Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Планы, по результатам которых коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой дисперсией, называются ротатабельными. В связи сэтим план, представленный в табл.6.3, является не только ортогональным, норотатабельным. В дальнейшем проверка значимости каждого коэффициентапроизводится с использованием t-критерия Стьюдента (см. гл.4). Статистически1696. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫнезначимые коэффициенты исключаются из уравнения, а остальные коэффициенты при этом не пересчитываются. После этого уравнение регрессии составляется в виде уравнения связи выходного параметра y и переменных Xi,включающего только значимые коэффициенты.После вычисления коэффициентов уравнения следует прежде всего проверить его пригодность или адекватность.
Для этого достаточно оценить откло)нение выходной величины y , предсказанной уравнением регрессии, от результатов эксперимента y в различных точках.Рассеяние результатов эксперимента относительно уравнения регрессии, аппроксимирующего искомую зависимость, можно, как уже было показаноранее, охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности, оценка которой,справедливая при одинаковом числе дублирующих опытов, находится по формуле(S ад2 =n)m*∑ y j − yjj =1n−l)2(6.20).Здесь n – число опытов (вариантов); l=k+1, где k – число членов в уравнениирегрессии.Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дис2 и дисперсией воспроизводимости S 2персией адекватности S адвосп и проводит-ся с помощью F-критерия Фишера, который в данном случае рассчитываетсякакF =2S ад.2S восп(6.21)Если вычисленное значение критерия меньше теоретического Fα;m1;m2для соответствующих степеней свободы m1=n-l, m2=n(m*-1), при заданномуровне значимости α, то описание свойств объекта уравнением регрессии признается адекватным объекту.
Адекватность модели может быть достигнутауменьшением интервала варьирования факторов, а если это не дает результата, то переходом к плану второго порядка.1706. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ6.3.5. Дробный факторный экспериментВо многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто необходимо получить в первом приближении лишь линейнуюаппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов.
Так, для трех факторов вместо уравнения (6.9) достаточно рассмотретьуравнение вида)y = b 0 + b1x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3(6.22)и определить только четыре коэффициента. Поэтому использование ПФЭ дляопределения коэффициентов только при линейных членах неэффективно из-зареализации большого числа опытов, особенно при большом числе факторов k.Если при решении задачи можно ограничится линейным приближением,то в ПФЭ оказывается много "лишних" опытов. Так, для трех факторов достаточно 4 опыта, а в ПФЭ их 8. Следовательно, есть четыре "лишних".
Результаты этих "лишних" опытов могут быть использованы двояко: во-первых, с их помощью можно получить более точные оценки коэффициентов регрессии; вовторых, их можно использовать для проверки адекватности модели. Однако при7 факторах ПФЭ содержит 27=128 опытов, а для линейного уравнения требуется всего 8.
Таким образом, остается 120 лишних и, конечно, нет необходимостиих все реализовать, а достаточно лишь несколько из них использовать для проверки адекватности и уточнения оценок.Другими словами, ПФЭ обладает большой избыточностью опытов. В связи с этим возникает вопрос: “Нельзя ли сократить число опытов, необходимыхдля определения коэффициентов регрессии?”.Так, для определения коэффициентов уравнения (6.22) достаточно ограничится четырьмя опытами, если в ПФЭ 23 использовать х1х2 в качестве планадля х3, тогда матрица планирования эксперимента примет вид, представленныйв табл.6.4.1716. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТаблица 6.4Дробный факторный экспериментНомеропыта1234Планx0+1+1+1+1x1-1+1-1+1x2-1-1+1+1x3= x1x2+1-1-1+1Результатyjy1y2y3y4Заметим, что мы использовали не все точки с "крайними" координатами,т.е.
±1, или, говоря другими словами, не все возможные комбинации выбранныхуровней. На самом деле всех возможных комбинаций 23=8, мы же использовали из них только 4. Такой сокращенный план носит название дробного факторного эксперимента (ДФЭ).Следует подчеркнуть, что формальное приравнивание произведенияфакторов фактору, не входящему в это произведение, является основополагающей идеей метода ДФЭ. В данном случае используется только половинаПФЭ 23, поэтому план, представленный в табл.6.4, называется полурепликой отПФЭ 23. После реализации плана получают 4 уравнения с 4 неизвестными, ихрешение и даст оценку всех четырех коэффициентов регрессии bi. Например,матрица из 8 опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 24, а для пятифакторного планирования — четвертьрепликой от 25.Для того чтобы дробная реплика представляла собой ортогональныйплан, в качестве реплики следует брать ближайший полный факторный эксперимент.
При этом число опытов должно быть не менее числа искомых коэффициентов.Если коэффициенты регрессии при парных произведениях не равны нулю, то найденные коэффициенты bi будут смешанными оценками их теоретических коэффициентов βi. На практике обычно не удается априорно постулировать равенство нулю эффектов взаимодействия, однако часто имеются основания полагать, что некоторые из них малы по сравнению с линейными эффектами. Операцию смешивания оценок принято условно записывать в виде выражений1726.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫb1 → β 1 + β 23 ; b2 → β 2 + β 13 ; b3 → β 3 + β 12 ,(6.23)где β – математическое ожидание для соответствующего коэффициента.Эти генерирующие коэффициенты не могут быть раздельно оценены поплану, включающему всего четыре опыта, так как в этом случае неразличимыстолбцы для линейных членов и парных произведений. Если, например, в дополнение к столбцам, приведенным в табл.
6.4, вычислить еще столбцы дляпроизведения х1х3, то увидим, что элементы этого столбца в точности равныэлементам столбца х2. Таким образом, сокращение числа опытов приводит кполучению смешанных оценок для коэффициентов.Для того чтобы определить, какие коэффициенты смешаны, удобнопользоваться следующим приемом: подставив х3 на место х1х2, получим соотношение х3=х1х2, называемое генерирующим соотношением.Умножив обе части генерирующего соотношения на х3, получим2X 3 = X 1 X 2 X 3 = 1 , т.е.
X 1 X 2 X 3 = 1 .(6.24)Это произведение носит название определяющего контраста.Умножив поочередно определяющий контраст на х1, х2, х3, находим2X1 = X1 X 2 X 3 = X 2 X 3; X 2 = X1 X 3; X 3 = X1X 2.(6.25)Полученным соотношениям соответствует система смешанных оценок,т.е. β1 смешана с β23, β2 – с β13, а β3 – с β12.Таким образом, при использовании ДФЭ необходимо иметь четкое представление о так называемой разрешающей способности дробных реплик, т.е.определить заранее, какие коэффициенты являются несмешанными оценкамидля соответствующих коэффициентов. Тогда в зависимости от постановки задачи подбирается дробная реплика, с помощью которой можно извлечь максимальную информацию из эксперимента.Например, в задаче с четырьмя факторами (k=4) в качестве генерирующего соотношения можно взять х4=х1х2х3 или любой из эффектов двойноговзаимодействия, например х4=х1х2.
Таблица планирования такого экспериментапредставлена в табл.6.5.1736. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТаблица 6.5Планирование ДФЭНомеропыта12345678Планx0+1+1+1+1+1+1+1+1x1-1+1-1+1-1+1-1+1x2-1-1+1+1-1-1+1+1x3-1-1-1-1+1+1+1+1Генерирующие соотношенияx4=x1x2x3x4=x1x2-1+1+1-1+1-1-1+1+1+1-1-1-1-1+1+1В первом случае определяющий контраст X42=X1X2X3X4=1. Получимоценку совместных оценок:X 1 = X 2 X 3 X 4 ; b1 → β 1 + β 234 ;X 2 = X 1 X 3 X 4 ; b2 → β 2 + β 134 ;X 3 = X 1 X 2 X 4 ; b3 → β 3 + β 124 ;X 4 = X 1 X 2 X 3 ; b4 → β 4 + β 123 ;X 1 X 4 = X 2 X 3 ; b14 → β 14 + β 23 ;X 1 X 2 = X 3 X 4 ; b12 → β 12 + β 34 ;X 1 X 3 = X 2 X 4 ; b13 → β 13 + β 24 .В реальных задачах тройные взаимодействия бывают равными нулюзначительно чаще, чем двойные.
Значит, если по физическому смыслу задачинас более всего интересуют оценки для линейный эффектов, следует использовать генерирующее соотношение X4= X1X2X3.Во втором случае определяющий контраст выражается соотношениемX42=X1X2X4=1; X1X2X4=1.При этом получим следующую систему оценок:X 1 = X 2 X 4 ; b1 → β 1 + β 24 ;X 2 = X 1 X 4 ; b2 → β 2 + β14 ;1746. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫX 3 = X 1 X 2 X 3 X 4 ; b3 → β 3 + β 1234 ;X 4 = X 1 X 2 ; b4 → β 4 + β12 ;X 1 X 3 = X 2 X 3 X 4 ; b13 → β 13 + β 234 ;X 2 X 3 = X 1 X 3 X 4 ; b23 → β 23 + β134 ;X 3 X 4 = X 1 X 2 X 3 ; b34 → β 34 + β 123 .Следовательно,дробнуюрепликусгенерирующимсоотношениемX4=X1X2 имеет смысл использовать, если нас более всего интересуют коэффициенты β12, β23, β34.Дробную реплику, в которой Р линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, обозначают 2k-P.Таким образом, планы первого порядка, оптимальные двухуровневыепланы ПФЭ 2k и ДФЭ 2k-P имеют следующие преимущества:1 – планы ортогональны, поэтому все вычисления просты;2 – все коэффициенты определяются независимо один от другого;3 – каждый коэффициент определяется по результатам всех n опытов;4 – все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой дисперсией, т.е.
эти планы обладают и свойством ротатабельности.6.3.6. Разработка математической моделигидравлического режима методической печиВ качестве примера рассмотрим разработку математической моделигидравлического режима четырехзонной методической печи с использованиемтеории планирования эксперимента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
