Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 31
Текст из файла (страница 31)
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫРешая два последних соотношения, находим, что экстремум будет достигаться в точке с кодированными координатами x1 = -0,08/(2⋅0,09)= -0,44 иx2=-0,55/(2⋅0,49)= -0,44, при этом натуральные значения факторов могут бытьнайдены из соотношенийX1нат − 0,35= X1код = −0,44;0,15X нат2 − 5,5= X код= −0,44.22Следовательно, при скорости выгорания углерода в период рудного кипения, равной 0,35-0,44⋅0,15= 0,28 %/ч, и времени разливки стали 5,5-0,44⋅2=4,6 мин пораженность листов расслоениями будет минимальной, и составитпорядка 0,16%.)y = 0,29 + 0,08 ⋅ (−0,44) + 0,49 ⋅ (−0,44) + 0,09 ⋅ (−0,44) 2 + 0,55 ⋅ (−0,44) 2 ≈ 0,16.6.5.
Планирование экспериментов при поиске оптимальных условийВо многих случаях инженерной практики перед исследователем возникает задача не только выявления характера связи между двумя или несколькимирядами наблюдений, но и нахождения таких численных значений факторов, прикоторых отклик (выходной параметр) достигает своего экстремального значения (максимума или минимума). Эксперимент, решающий эту задачу, называется экстремальным. В этом случае задача сводится к оптимизационной иформулируется следующим образом: требуется определить такие координатыэкстремальной точки (x1*, x2*, ..., xk*) поверхности отклика y=f(x1, x2, ..., xk), в которой она максимальна (минимальна): max y(x1, x2, ..., x k)=y(x1*, x2*, ..., xk*).Графическая интерпретация задачи оптимизации объекта y(x1, x2) придвух факторах x1, x2 представлена на рис. 6.4 a, б. Здесь точка А соответствуетоптимальным значениям факторов x1* и x2*, обеспечивающим максимум функции отклика ymax.
Замкнутые линии на рис. 6.4, б характеризуют линии постоянного уровня и описываются уравнением y=f(x1, x2)=B=const.Необходимость в экстремальных экспериментах довольно часто возникает в инженерной практике. Так, на модели шахтной печи с противоточно дви1956. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫжущимся плотным продуваемым слоем, схема которой представлена нарис.6.5, требуется определить расположение фурмы по высоте печи H, ее диаметр D и высов L, обеспечивающие максимальную степень использования теплового потенциала газового потока. В данном случае факторами являются H, D,L, а в качестве функции отклика y(H, D, L,) в первом приближении можно использовать температуру отходящих из печи газов.абРис.6.4.
Поверхность отклика (а) и линии равногоуровня (б): y=f(x1,x2)=B=const для n=2Заметим, что вид функции отклика в этом случае исследователю заранее неизвестен, т.е. отсутствует математическая модель, адекватно описывающая данный процесс. Требуется с наименьшими затратами (при минимальном числеопытов) определить оптимальные значения H*, L*, D*, при которых температураотходящих газов минимальна.1966.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫИзвестный из практики метод "проб" и"ошибок", в котором факторы изменяются наосновании опыта, интуиции или наугад, приобычно имеющем место значительном числефакторов при исследовании процессов в металлургии зачастую оказывается малоэффективным вследствие весьма сложной зависимости функции отклика от факторов.Требуют значительно меньшего числаопытов и быстрее приводят к цели те поиско-Рис.
6.5. Схема шахтной печи:вые методы оптимизации, где шаговое варьи- 1-1 -датчик температуры;рование факторами производится целенаправ- 1-2 – регистрирующий приборленно по определенному плану. Поисковые методы оптимизации относятся кклассу итерационных процедур, при этом весь процесс разбивается на шаги, накаждом шаге делается ряд опытов и определяется, каким образом нужно изменить факторы, влияющие на процесс, чтобы получить улучшение результата.При этом на каждом очередном шаге получаемая информация используетсядля выбора последующего шага.Разработано множество методов пошаговой оптимизации, которые подробно рассматриваются в разделе вычислительной математики – “Численныеметоды оптимизации”.
Мы же рассмотрим только некоторые из них, эффективность использования которых в промышленном и лабораторном экспериментеприменительно к металлургическим процессам подтверждена практикой.6.5.1. Метод покоординатной оптимизацииПроцесс поиска оптимума методом покоординатной оптимизации в графическом виде для двумерного случая представлен на рис.6.6. По этому методу выбирается произвольная точка М0 и определяются ее координаты.
Поископтимума осуществляется поочередным варьированием каждого их факторов.При этом сначала изменяют один фактор (х1) при фиксированных остальных(х2=const) до тех пор, пока не прекращается прирост функции отклика (точка1976. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫМ1). В дальнейшем изменяется другой фактор (х2) при фиксированных остальных (х1=const), и далее процедура повторяется.Данныйx2B1M0~x2B3B4B5A′M2Ax *2весьмапрост, однако при большом чис-B2M1методле факторов требуется значительное число опытов, чтобыдостичькоординатБолее того,B6B6>B5>B4рыхзависимостяхоптимума.при некотоy=f(x1,...,xk)этот метод может привести кложному результату. На рис.6.6~x1показан один из таких частныхx1случаев, когда поочередное из-Рис.6.6.
К методу покоординатнойоптимизациименение каждого из факторов вx1*любую сторону вдоль коорди-натных осей x1 и x2 вызывает уменьшение y. В результате решения находитсяx1; ~ложный экстремум, находящийся в точке А′ с координатами ~x 2 , в то времякак действительное значение максимума ymax находится в точке А с координатами x1* и x2*.В дальнейшем рассмотрим более совершенные методы.6.5.2. Метод крутого восхожденияИзвестно, что кратчайший, наиболее короткий путь — это движение поградиенту, т.е. перпендикулярно линиям равного уровня, на которых функцияотклика принимает постоянные значения y(x1, x2, ..., xk)=B.
В связи с этим приоптимизации процесса рабочее движение целесообразно совершать в направлении наиболее быстрого возрастания функции отклика, т.е. в направленииградиента функции y.1986. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСуществуют различные модификации градиентного метода, одним из нихявляется метод крутого восхождения. Сущность этого метода также рассмотрим на примере двухфакторной задачи (рис.6.7).x210M1 12911131487N1635M024x1Рис.
6.7. Процедура оптимизации методом крутого восхожденияВ этом случае шаговое движение осуществляется в направлении наискорейшего возрастания функции отклика, т.е. grad y(x1,x2). Однако направлениекорректируют не после каждого следующего шага, а при достижении в некоторой точке на данном направлении частного экстремума функции отклика.Пусть в окрестности точки М0 как центра плана поставлен ПФЭ 22. Координаты отдельных опытов соответствуют точкам 1-4. По результатам ПФЭможно рассчитать коэффициенты линейного уравнения регрессии.)y = b 0 + b1x1 + b 2 x 2 .Градиент функции отклика в этой точке определяется какgrad y =∂y r ∂y r⋅i +⋅ j,∂ x1∂ x2(6.37)r rгде i , j — единичные векторы в направлении координатных осей.Следовательно, для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально их коэффициентам регрессии и в сторону, соответствующую знаку коэффициента.
В процессе поиска двигаются в этом направле1996. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫнии до тех пор, пока не будет обнаружен локальный максимум (точка М1 на рис.6.7). В точке последнего находят новое направление градиента (направлениеМ1N), осуществляя опять же ПФЭ, и далее процедура повторяется. Стрелкамина рис. 6.7 показана траектория движения к оптимуму.Практически алгоритм сводится к следующей последовательности операций.1. Планирование и постановка ПФЭ (или ДФЭ) в окрестности точки начального состояния xi0. Расчет коэффициентов bi линейной математическоймодели с целью определения направления градиента.2.
Расчет произведений bi∆xi, где ∆xi — интервалы варьирования факторов при ПФЭ (ДФЭ).3. Выбор базового фактора xi=xi0, у которого b i ∆x i = a = max .4. Выбор шага крутого восхождения для базового фактора ha.Этот выбор производится на основании имеющейся априорной информации или с учетом опыта исследователя, технологических соображений илидругих критериев.
Относительно выбора шага заметим, что слишком малый шагпотребует значительного числа опытов при движении к оптимуму, а большойшаг создает опасность проскакивания области оптимума.5. Расчет шагов изменения других факторов по формулеh i = ( b i ∆x i ) h a / a .(6.38)Это соотношение между величинами шагов изменения отдельных факторов обеспечивает движение по градиенту в факторном пространстве.6. Составление плана движения по градиенту. Для этого в соответствии сопределенными значениями шагов изменения факторов и их последовательным алгебраическим суммированием с основным уровнем в точкеx ik = x i0 + kh i , k = 1,2,...находят координаты опытов 5, 6, 7, 8, 9, 10 (см.рис.6.7).
Часть этих опытов полагают "мысленными". "Мысленный" опыт заключается в получении предсказанных (расчетных) значений функции отклика по линейному уравнению рег2006. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫрессии, что позволяет сократить объем реальных опытов, т.е. увеличить скорость продвижения к экстремуму. При "мысленном эксперименте" перевод координат в кодированную форму и подстановка их в уравнение модели объектадолжна подтвердить действительное возрастание y. Обычно реальные опыты вначале движения из базовой точки вдоль направления градиента ставятся через 2-4 мысленных опыта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
