Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента (1062945), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Другие опыты реализуют на практике, определяя последовательность значений y в направлении градиента. Из опытных данныхнаходят положение локального экстремума (точка М1 на рис.6.7).7. В окрестности локального экстремума ставят новую серию опытов(ПФЭ или ДФЭ) для определения новых значений коэффициентов уравнениярегрессии и нового направления градиента (направление М1N на рис.6.7). Вдальнейшем процедура повторяется до достижения следующего локальногоэкстремума и так далее вплоть до определения окрестности координат максимума функции отклика, которая носит название почти стационарной области.Признаком достижения этой области является статистическая незначимость коэффициентов bi. В почти стационарной области становятся значимыэффекты взаимодействия и квадратичные эффекты. Здесь требуется переходить от ДФЭ (если он использовался ранее) к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второгопорядка.Очевидно, что в задачах, где требуется определить координаты не максимума, а минимума функции отклика, знаки коэффициентов bi следует поменять на обратные.
В этом случае движение в факторном пространстве осуществляется по направлению, противоположному вектору градиента.6.5.3. Симплексный метод планированияМетод симплексного планирования позволяет без предварительного изучения влияния факторов найти область оптимума. В этом методе не требуетсявычисления градиента функции отклика, поэтому он относится к безградиентным методам поиска оптимума. Для этого используется специальный план эксперимента в виде симплекса.2016. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫСимплекс — это простейший выпуклый многогранник, образованный k+1вершинами в k-мерном пространстве, которые соединены между собой прямыми линиями. При этом координаты вершин симплекса являются значениямифакторов в отдельных опытах. Так, например, в двухфакторном пространстве(на плоскости) k=2 симплекс — любой треугольник, в трехфакторном (трехмерном) k=3 пространстве — тетраэдр и т.д.Симплекс называется правильным или регулярным, если все расстояниямежду образующими его вершинами равны (равносторонний треугольник, правильный тетраэдр и др.).После построения исходного симплекса и проведения опытов при значениях факторов, соответствующих координатам его вершин, анализируют результаты и выбирают вершину симплекса, в которой получено наименьшее(наихудшее) значение функции отклика.
Для движения к оптимуму необходимопоставить опыт в новой точке, являющейся зеркальным отображением точки снаихудшим (минимальным) результатом относительно противоположной гранисимплекса. На рис.6.8 представлено геометрическое изображение симплексметода для двумерного случая k=2.x260%708090978562413x1Рис. 6.8. Схема движения к оптимальнойобласти симплексным методомПо итогам проведения опытов 1, 2 и 3 худшим оказался опыт 3. Следующий опыт ставится в точке 4, которая образует с точками 1 и 2 новый правиль2026. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫный симплекс. Далее сопоставляются результаты опытов 1, 2 и 4.
Наихудшийрезультат получен в точке 1, поэтому она в новом симплексе заменяется зеркальным отображением (точкой 5) и т.д., пока не будет достигнута почти стационарная область. Следует заметить, что хотя этот путь и зигзагообразен,общее число опытов, необходимых для достижения области оптимума, можетбыть небольшим за счет того, что проводить k+1 опыт приходится лишь в начале, а в дальнейшем каждый шаг сопровождается проведением только одногодополнительного опыта, условия которого выбираются на основе предшествующих результатов.После изложения основных идей симплексного метода планирования оптимальных экспериментов остановимся на некоторых его деталях.
Выбор размеров симплекса и его начального положения в известной степени произволен.Для построения начального симплекса значения в каждом опыте исходногосимплекса определяются по формулеx ij = x i0 + Cij∆x i ,(6.39)где xi0 — координаты центра начального симплекса; ∆xi — интервал варьирования i-го фактора; Сij — кодированное значение i-го фактора для j-го опыта, выбираемые из числовой матрицы для симплексного планирования, приведенныев табл. 6.18.Таблица 6.18Коэффициенты Сij для выбора координат симплекса *НомерФакторы (→ i)x2x3...X k-1Xkx1опыта (↓ j)1k1k2k3...K k-1Kk2-R1...Kk30-R2...Kk400-R3...Kk..................Kkk0000R k-1Kkk+100000Rki +1=i + 1 2i*) k i = 11; Ri =2i (i + 1)i; i = 1,2,..., k,2(i + 1)где k – число факторовЕсли, например, необходимо составить симплекс-план для двух факторов, то вначале ставят три опыта со следующими координатами:2036.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ1-й опытx11 = x10 + k1∆x1;x 21 = x 20 + k 2 ∆x 2 .2-й опытx12 = x10 − R1∆x1;x 22 = x 20 + k 2 ∆x 2 .3-й опытx13 = x10 + 0;x 23 = x 20 − R 2 ∆x 2 .Симплекс, рассчитанный по этим формулам, представлен на рис.6.9.Рис. 6.9. Схема построения начального симплексаТак, если x10=0 и x20=0, а ∆x1=∆x2=1, то координаты опытов будут равны(см. рис.6.10): опыт 1 (0,5;0,289), опыт 2 (-0,5; 0,289) и опыт 3 (0;-0,577), что соответствует координатам вершин равностороннего треугольника с длиной стороны, равной 1.
Начало координат в этом случае находится в точке пересечения медиан (биссектрис).Для определения условий проведения опыта в отраженной точке (координат новой вершины симплекса) используется формула2046. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫxiн =2 k +1∑ xij − xiз , j ≠ i з ,k j =1(6.40)где xiн — координата новой точки (новой вершины) симплекса для i-й переменной; xiз — координата заменяемой точки (координата вершины симплекса с1 k +1наихудшим откликом перед ее отбрасыванием); ∑ xij — среднее значение изk j =1координат всех вершин симплекса, кроме заменяемой.Известны следующие критерии окончания процесса последовательногоотражения наихудших вершин и постановки очередных опытов в новых вершинах:1.Разностьзначенийфункции отклика в вершинахсимплекса становится меньшеранее заданной величины. Этоозначает либо выход в "почтистационарную" область вблизиоптимума,либоучасткаРис.6.10. Координаты вершин симплексапри xi0=0, ∆xi=1 и n=2достижениеповерхности)y = f ( x1 ;...; x k ) = const в виде "пла-то".
В этом случае дополни-тельными опытами в стороне от симплекса следует удостовериться в отсутствиидругихучастковсболеесущественнойкривизнойповерхностиy = f ( x1 ;...; x k ) и принять величину с экстремальным значением функции откли-ка за точку оптимума.2. Отражение любой из вершин симплекса после однократного качанияприводит к его возврату в прежнее положение. При этом есть основания утверждать "накрытие" симплексом точки оптимума.3. Циклическое движение симплекса вокруг одной из его вершин на протяжении более чем нескольких шагов. Подобная ситуация имеет место, когдаискомый оптимум располагается внутри области, охватываемой циркулирующим симплексом.2056. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.
ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫВ случаях 2 и 3 рекомендуется уменьшить размеры симплекса, т.е. расстояния между вершинами, и продолжить поиск до желаемого уточнения координат искомого оптимума.Изложенный алгоритм симплексного метода сравнительно прост, он достаточно эффективен, однако работает недостаточно быстро. Существует егомодификация, известная под названием "метод деформируемого симплекса",которая ускоряет процесс поиска оптимума за счет использования на данномшаге информации, накопленной на предыдущих шагах.Сущность метода поиска по деформированному симплексу заключаетсяв том, что при отражении наихудшей вершины относительно центра тяжестипротивоположной грани размер симплекса не остается постоянным, а осуществляется его деформация (растяжение или сжатие).
Для пояснения существаметода введем координату центра тяжести x i остальных (за исключением наихудшей) вершин симплекса:k +1xi = ∑ xij k ; j ≠ iз .j =1Тогда формула (6.40) может быть преобразована к видуx iн = 2 x i − x iзили~x iн = x i + α( x i − x iз ).x iн = x iн .При α=1 получим выражение (6.40) и ~Введем обозначения:yз — наихудший (минимальный) отклик в симплексе;ymax — наилучший (максимальный) отклик;yз’ — отклик, следующий за наихудшим.Следовательно yз < ymax < yз’.В зависимости от значения функции отклика в точке нормального отражения yн при α=1 возможны следующие варианты:2066.
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ1) если yз < yн < ymax, т.е. xiн будет нехудшей и нелучшей точкой в новомнаборе точек, то xiз следует заменить на xiн с α=1. В этом случае осуществляется нормальное отражение;2) если yн > ymax, то xiн оказывается новой лучшей точкой в новом набореточек. В этом случае направление растяжения признается “весьма удачным” исимплекс растягивается в нормальном направлении. Для этого случая 1<α<2 иα называется коэффициентом растяжения;3) если yз < yн < yз’, то направление отражения признается правильным,но симплекс слишком велик и его следует сжать выбором коэффициента сжатия α из диапазона 0<α<1;4) если yн < yз, то даже направление отражения выбрано неверно и следует осуществить отрицательное сжатие выбором отрицательного значения коэффициента α (-1<α<0).Таким образом, накаждом шаге следует вначале нормально отразитьнаихудшую вершину симплекса (α=1), поставить вэтой точке опыт, определить yн, а затем поставитьследующий опыт в точкефакторного пространства~x н , координаты которойопределяются по формуле(6.40) с учетом рассмотренных вариантов 1-4.Рис.6.11.
К методу деформированного симплексаНа рис.6.11 показаны точка 4 очередного опыта при нормальном отражении (α=1) наихудшей вершины 1, точки 5’, 5’’, 5’’’ последующих опытов для случаев соответственно растяжения (α=2), сжатия (α=0,5) и отрицательного сжатия(α=-0,5) симплекса.2076. МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТаким образом, метод поиска по деформированному симплексу обладаетповышенной гибкостью, позволяющей учитывать особенности поверхности отклика.Пример 6.1 [18].
Пусть объект обладает свойствами, соответствующимиуравнениюy = 4 + 12 x 1 − x 12 + 30 x 2 − 3x 22 .Найдем экстремум функции симплекс-методом. Выберем основной уровень факторов. Предположим, что по некоторым данным экстремум находитсявблизи значений x1 0=3 и x2 0= -1, которые и принимаем за основной уровень.Интервал варьирования примем равным ∆x1=1 и ∆x2=1,5. Найдемk1 =1= 0,5;2 ⋅1⋅ (1 + 1)R1 =1= 0,5;2 ⋅ (1 + 1)k2 =1= 0,289;2 ⋅ 2 ⋅ (2 + 1)R2 =2= 0,577.2 ⋅ (2 + 1)Находим координаты первых трех опытов, так как m+1=2+1=3.Вершина 1: x11 = 3+0,5⋅1=3,5;x21 = -1+0,289⋅1,5= -0,565;Вершина 2: x12 = 3-0,5⋅1=2,5;x22 = -1+0,289⋅1,5= -0,565;Вершина 3: x13 = 3+0=3;x23 = -1-0,577⋅1,5= -1,865.Подставляя найденные координаты вершин в уравнение, получили следующие результаты опыта: y1=15,84; y2=9,78; y3= -35,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
