Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 23
Текст из файла (страница 23)
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…Sbi =n ⎛ ∂ b j ⎞2⎟ S2 .∑ ⎜⎜⎟ jy∂i⎠j =1 ⎝(4.26)При условии, что S 2 = S 2 = ... = S 2 = ... = S 2yn = S 2восп , получимy1y2yiSb0 =S b1 =nS 2восп ∑ x 2ii =12⎛ n ⎞2n ∑ x − ⎜ ∑ xi ⎟i ⎜⎟i =1⎝ i =1 ⎠;(4.27).(4.27а)nS 2восп ⋅ nn⎛ n ⎞n ∑ x2 − ⎜ ∑ xi ⎟i ⎜⎟i =1⎝ i =1 ⎠2Sb 0 и Sb1 называются соответственно стандартной ошибкой свободного членаи стандартной ошибкой коэффициента регрессии.Проверка значимости коэффициентов выполняется по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза Н0: bi=0, т.е. i-й коэффициент генеральной совокупности при заданном уровне значимости α отличен от нуля.Построим доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии∆ b i = t α ; n − l ⋅ S bi ,(4.28)где число степеней свободы в критерии Стьюдента определяется по соотношению n-l.
Потеря l=k+1 степеней свободы обусловлена тем, что все коэффициенты bi рассчитываются зависимо друг от друга, что следует из уравнений (4.16) и(4.16а).Тогда доверительный интервал для ∆bi коэффициента уравнения регрессии составит (bi-∆bi; bi+∆bi). Чем уже доверительный интервал, тем с большейуверенностью можно говорить о значимости этого коэффициента.1414. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…Необходимо всегда помнить рабочее правило: "Если абсолютная величина коэффициента регрессии больше, чем его доверительный интервал, тоэтот коэффициент значим".Таким образом, если ⏐bi⏐>⏐∆bi⏐, то bi коэффициент значим, в противномслучае – нет.Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы и вформулы для их расчета (4.16) и (4.16а) входят разноименные переменные.4.6.
Линейная множественная регрессияПри изучении множественной регрессии не существует графической интерпретации многофакторного пространства. При проведении экспериментов втакой ситуации исследователь записывает показания приборов о состояниифункции отклика y и всех факторов xi , от которых она зависит. Результат исследований – это матрица наблюдений.y1 x11 x12 ... x1j ... x1ky 2 x 21 x 22 ... x 2j ...
x 2k..............yi x i1 x i2 ... x ij ... x ik...............(4.29)y n x n1 x n2 ... x nj ... x nkЗдесь n – число опытов; k – число факторов; xij – значение j-го фактора в i-мопыте; yi – значение выходного параметра для i-го опыта.Задача линейной множественной регрессии состоит в построении гиперплоскости в (k+1)-мерном пространстве, отклонения результатов наблюдений yiот которой были бы минимальными при использовании метода наименьшихквадратов. Или, другими словами, следует определить значения коэффициентов b0, ..., bj, ..., bk в линейном полиномеk)y = b 0 + ∑ b jx j ,j =11424. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…минимизирующие выражениеФ=n∑( yi − y)i )2 =in.∑ [ yi − (b0 + b1 x1 + ... + b j xij + ... + bk xnk )]2 → minb(4.30)jiПроцедура определения коэффициентов b0, ..., bj, ..., bk в принципе неотличается от одномерного случая, рассмотренного ранее, и поэтому здесь неприводится.)Для оценки тесноты связи между функцией отклика y и несколькимифакторами x1, x2, ..., xj, ..., xk используют коэффициент множественной корреляции R, который всегда положителен и изменяется в пределах от 0 до 1.
Чембольше R, тем качественнее предсказания данной моделью опытных данных сточки зрения близости ее к функциональной. При функциональной линейнойзависимости R=1.Расчеты обычно начинают с вычисления парных коэффициентов корреляции, при этом вычисляются два типа парных коэффициентов корреляции:1) ryx – коэффициенты, определяющие тесноту связи между функциейj)отклика y и одним из факторов xj;2) rx x – коэффициенты, показывающие тесноту связи между одним изj uфакторов xj и фактором xu (j, u =1÷k).Если один из коэффициентов rx x окажется равным 1, то это означаj uет, что факторы xj и xu функционально связаны между собой. Тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения, причем оставляют тот фактор, укоторого коэффициент ryx больше.jПосле вычисления всех парных коэффициентов корреляции можно построить матрицу коэффициентов корреляции следующего вида:1434.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…1ryx1 ryx 2 ... ryx j ... ryx krx1 y 1rx1x2 ... rx1xj ... rx1xkrx 2 y rx 2 x1 1 ... rx 2 xj ... rx 2 xk..................rx j y rx j x1 rx j x2 ... 1 ... rx j xk(4.31)..................rx k y rx k x1 rx k x2 ... rx j xk ... 1Однако парные коэффициенты корреляции не характеризуют теснотусвязи, так как они вычисляются при случайно изменяющихся значениях другихфакторов.
Действительно, при рассмотрении трех и более случайных величинкоэффициенты корреляции любой пары из этих случайных величин могут недать правильного представления о степени связи между всеми случайными величинами. Это объясняется тем, что на закон распределения вероятностей исследуемой пары случайных величин могут оказывать влияние и другие рассматриваемые случайные величины. Это обстоятельство делает необходимымвведение показателей стохастической связи между парой случайных величинпри условии, что значения других случайных величин зафиксированы. В этомслучае говорят о статистическом анализе частных связей.
Используя матрицу(4.31), можно вычислить частные коэффициенты корреляции, которые показы)вают степень влияния одного из факторов xj на функцию отклика y при условии, что остальные факторы остаются на постоянном уровне. Формула для вычисления частных коэффициентов корреляции имеет видryx , x ,..., x ,..., x = D1 j1 2jkD11 ⋅ D jj ,(4.32)где D1j – определитель матрицы, образованной из матрицы (4.31) вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца. Определители D11 и Djj вычисляют аналогично.Как и парные коэффициенты, частные коэффициенты корреляции изменяютсяот -1 до +1.Значимость и доверительный интервал для коэффициентов частной корреляции определяются так же, как для коэффициентов парной корреляции,только число степеней свободы вычисляют по формуле1444. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…m = n -k*-2,(4.33)где k*=k-1 – порядок частного коэффициента парной корреляции.ДлявычислениякоэффициентамножественнойкорреляцииR yx , x ,..., x ,..., x используют матрицу (4.31):1 2jkR yx , x ,..., x ,..., x = 1 − D / D11 ,1 2jk(4.34)где D – определитель матрицы (4.31).Множественный коэффициент корреляции дает оценку тесноты связимежду у и совокупностью всех переменных x1, x2, ..., xj, ..., xk .Если число опытов n сравнимо с числом коэффициентов l=k+1, связиоказываются преувеличенными.
Поэтому следует исключить систематическуюпогрешность, физический смысл которой состоит в следующем. Если разностьn и l будет уменьшаться, то коэффициент множественной корреляции R будетвозрастать и при n-l=0 окажется равным R=+1, а уравнение регрессии превратится в функциональное уравнение гиперплоскости, которая пройдет через всеn экспериментальных точек. Однако ясно, что случайный характер переменныхпроцесса при этом не может измениться. В связи с этим требуется оценка значимости коэффициента множественной корреляции.Значимость коэффициента множественной корреляции проверяется покритерию Стьюдента:t =R≥ t α;m ; m = n - k - 1,SRгде S R – среднеквадратичная погрешность коэффициента множественной корреляции, рассчитываемая по выражениюS R = (1 − R 2 ) n − k − 1.(4.35)Значимость R можно проверить также по критерию ФишераF =R 2 (n − k − 1).(1 − R 2 )k(4.36)1454.
АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…Если расчетное значение F превышает теоретическое Fα;m1;m2, то гипотезу о равенстве коэффициента множественной корреляции нулю отвергают исвязь считают статистически значимой. Теоретическое (табличное) значениекритерия Фишера определяется для выбранного уровня значимости α и числастепеней свободы m1 = n-k-1 и m2=k .Если коэффициент множественной корреляции оказался неожиданномалым, хотя априорно известно, что между выходом y и входами x1,...,xk должна существовать достаточно тесная корреляционная связь, то возможнымипричинами такого явления могут быть следующие:а) ряд существенных факторов не учтен, и следует включить в рассмотрение дополнительно эти существенные входные параметры;б) линейное уравнение плохо аппроксимирует в действительности нели)нейную зависимость y = f ( x1 ,..., xk ) , и следует определить коэффициенты уженелинейного уравнения регрессии методами регрессионного анализа;в) рабочий диапазон рассматриваемых факторов находится в районеэкстремума функции отклика – в этом случае следует расширить диапазон изменения входных переменных, а также перейти к нелинейной математическоймодели объекта.4.7.
Нелинейная регрессияИспользуя подходы, изложенные ранее, можно построить практическилюбые формы нелинейной связи. С этой целью в инженерной практике оченьчасто используют линеаризующие преобразования.В табл. 4.1 приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризующие преобразования переменных. Качество преобразования результатов проверяют с помощью уравнения y) = b 0 '+ b1 ' ⋅ x '.Таблица 4.1Функции и линеаризующие преобразования1464. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА…№п/пФункцияЛинеаризующие преобразованияПреобразованиеВыражения дляпеременныхвеличин b0 и b1y′x′b0′b1′y1/xb0b11/yxb0b1x/yxb0b1123y = b 0 + b1 / x4y = b 0 b1 xlg(y)xlg(b0)lg(b1)5y = b 0 ⋅ e b1 xln(y)xln(b0)b16y = 1 /(b0 + b1e − x )y = b 0 x b1y = b0 + b1 lg(x )1/ye-xb0b1lg(y)lg(x)lg(b0)b1lg(x)xb0b1/b07y = 1 /(b 0 + b1x )y = x /(b 0 + b1x )8910y = b0 /(b1 + x )y1/yy = b0x /(b1 + x)1/y1/xb1/b0b11/b01/b011y = b 0 e b1 / xln(y)1/xln(b0)b112y = b 0 + b1x nyxnb0b1После вычисления коэффициентов b0′ и b1′, так же как в случае линейнойзависимости от одного фактора, выполняют обратные преобразования, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
