Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следует подчеркнуть, что в соответствии с двойственным решением уравнения (4-17) одному значению угла отклонения потока 6 соответствуют два различных значения р. Опыт показывает, что плоскому косому скачку отвечает только меньшее значение р. Йь!ше в предположении, что скачок занимает среднее положение между характеристиками невозмущенного и возмущенного потоков, была дана формула 1 = —,(, + „,+3).
Сравнение этой формулы с точным выражением (4-17) для нескольких значений 4, приведено также на рис. 4-5. Кривые показывают, что с увеличением скорости перед скачком А, расхождение между результатами расчета по Рис. 4-5. Зависимость между углом отклонения потока и углом скачка при различных скоростях ненозмущенного потока (для )з = 1,3). †точн формула(4.17); — — — ~разлажчаная формула 14 17а). точной и приближенной формулам увеличивается. Величина погрешности зависит также от Ь. Из уравнения (4-17) следует, что 3а 0 прн р=аам и при Р= —. Таким образом, кривая 6=6(Р) имеет )накси- 2 !4-20) Л4 й+1 Р2 2 !4-21) — ь 1 ='! 1+ — М 2 1 140 141 )иум, положение которого определяется обычным спосоомом. Продифференцировав уравнение !4-17) и приравняв производную нулю, после преобразования получим; 1 м+! 2 з)п'й = — — М вЂ” 1+ ьл42 ~ 4 .!.у' Я.Р1)(1-Р': —,'м,'1-'+м',)) М-18) где й — угол косого скачка, соответствующий максимальному углу отклонения потока 4„,.
Отсюда следует, что при М,=1 угол й = —, а при /ь+ 1! М,=оо угол р =агсз)п(р — „— ~ . Для промежуточных значений угол й с ростом М, вначале уменьшается, а затем несколько возрастает. Уравнение !4-11а) позволяет прослвдить изменение скорости потока за косым скачком М, в зависимости от М, и й.
С увеличением й !при постоянном М,) М, уменьшается: перепад скоростей в скачке увеличивается. При некотором значении й = й, скорость за скачком становится звуковой !'М,=1). При дальнейшем увеличении й течение за скачком будет дозвуковым. Величину й, можно определить по уравнению (4-11а), подставляя М,= 1. Тогда после преобразований получим: )4+!, з — ь з)п'Я = — — М вЂ” — + гм м!42 ~ 4 ! 4 1 Заметим что при М = 1 УГол я я — ' при М— /ь+ й у!"ол й~=й =агсз1п ( ~~ Последнему значению й, отвечает максимальный угол 6„, определяемый из !4-17)! Для значений м, оо угол р ~ 'р„ н, следовательнд, М ( 1. Это означает, что при максимальном угле отклонения потока скорость за скачком будет дозвуковой.
Так как, однако, для всех М, углы й„ и р, весьма близки, то в первом приближении можно считать, что максимальный угол отклонения для каждого значения скорости невозмущенного потока достигается при звуковой скорости за скачком !М, =1). Мы установили, что параметры течения за косым скачком зависят от угла косого скачка р. При увеличении 5 давление, температура и плотность газа за скачком увеличиваются !параметры потока до скачка предполагаются неизменными), а безразмерная скорость уменьшается.
Угол отклонения потока, как было показано, вначале увеличивается !прн й <" й„), а затем уменьшается !при й ) й,). В частном случае й = — изменения параметров в скачке г оказываются максимальными, а угол отклонения 3 = О. Такой скачок расположен нормально к направлению скорости невозму щенного потока и называется п р я м ы м скачком. Прямой скачок является частным случаем косого скачка; основные уравнения прямого скачка получаются из формул 14-11) — !4-15) после подстановки й = — ' 2 Изменения давлений и плотностей в прямом скачке найдем из формул (4-13) и (4-14): Ь вЂ” 1 Р2 Й вЂ” 1! 2Ь 2 Х ' Ь-!-! Р а+!~4 — ! ) 1 — — !2 м+1 ! отношение температур — из формулы (4-15): ;-=(~)'(,— ", М! — 1)(, ',~.!.1). М22! или по формуле (4-11б) Рл Лмаас ! 3!па 1 1 2 (4-!за Л вЂ” — 1 алака 21 Рл макс (4-24) Л,Л,=1, т. е.
(4-24а) С,са =а. 12 макс (4-14а Рл 1 — с 2 + 2 ,па 1 (4-1!б) где 1 — — сова() 12 1 а макс 1пп — = —, ра ь+! р, й — 1' Х2-,— ач-1 ! а — 1 1(сл )) = шп' р га 1 — 22 т, Угол скаЧка 143 142 Везразмерная скорость за прямым скачком Может быть получена по формуле (4-11а): Л4 +— 2 й — 1 2' 2л (4-23) й — 1 1 М~ — 1 Мы видим, что произведение скоростей до и после прямого скачка равно квадрату критической скорости.
Отсюда прежде всего следует„что скорость газа за прямым скачком всегда меньше критической скорости (с,( а ) Формулы (4-20) — (4-23) показывают, что интенсивность прямого скачка увеличивается с ростом скорости иевозмущенного потока М, (или Х,). Отношение плотностей при максимальной скорости стремится к конечному пределу а отношения давлений и температур возрастают безгранично.
Необходимо иметь в виду, однако, что при больших сверхзвуковых скоростях, когда в результате скачков температура н давление газа повышаются весьма сильно, полученные формулы являются приближенными, так как они не учитывают развивающейся зависимости теплоемкости от температуры, диссоциации молекул и отклонения свойств реальных газов от свойств совершенного газа, состояние которого описывается уравнением (1-1). Формулы косого скачка могут быть преобразованы к виду, удобному для анализа влияник физических свойств газа (показателя )а). с С этой целью введем безразмерную скорость 1= — и выразим Смакс показатель взоэнтропнческого процесса через максимальную скорость й + 1 Лз макс — !а — 1 й= макс — ! Заменив й в уравнениях (4-13] н (4-14) его значением, получим: Скорость за скачком выражается уравнением [формула (4-11б)] Л2 32 соз 1+)д, 1), Л2 2 л 1 )хак видно, каждая из прнведеивых формул содержит два сомно- жителЯ, один из котоРых ззвисит только от ел и Р и не зависит от й, а второй является функцяей только й, Такая структура формул скачка позволнет приближенно оценить влияние изменения физических свойств газа и производить расчет параметров косого скачка при различных постоянных значениях й'.
Для определенна других параметров скачка можно пользоваться очевидными соотношениями. Отношение температур 1 — 11, 1К р= 1+ 2 ' !п 3 !м(я г)Лз 1 макс э формулы даны 1'ь В. Поляковским. Дли расчета скачков при различных А могут быть построены графики рз)р, в зависимости от с„у )или 6) и я (рис. 4-6). Влияние )г можно онеиить при одинаковых р илн 6. Сравнение при одинаковых р показывает, что с уменьшением А интенсивность скачка возрастает. 4-3. УДАРПАЯ ПОЛЯРА чг Ю ез ег ег еь В~ 'ь й о о о о о ы ь ь о о х й И 'е ь е ь Я о о Ю Л Ю г Зависимость между параметрами на скачке можно в весьма удобной форме представить графически, С этой целью рассмотрим треугольники скоростей на скачке (рис. 4-7). Расположим вектор скорости до скачка с, по оси х (отрезок О)'.)).
Отрезки ОР и РР представляют собой соответственно касательную с, и нормальную с„, составляющие скорости до скачка. Зная угол отклонения потока о, Рис. 4-7. Треугольники скоростей на скачке проведем линию вектора скорости за скачком с, до пересечения с отрезком Ро.
Точка пересечения (точка Е)определяет величину вектора с„ а отрезок ЕР выражает нормальную составляющую скорости за скачком. Вектор скорости с, можно представить двумя другими составляющими: и, и и,. Компоненты и, и и, являютсяпроекциями с, на направление скорости потока перед скачком н на нормаль к этому направлению.
Найдем уравнение кривой, описываемой концом вектора скорости за скачком с„ при постоянном значении вектора скорости перед скачком с, и переменных значениях угла поворота потока за скачком о. Выражая это уравнение в форме связи между и, и о„ мы получим кривую скорости за скачком в плосности гоцографа скорости. с =-с "а п2 о! соа р Отсюда, имея в виду, что соз' р = —,—, и получим: (4-26) 2 а и = — с+ — ' !с+1 ' с, и,=с, а и,с, =а, Для получения искомой зависимости используем основное уравнение косого скачка (4-5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
