Крутов В.И. - Техническая термодинамика (1062533), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Следовательно, суммарный теплообмен рабочего тела с внешней средой окажется равным нулю (д = О), хотя процесс сжатии был явно не здизбатным. Таким образом, необходимым и достаточным для адиабатного процесса является условие б(/ = О. !ш Уравнение аднабатиого процесса может быть получено из уравнв иия (39) при до = 0 Если исполь1овать соотношение (!84), го уравнение (39) можно представить в виде с, г)Т + рбо = О, (294) или с учетом выражения (220) Й6Т + (й — 1) рдо = О, (295) Дифференцирование уравнения состояния идеального газа (б4) дает выражение (295) рбо + одр = ййТ, подставив которое в уравнение (295) получим одр + йрдо = О.
После разделения переменных др/р + йбо/о = 0 (297) н интегрирования при й = сопз! имеем !п р+ й !п о = сопз1. откуда ро" = сопз1. Полученное уравнение является уравнением адиабаты идеального газа при постоянных теплоемкостях (ст = сопз1 и ср — — сопз1). Сопоставление уравнений (289) и (298) показывает, что на тр диаграмме адиабата протекает круче изотермы (й) 1) и является неравнобокой гиперболой (рис. 25, а). Из уравнения (298) следует, что Рз/Рг = (от/о~) ° (2! кь С помощью уравнения состояния, написанного для точек 1 и 2 адяабатного процесса, р,о, = Тс Т,, и р,о, = ЙТ, (300; выражение (299) дает возможность получить соотношения между температурами и удельными объемами Т,/Т, = (о,/о,)"-ь (301) или между температурами и давлениями Т,/Т, = (р,~р,)"-'"" (302) При дд = 0 уравнение (39) первого закона термодинамики получает вид Ж = — ди.
Следовательно, работа при адиабатиом процессе совершается только за счет уменьшения внутренней знергии (рис. 25, а). 1!7 Рис. 25. Адпабатпыа процесс: о па ор.дааграмме; б — па зг-дааграмме; е схема раепределеама удельлоа теплоты Проинтегрировав последнее выражение, имеем ае /= — ~ »(имм — (ид — и»)=и,— им (303) о, Если во= сова(, то о учетом выражения (184) можемзапиеатв / = с, (Т» — Т,). (304) После подстановки (220) приходим к выражению 1= (й /(й — 1)) (Т, — Т,), (305) или с учетом уравнений (300) получаем / = (1/(/» — 1)) (рти» вЂ”, рава) (306) 118 Вынесем р»о, за скобки, тогда 1 = [р о,/(й — 1)] (1 — Т,/Т,), а о учетом соотношений (298) и (299) 1= [р,о,/(/» — 1)] [1 — (о,/о»)»»], нлн (307) (308) 1= [р о»/(й — 1)] (1 — (р»/М" 'н»]. (309) Располагаемая удельная работа 1» адиабатного процесса на ор-- диаграмме определяется пл.
1'122' (рис. 25, а), поэтому 1» = РР» + 1 Р»о» Принимая во внимание формулу (306), располагаемую удельную работу можно определить по соотношению 1» = к[. (310) Так как при адиабатном процессе ба = О, то энтропия рабочего тела в обратимом процессе не изменяется (бз = 0 и з = сопМ). Следо- вательно, на »Т-диаграмме адиабатный процесс изображается верти- кальной линией (рис. 25, б), причем падение температуры происходит при расширении рабочего тела, а увеличение температуры — при его сжатии, Выражение с = г[г//г[Т показывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.
Об этом же свидетельствует адиабатный процесс, изображенный на »Т-диаграмме, так как подкасательная к нему, даю- щая представление о теплоемкости, также равна нулю. Постоянство показателя адиабаты, принятое выше, во многих слу- чаях оказывается весьма приближенным. Оио справедливо лишь в слу- чае, когда диапазон изменения температуры рабочего тела в адиабат- ном процессе таков, что зависимостями с, н ср от температуры можко пренебречь, В действительности показатель адиабаты, определяемый выражением (217), зависит от температуры. Эта зависимость в некото- рых случаях может быть принята в прямолинейной форме.
Зависимость теплоемкости газа от температуры приводит к необхо- димости уточнить запись уравнения адиабаты для этого случая. В про- стейшем случае линейной зависимости теплоемкости от температуры с, = а, + 5Т уравнение (294) получает вид (а, + ЬТ) бТ + рдо = О, вли о учетом уравнения (296) (а, + ЬТ) г[ (ро) + крс]о = О. Разделим члены уравнения на произведение ро, тогда а, с[ (ро)/ро + (о/)с) г[ (ро) + )х (бо/о) = О, откуда а, 1п (ро) + 5Т -[- й !п о = сопИ нли р~о »Л0+Я е»г сопз[ Введем обозначение а„= а, + Й, тогда р ° о» е =сопз1. и а ьт (311) б( = рдо = — ди = — с,бТ Й = — (а, +ЬТ) ЙТ. илн Интегрирование в пределах изменения температуры от Т, до Т, при- водит к выражению т, 1 = си ) (Т» — Т»), т, (312) т где с, ~ = а, + (Ь(2) (Т, + Т,).
т, Правая часть этогоравенства представляет собой изменение внутренней энергии рабочего тела без теплообмена с внешней средой, чем и выражается основное содержание понятия адиабатного процесса: работа совершается за счет изменения внутренней энергии рабочего тела. Если крайние значения температур процесса располагаются в пределах от нуля до нескольких сотен градусов, то допустимо принимать ст ж а„и тогда выражение (312) совпадает с (304). $49.
Попнтропный процесс Наименование политропный процесс получил от сочетания двух греческих слов: «полн» вЂ” много н «тропос» — путь. Если с удельная теплоемкость полнтропного процесса, то бд=сдТ и уравнение (39) преобразуем к виду сбТ = с, 6Т + рбо (313) или (с — с,) 6Т = р«1о.
Из уравнения (296) следует, что АТ = (рдо + обр)/)с. Поэтому (с — с,) (рдо + обр)/)с — рйо = О, или после некоторых преобразований (с — с„) рбо + (с — с,) бор=О. 120 Полученное таким образом уравнение адиабаты при переменных теплоемкостях включает трн параметра состояния рабочего телз: р,онТ. Прн постоянных теплоемкдстях уравнение(311) преобразуется квнду (298). Действительно, в этом случае коэффициенты соответственно равны а, = с„Ь = О, а» = с ., поэтому после извлечения корня сюй степени уравнение получает вйд (298). Удельная работа, совершаемая рабочим телом в аднабатном процессе при переменных темплоемкостях, может быть подсчитана по соотношениям г-г рс' '" =-сопя(.
Уравнение (314) и является уравнением полнтропы. Обозначим показатель политропы и, т. е. и = (с — с )/(с — с,), тогда уравнение (314) преобразуется к виду Рс" = сопз1. (314) (315) (316) Уравнение (316) показывает, что политропным является такой термодинамический процесс изменения параметров состояния рабочего тела, при котором в течение всего процесса показатель политропы и, могуший иметь любое значение в пределах от — оо до + оо, остается постоянным. Политропный процесс при определенных условиях является обобшающим по отношению к предыдушим уже рассмотренным четырем процессам (изохорному, изобарному, изотермному и адиабатному).
Действительно, уравнение'(316) становится уравнением изохоры (с = =сова(), если в уравнении рыи с=сопз1 принять и = ~ оо. При и = О.уравнение (316) есть уравнение изобары (р = сопя(); при и =!— нзотермы и при и = я = сопя( — адиабаты. Сравнение уравнений (298) и (316) дает возможность в соответствии с соотношениями (299), (301) и (302) для полнтропного процесса (при й = и) записать соотношения: — ' = (ог/пг)"; Т,/Т, = (сг/пг)" ', Т,/Т, =(Р,/Р,)ги Рг По аналогии с выражениями (305), (306), (308) и (309) для полнтропного процесса могут быть написаны формулы: Р (= — (Т вЂ” Т); и — ! ! (Рг "г Рг г'г) и — ! (3)Т) работы (318) (319) пг ~г 11 ( /, )и- !1.
и — ! (320) 1/ (Рг/Рг) и — ! (321) работу По аналогии с выражением (310) располагаемую удельную политропного процесса можно определить по формуле 10 = и!. (322) Деление обоих членов полученного уравнения на выражение (с — с,) рс и последуюшее интегрирование приводят его к виду 1(с — ср)/(с — с,)11п п+!п р = сопз1, откуда Таблица 2 Процесс Процесс Адиабатный Попитропный Изокорный Изобарный Изотермпый О с„)л — й)/(л — !) ос О ! с„ ср Если удельная теплоемкость с политропиого процесса известна, то теплота, подведенная к рабочему телу в этом процессе, может быть определена путем интегрирования выражения дд = сдТ.
(324) Подстановка в это выражение соотношения (323) и последующее интегрирование приводят его к виду О=со л ' (Т,— Т,). (325) л — ! Вся теплота, подведенная к рабочему телу в политропном процессе, в общем случае расходуется на изменение внутренней энергии и свершение внешней работы. Долю теплоты, расходуемой на изменение внутренней удельной энергии рабочего тела, можно представить в виде отношения ср = дийс) = с,дТ!(сдТ) = с,~с. Формула (315й дает возможность определить удельную теплоемкость политропного процесса по соотношению с = п, (л — л)/ (л — 1), (323) показывающему, что удельная теплоемкость идеального газа в каждом термодинамнческом процессе имеет свое значение.
С помощью формулы (323) можно проследить за изменением удельной теплоемкости рабочего тела при политропном процессе в зависи. мости от показателя полнтрапы л. График на рис. 26 показывает, что с а в диапазоне изменения пока- зателя политропы 1 < л ( й ! оказывается отрицательной веср личиной. Это свидетельствует о том, что в таких процессах д) — — и дТ имеют различные алгеб- раические знаки, т. е. при подл , воде теплоты к рабочему телу температура последнего снижается и при отводе теплоты— Рнс. 2б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
