Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 25
Текст из файла (страница 25)
= 0;∂ x 2 ∂ x1∂ x 2⎪ ∂ x1 ∂ x12⎪⎪ ∂ ln(f ) ∂ 2 ln(f )∂ ln(f ) ∂ 2 ln(f )2∆x 1 +∆x 2 2 + ... = 0;⎪∂ x2 ∂ x 2⎨ ∂ x1 ∂ x1∂ x 22⎪......................⎪⎪22⎪ ∂ ln(f ) ∂ ln(f ) ∆x 2 + ∂ ln(f ) ∂ ln(f ) ∆x 2 + ... = 0.21⎪ ∂ x1 ∂ x1∂ x n∂ x2 ∂ x 2⎩n(5.19)Система (5.19) состоит из n уравнений и содержит n неизвестных. Еслирешение этой системы существует, то можно найти численные значения величин x1, x2, ..., xn, при которых погрешность ∆Σ* принимает экстремальное значение.Дальнейший анализ направлен на получение ответа, соответствует линайденный экстремум минимуму величины ∆Σ*. С этой целью вычисляются зна-∂ 2 ∆*Σчения вторых производныхпри найденных значениях переменных xi.∂ xi2Если вторые производные окажутся положительными, то это соответствует минимуму величины ∆Σ*.1555.
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙКонтрольные вопросы1. Что такое погрешность определения величин функций?2. С какой целью рассчитывают погрешность?3. Какие виды погрешностей вы знаете? Как они определяются?4. В чем заключается цель решения обратной задачи теории экспериментальных погрешностей?5. Что понимают под выражением «наивыгоднейшие условия проведенияэксперимента»?6. Какова основная идея математического решения задачи поиска наивыгоднейших условий проведения эксперимента?1566.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ6.1. Основные определения и понятияРанее мы рассматривали пассивный эксперимент, и математическая статистика использовалась, в частности, при обработке экспериментальных данных. На стадии постановки эксперимента она не применялась. При активном жеэксперименте математическая статистика используется уже на стадии постановки и планирования эксперимента.Пассивный эксперимент предусматривает накопление информации “врежиме нормальной эксплуатации", но это требует много времени и затрат. Поэтому предлагается "не ждать милостей от природы", а активно вмешиваться вход технологического процесса: «разбалтывать» («покачивать») его тихонько,но целенаправленно, и быстро накапливать при этом информацию.
Программапокачивания как раз и задается планом. Сам метод планирования может изменяться в зависимости от вида задачи, но принцип покачивания остается.Теория планирования эксперимента началась с работ знаменитого английского ученого Р.Фишера в 30-х годах XX столетия, использовавшего ее длярешения агробиологических задач. В дальнейшем это направление было развито в пятидесятых годах в США Дж.Боксом и его сотрудниками.
Отечественные ученые также внесли большой вклад в развитие теории эксперимента,предложив ряд новых методов, а инженеры-исследователи все шире применяют эти методы на практике.Под математической теорией планирования эксперимента будем понимать науку о способах составления экономичных экспериментальных планов,которые позволяют извлекать наибольшее количество информации об объектеисследования, о способах проведения эксперимента, о способах обработкиэкспериментальных данных и их использования для оптимизации производственных процессов, а также инженерных расчетов.1576.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫПринятая терминология — это либо перевод терминов с английского, либо просто их перенос в оригинале, и это необходимо иметь в виду при чтениилитературы по теории планирования экспериментов.Истинный вид функции отклика y=f(x1, ..., xi, ..., xk) до эксперимента чащевсего неизвестен, в связи с чем для математического описания поверхности отклика используют уравнениеkkki =1i , u =1i =1y = β 0 + ∑ β i x i + ∑ β iu x i x u + ∑ β ii x i +... ,2(6.1)где xi, xu – переменные факторы при i=1, ..., k; u=1, ..., k; i≠u;⎛ ∂2f ⎞⎛∂ f ⎞⎛ ∂2f ⎞⎟⎟⎟ ; β iu = ⎜⎜⎟⎟ ; β ii = ⎜β i = ⎜⎜⎜ 2∂ x 2 ⎟ – коэффициенты.⎝ ∂ xi ⎠ 0⎝ ∂ xi ∂ xu ⎠ 0i ⎠0⎝Это уравнение является разложением в ряд Тейлора неизвестной функции отклика в окрестности точки с xi=xi0.На практике по результатам эксперимента производится обработка данных по методу наименьших квадратов.
Этот метод позволяет найти оценку bкоэффициентов β, и данный полином заменяется уравнением видаkkk)2y = b0 + ∑ bi xi + ∑ biu xi xu + ∑ bii xi +... ,i =1i ,u =1(6.2)i =1которое является регрессионной моделью (моделью регрессионного анализа).)В этом выражении y означает модельное, т.е. рассчитываемое по уравнениюмодели, значение выхода.
Коэффициенты регрессии определяются экспериментально и служат для статистической оценки теоретических коэффициентов,т.е.b0 → β 0 , bi → β i , biu → β iu , bii → β ii .В регрессионной модели члены второй степени xixu, xi2 характеризуюткривизну поверхности отклика. Чем больше кривизна этой поверхности, тембольше в модели регрессии членов высшей степени. На практике чаще всегостремятся ограничиться линейной моделью.Последовательность активного эксперимента заключается в следующем:1586. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ1) разрабатывается схема проведения исследований, т.е. выполняетсяпланирование эксперимента.
При планировании экспериментов обычно требуется с наименьшими затратами и с необходимой точностью либо построитьрегрессионную модель процесса, либо определить его оптимальные условия;2) осуществляется реализация опыта по заранее составленному исследователем плану, т.е. осуществляется сам активный эксперимент;3) выполняется обработка результатов измерений, их анализ и принятиерешений.Таким образом, планирование эксперимента – это процедура выбора условий проведения опытов, их количества, необходимых и достаточных для решения задач с поставленной точностью.Использование теории планирования эксперимента обеспечивает:1) минимизацию, т.е.
предельное сокращение необходимого числа опытов;2) одновременное варьирование всех факторов;3) выбор четкой стратегии, что позволяет принимать обоснованные решения после каждой серии опытов;4) минимизацию ошибок эксперимента за счет использования специальных проверок.Для иллюстрации некоторых из этих положений воспользуемся ставшимуже классическим примером из книги В.В.Налимова, Т.И.Голиковой [7].6.2.
Пример хорошего и плохого экспериментаРассмотрим пример – взвешивание трех объектов A, B, C на аналитических весах. Первый – традиционный – подход предусматривает последовательное взвешивание каждого из образцов. Исследователь вначале делает холостое взвешивание для определения нулевой точки весов, а затем по очередивзвешивает каждый из образцов. Это пример традиционного использованияоднофакторного эксперимента, т.е. здесь исследователь изучает реакцию на1596.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫповедение каждого из факторов в отдельности. Традиционная схема взвешивания трех объектов представлена в табл. 6.1.Масса каждого объекта оценивается только по результатам двух опытов:того опыта, в котором на весы был положен изучаемый объект, и холостогоопыта. Например, масса объекта A: mА=y1-y0. Как обычно, ошибка взвешиванияпредполагается независимой от взвешиваемой величины, аддитивной и имеющей одно и то же распределение. Тогда дисперсия измерения веса образцаследующая:σ 2A = σ 2 + σ 2 = 2σ 2 ,y1y0(6.3)где σ2 — дисперсия любого взвешивания.
Такими же будут и дисперсии весовобразцов B и C.Таблица 6.1Традиционное проведение эксперимента*Номеропыта1234АВС-1+1-1-1-1-1+1-1-1-1-1+1Результатвзвешиванияy0y1y2y3*) Когда образец кладется на весы, в таблице ставится +1, когда он на весах отсутствует, то -1.Приведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой матрицей планирования, приведенной в табл.6.2.Таблица 6.2Планирование эксперимента при взвешивании трех объектовНомеропыта1234АВС+1-1-1+1-1+1-1+1-1-1+1+1Результатвзвешиванияy1y2y3y4В первых трех опытах последовательно взвешивают объекты A, B, C, впоследнем опыте тоже взвешивают объекты A, B, C, но все три объекта вместе,а "холостое" взвешивание не производится.1606. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫЛегко заметить, что масса каждого объекта будет задаваться формулами1( y1 − y 2 − y 3 + y 4 );21m B = ( y 2 − y1 − y 3 + y 4 );21m C = ( y 3 − y1 − y 2 + y 4 ).2mA =(6.4)Масса объекта A, вычисленная по приведенной выше формуле, оказывается не искаженной массами весов объектов B и C, так как масса каждого изних входит в формулу для массы А дважды с разными знаками.Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвешивания, по новойсхеме постановки экспериментов:σ 2A =1 2(σ + σ2 + σ2 + σ2 ) = σ2 .y2y3y44 y1(6.5)Аналогичным образом находим:2 = σ2 .σ 2B = σ 2 , σCМы видим, что при новой схеме дисперсия взвешивания получаетсявдвое меньше, чем при традиционной схеме, хотя в обоих случаях на взвешивание трех объектов затрачивалось по четыре опыта.Зададимся вопросом: "В результате чего происходит увеличение точности экспериментов в два раза?".В первом случае эксперимент был поставлен так, что каждую массу мыполучали лишь из двух взвешиваний.
При новой схеме взвешивания каждаямасса вычислялась уже по результатам всех четырех взвешиваний. Вторуюсхему можно назвать многофакторной, поскольку здесь оперируют всеми факторами так, что каждая масса вычислялась по результатам сразу всех опытов,проведенных в данной серии экспериментов, – вот главная причина уменьшения дисперсии вдвое.Не подумайте, что мы зря потратили время на обсуждение такой тривиальной задачи. Точно такой же подход используется при изучении других, более сложных задач.1616.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТаким образом, использование теории планирования эксперимента может явиться одним из путей существенного повышения эффективности многофакторных экспериментальных исследований.В планировании экспериментов применяются в основном планы первогои второго порядков. Планы более высоких порядков используются в инженерной практике редко. В связи с этим далее приводится краткое изложение методики составления планов эксперимента для моделей первого и второго порядков.Под планами первого порядка понимают такие планы, которые позволяют провести эксперимент для отыскания уравнения регрессии, содержащеготолько первые степени факторов и их произведения:kk)y = b0 + ∑ bi xi + ∑ biu xi xu +i =1i ,u =1i ≠uk∑bi , j ,u =1i ≠ j ≠uijuxi x j xu +...
.(6.6)Планы второго порядка позволяют провести эксперимент для отысканияуравнения регрессии, содержащего и вторые степени факторов:kkk)2y = b0 + ∑ bi xi + ∑ bii xi + ∑ biu xi xu +... .i =1i =1(6.7)i ,u =1i ≠uНахождение уравнения регрессии методом планирования экспериментовсостоит из следующих этапов:− выбор основных факторов и их уровней;− планирование и проведение собственно эксперимента;− определение коэффициентов уравнения регрессии;− статистический анализ результатов эксперимента.6.3. Планирование первого порядкаНа первой стадии исследования обычно принимают полином первойстепени.
Так, для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессииимеет вид1626. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ33i =1i ,u =1i ≠uy = β 0 + ∑ β i xi + ∑ β xi x j +β 123 x1 x 2 x3 .iu(6.8)Уравнение регрессии, получаемое на основании результатов эксперимента, в отличие от приведенного теоретического уравнения, имеет вид33)y = b0 + ∑ bi xi + ∑ biu xi xu +b123 x1 x 2 x3 ,i =1(6.9)i ,u =1i ≠uгде коэффициенты регрессии b0, b1, ..., b3, ..., b123 являются оценками для теоретических коэффициентов регрессии, т.е.b i → β i , b iu → β iu , b123 → β123 .Члены, содержащие произведения х1х2; х2х3 и т.д., называют членами,отражающими попарное взаимодействие факторов, члены вида х1х2х3 — членами тройного взаимодействия.6.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
