Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 24
Текст из файла (страница 24)
поb0′ и b1′ определяют b0 и b1. Аналогичный подход обычно используют и примножественном нелинейном регрессионном анализе.Контрольные вопросы1. В чем заключаются сущность и основные задачи корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа?2. Какие подходы используют при нахождении коэффициентов уравнения регрессии?3. Сформулируйте исходные положения метода наименьших квадратов.4. С помощью какого параметра оценивается теснота связи между случайнымивеличинами? Поясните физическую суть этого параметра.5.
Как оценивается адекватность статистической модели?6. Что называется частным коэффициентом корреляции?1474. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…7. Что называется множественным коэффициентом корреляции?8. Какими свойствами обладают коэффициенты корреляции?9. Каким образом производится проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии?10. В чем заключается постановка задачи линейной множественной регрессии?1485. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВНАБЛЮДЕНИЙ5.1.
Оценка погрешностей определения величин функцийПри изложении материалов, касающихся оценки погрешностей результатов наблюдений, будем в дальнейшем придерживаться методологии решенииэтих задач, представленной в учебном пособии [2].Необходимость в определении погрешности величин функций по известным значениям погрешностей их аргументов (факторов) возникает при оценкеточности результатов математического эксперимента, а также результатов такназываемых косвенных измерений.
Под косвенным измерением понимается такое, в результате которого значение искомой величины y рассчитывают по известной зависимости ее от других величин х1, х2, ..., хк, измеренных другим способом, т.е.)y = f ( x1 , x 2 ,..., x i ,..., x k ),(5.1)где х1, х2, ..., хi,..., хк – аргументы, определенные независимо друг от друга.
Вдальнейшем будем полагать, что погрешности определения величины y обусловлены лишь неточностью численных значений величин х1, х2, ..., хi,..., хк,входящих под знак функции.Обозначим истинное значение i-го параметра через xi, среднее значение– через x i , а абсолютную погрешность его измерения – через ∆хi. Разложимфункцию f(x1, x2, ..., xk) в ряд Тейлора, сохраняя члены с нулевой и первымистепенями погрешностей:k ⎛ ∂ f ( x ,..., x ,..., x ) ⎞1ik ⎟⋅ ∆x i ,f ( x1,..., x i ,..., x k ) = f ( x1,..., x i ,..., x k ) + ∑ ⎜⎜⎟∂xi⎝⎠i =1xi =xi⎛ ∂ f ( x1,..., x i ,..., x k ) ⎞вычислены при значениях x i = x i .где все производные ⎜⎜⎟⎟∂ xi⎠x i =x i⎝Тогда1495.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ2⎤⎡k ⎛⎞∂ f ( x1,..., x i ,..., x k⎟⎟∆y 2 ≈ ⎡f ( x1,..., x i ,..., x k ) − f ( x1,..., x i ,..., x k )⎤ = ⎢ ∑ ⎜⎜∆x i ⎥ ≈⎢⎣⎦⎥⎥⎢i =1⎝∂ xi⎠xi =xi⎦⎣2kk ⎛ ∂ f ( x ,..., x ,..., x ⎞22=1ik⎟≈ ∑ ⎜⎜∆∆yi2 ,x∑i⎟∂xi⎠x i = x ii =1i =1⎝⎛ ∂ f ( x 1 ,..., x kгде ∆y i = ⎜⎜∂ xi⎝⎞⎟⎟⋅ ∆x i .⎠xi =xi(5.2)Следовательно, ∆yi – это составляющие погрешности функции, обусловленные погрешностью i-го аргумента xi.Доверительная вероятность, соответствующая величине ∆yi, численноравна доверительной вероятности, с которой найдена погрешность ∆xi.Для относительной погрешности вместо соотношения (5.2) используютвыражение∆*y i =1 ∂f∂ ln(f )∆x i =∆x i .f ∂ xi∂ xi(5.3)Соотношения (5.2) и (5.3) применимы для расчета как случайных, так исистематических погрешностей.Общая абсолютная (∆yΣ) и относительная (∆Σ*) погрешности определенияфункции могут быть найдены с помощью выраженийk∆y Σ = ± ∑ (∆y i )2 ;i =1(5.4)k2∆ Σ * = ± ∑ ⎛⎜ ∆*yi ⎞⎟ .⎝⎠i =1(5.5)Предполагается, что все составляющие имеют нормальный закон распределения.Частные производные, входящие в соотношения (5.2) и (5.3), не всегдамогут быть найдены аналитически.
Часто не удается разрешить искомую задачу относительно искомой величины y в явном виде. В этих случаях полезно использовать численные методы определения производных.1505. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙПример 5.1. Рассмотрим погрешность определения массового расходагазового потока стандартным сужающим устройством. При этом будем считать,что случайная составляющая погрешности отсутствует, а поправка на сжимаемость потока равна единице.Тогда с учетом выражения для определения массового расхода веществаG = αF0ε 2 ρ ( p1 − p2 ) = αF0ε 2 ρh ,(5.6)где F0 – площадь сужающего устройства; ε – поправочный множитель на сжимаемость вещества, расход которого измеряется (ε =1); ρ – плотность потокаперед сужающим устройством; h – перепад статического давления на сужающем устройстве, α - коэффициент расхода.Используя соотношения (5.2) и (5.4), получим следующие формулы длярасчета абсолютной и относительной погрешности определения расхода:22⎛∂G⎞⎛∂G ⎞∆ρ ⎟⎟ + ⎜∆h ⎟ ;∆G = ± ⎜⎜⎠⎝∂h⎝ ∂ρ⎠22⎛ ∂ G ∆ρ ⎞ ⎛ ∂ G ∆h ⎞1⎟⎟ + ⎜∆ = ± ⎜⎜⎟ =±2⎝ ∂ρ G ⎠ ⎝ ∂h G ⎠*Gгде(5.7)22⎛ ∆ρ ⎞ ⎛ ∆h ⎞⎜⎜⎟⎟ + ⎜⎟ ,⎝ ρ ⎠ ⎝ h ⎠(5.8)ρ∂Gh ∂G.= αF0ε;= αF0ε2h∂ρ2ρ ∂hУчтем далее погрешности определения плотности потоков.
В соответст-вии с уравнением состояния газа ρ=p/RT, где p и T – соответственно абсолютное давление и температура газа перед сужающим устройством, R – универсальная газовая постоянная. Абсолютная погрешность определения плотностипотока без учета погрешности газовой постоянной составит22⎛∂ρ ⎞⎛ ∂ρ⎞∆T ⎟ ,∆ρ = ± ⎜⎜∆p ⎟⎟ + ⎜⎝∂T⎠⎝∂ p ⎠где(5.9)∂ρ1 ∂ρp=;=−;∂ p RT ∂ TRT 21515. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙотносительная погрешность∆ρ∆*ρ ==±ρ22⎛ ∆p ⎞⎛ ∆T ⎞⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎟ .⎝ T ⎠⎝ p ⎠(5.10)Тогда относительная погрешность определения массового расхода газового потока будет1∆ =±2*G222⎛ ∆p ⎞ ⎛ ∆T ⎞ ⎛ ∆h ⎞⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎟ .⎟ +⎜⎝ p ⎠ ⎝ T ⎠ ⎝ h ⎠(5.11)Здесь p, T, h – значения измеренных параметров; ∆p, ∆T, ∆h – их абсолютные погрешности.
Численные значения ∆p, ∆T, ∆h определяются в основноминструментальной погрешностью и могут быть вычислены с учетом класса точности используемых приборов для измерения p и h. Погрешность измерения Tопределяется с учетом вида измерительного устройства температуры.Абсолютная погрешность определения массового расхода газового потока∆G = G∆*G ,(5.12)где G – значение расхода, измеренное экспериментально. Таким образом, истинное значение расхода будет равноG ист = G ± ∆G. ,(5.13)5.2. Обратная задача теории экспериментальных погрешностейЦелью обратной задачи является определение погрешностей величинаргументов, если известны погрешности функций и вид функциональной зависимости. Необходимость в решении таких задач возникает при выборе того илииного комплекса измерительной аппаратуры или метода определения искомойвеличины, позволяющих найти значение этой величины с определенной погрешностью.1525.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙОбратная задача в общем случае является неопределенной, посколькуимеется одно уравнение с k неизвестными. Иначе говоря, удовлетворить условию задачи можно при различных комбинациях значений погрешностей аргументов.[2].Очень часто удовлетворительное решение обратной задачи оказываетсявозможным при использовании так называемого принципа равных влияний. Онзаключается в том, что при решении задачи накладывается дополнительноетребование, чтобы все члены в правой части выражений (5.4) и (5.5) оказывалиодинаковое влияние на погрешности функции.Применяя принцип равных влияний к относительной погрешности функции, определяемой соотношением (5.5), получим [2](∆ ) = (∆ ) = ....
= (∆ ) = (∆k ) ,* 2y1∆ yi =2*y22*yk* 2Σ∆*Σ.k(5.14)(5.15)С учетом (5.3) легко получить выражение для определения абсолютных∆xi и относительных ∆xi* погрешностей всех аргументов:∆x i =∆*xi =∆Σ1;k ∂ ln [f ( x1 , x 2 ,..., x k ]∂ xi(5.16)∆Σ1.xi k ∂ ln [ f ( x1 , x2 ,..., xk ]∂ xi(5.17)В дальнейшем могут иметь место три возможных случая:− значения погрешностей всех аргументов таковы, что лежат в пределах точ-ности, доступной при измерениях с помощью имеющихся средств измерений;− значения некоторых погрешностей настолько малы, что обеспечить соответ-ствующую точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным;1535.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ− значения всех погрешностей малы, и обеспечить такую точность невозмож-но.В первом случае проблем не возникает и поставленная задача имеетрешение. Во втором случае прежде всего следует попытаться решить задачупутем увеличения погрешности тех аргументов, у которых оказалось невозможным обеспечить требуемую первоначальную точность измерений при одновременном уменьшении погрешностей остальных аргументов.Если этот путь не дает приемлемых результатов, то остается один выход, связанный с поиском другого метода определения величины x.
Этот выходявляется единственно возможным и для случая, когда значения погрешностейвсех аргументов настолько малы, что обеспечить требуемую их точность с помощью имеющихся средств измерений не представляется возможным. При вы)боре другого метода измерений меняется вид функции y =f(X), а следовательно, меняются аргументы и значения их погрешностей.Пример 5.2. Пусть требуется определить объем цилиндра диаметромd=20 мм и высотой h=50 мм с относительной погрешностью ∆V*=0,01.
Найдемпогрешности измерения величин d и h, соответствующие этому же значениюдоверительной вероятности, при которых исходная задача будет разрешена.Учитывая, что объем цилиндра V =πd 2 hи приняв закон распределения нор4мальным, с помощью соотношения (5.16) найдем∆*V1∆*V d∆d = ±=±= ±0,07 мм;22 ∂ ln(πd h / 4)22∂d*∆∆*V1∆h = ± V=±h = ±0,035 мм.22 ∂ ln(πd h / 4)2∂h5.3.Определение наивыгоднейших условий экспериментаПод наивыгоднейшими условиями эксперимента понимаются такие, длякоторых погрешность результата эксперимента при фиксированном значениидоверительной вероятности имеет наименьшее значение.1545. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙМатематически рассматриваемая задача решается путем отыскания минимума функции (5.5)[2].Условия экстремума погрешности ∆Σ* имеют вид∂ ∆*Σ∂ ∆*Σ∂ ∆*Σ= 0;= 0; ...;= 0.∂ x1∂ x2∂ xk(5.18)Раскрывая величину ∆Σ* в соответствии с выражениями (5.3) и (5.5), систему уравнений (5.18) можно представить в форме⎧ ∂ ln(f ) ∂ 2 ln(f )∂ ln(f ) ∂ 2 ln(f )⎪∆x12 +∆x 2 2 + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
