных моментах. Какуже отмечалось ранее, каждый эксперимент несет в себе какую-то погрешность, для повышения надежности результатов производятся для каждой строки таблицы планирования повторения опытов m* раз.Построчные (выборочные) дисперсии подсчитываются по формуле1686. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ∑ (ym*S 2j =i =1− yjji)2(6.17),m * −1m*∑yjiгде y j = i =1– средний отклик по m* опытам в точке с номером j.m*Дисперсия воспроизводимости отклика S 2восп есть среднеарифметическое дисперсий всех n различных вариантов опытов:n2S восп=∑Sj =1n∑∑ (yn2j=m*j =1 i =1ji− yjn (m * −1))2(6.18).Прежде чем производить объединение дисперсий, следует убедиться вих однородности.
Проверка производится с помощью критерия Фишера илиКохрена (см. гл. 3). Для оценки значимости коэффициентов прежде всего находят дисперсию коэффициентов регрессии. Учитывая свойства 1-3 плана, представленного в табл. 6.3, из выражений (4.27) и (4.27а) при одинаковом дублировании опытов по точкам с числом повторных опытов m* получимS 2восп2,S =b m*n(6.19)а при отсутствии дублирования будем иметьS 2восп2S =.bn(6.19а)Следовательно, все коэффициенты уравнения регрессии ПФЭ имеютодинаковую точность (дисперсию). В этом заключается принципиальное отличие коэффициентов уравнения регрессии, полученных по плану табл.6.3, от коэффициентов уравнений, полученных пассивным экспериментом (см. параграф4.5.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
