Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Уг(й+»-(й — »Лая~[ и =агсейп — 1,г )2 2 /' и согласно (3-47) 0 = — агсз(п 1 1 — (Л (гг „г — . ° / Г, /( -1)Ля-Р. »') 2 l получим: +агЫп тГ (/г+» — (е — 1) Лзя л. 1~ 2 г) 2 Применяя известные тригонометрические преобразования, из (3-53) найдем: 0 = )7 — — агсз(п [й — (й — 1) Л, [+ ° /я'+ 1 У а — 1 +агссоз й — (й+ 1) — ~- — -2 †. (3-03а) Величину 0 можно представить в зависимости от Ма нли р,,1р,. Соответствующие значения 0 для трех различных показателей 0=1,135; 1,3 и 1,4 приведены на рис. 3-21 и в таблице функций изознтропического потока (см. при. ложение). га Рис.
3-2!. Изменение углов д и 6 в зависимости от отношения давлений. Максимальный угол отклонения йм, отвечает максимальной скорости течения Л„,„, (или р,/р, =О). В этом случае, как уже указывалось, а е В и, следовательно, или с учетом (3-49) получим: макс 2 ЛГ' а ! 1) (3-54) 3 7. ДИАГРАММА ХАРАКТЕРИСТИК Пользуясь уравнением (3-53), рассмотрим изменение скорости вдоль некоторой линии тока ЕРН (рис. 3-22). Допустим, что скорость невозмущенного течения перед угловой точкой Л Л, = 1. За угловой точкой давление Ра= О. Таким образом, вдоль линии тока ЕРН происходит непРеРывное РасшиРение потока от Р, =Р до Рз = О; Рис.
3-22. Годограф вектора скорости при обтекании угла сверх. звуковым потоком. выражающее функцию о(Л), является уравнением годографа скорости в полярных координатах. Согласно (3-53) годограф скорости представляет собой эпициклоиду. Остановимся более подробно ня некоторых свойствах годографа скорости, Проведем в .плоскости потока характеристику ЛР, пересекающую линию тока ЕРН в точке Р (рис.
3-22)„ и найдем в плоскости годографа соответствующую ей точку Р'. Это можно сделать, проведя из точки О линию вектора скорости Л„под углом Ь„к направлению потока ОЕ'. Направление вектора Л совпадает с направлением касательной к линии тока в точке Р. При перемещении в бесконечно близко расположенную точку Ра скорость потока меняется на с(Лл (угол отклонения изменился на г(о).
Угол между касательной к годографу в точке Р и вектором скорости можно найти по уравнению Л! оа 1э Рг= сл длл Величину „ определяем дифференцированием уравнения (3-53); получим: Л' — ! 'Л л — ! 'л' 1 — — Ла А+1 Следовательно, ,р ~ГМа„ Очевидно, что при этом скорость потока увеличивается от Л, = 1 до Л,=л„„,, В каждой точке линии тока можно определить величину и направление вектора скорости Л. Отложим эти векторы из некоторого центра О.
Тогда концы векторов опишут кривую †годогр скорости для данной линии тока. Заметим, что точки годографа скорости Е'РН' соответствуют точкам ЕРН линии тока. Отсюда следует, что — а+! отрезок ОЕ'=1, а отрезок ОЕ= —. Уравнение (3-53), л~ — 1' 116 Угол между нормалью к годографу Р'Л' и направлением невозмущенного потока РР' равен: 1 1 12'а „= '"" !а т„)/л!г или 1 япа ыа А1„, 117 Следовательно, нормаль к годографу скорости Р'А является характеристикой в плоскости потока, так как угол этой нормали с направлением вектора скорости равен углу наклона характеристики а„ . Отсюда следует очевидный вывод о взаимной ортогональности характеристик и касательных к годографу скорости (рис, 3-22). Линию годографа скорости Е'Р'гт'2" ,называют характеристикой т с ч е н и я в п л о с к о с т и г о д о г р а ф а (плоскость и, и).
Следует подчеркнуть, что все линии тока имеют общий годограф скорости, т. е. форма характеристики в плоскости годографа не зависит от характера течения и одинакова для всех плоских сверхзвуковых потоков газа с данными физическими свойствами. Так же как и в поле потока, в плоскости годографа можно построить две характеристики, симметричные относительно оси, которые относятся к двум различным семействам.
Для рещения ряда практических задач удобно использовать сетку характеристик первого .и второго семейств. Совокупность характеристик двух семейств в плоскости годографа называется диаграммой хара кте риот иК. Диаграмма характеристик может быть построена по уравнению (3-53) или графическим способом.
Графический способ основывается нз следующих соображениях. Установим характер зависимости между вектором скорости Л и углом наклона характеристики а . Заметим, что в плоскости годографз сверхзвуковзя область заключенз в кольцевой облзсти между двумя окружностями (рнс. 3.23). Радиус внутренней окружности равен Л =!. .у/й-(-1 Внешняи окружность имеет радиус, равный у — . Как уже ука- У 2 — 1 . /2+1 зывалось, при изменении скорости от Л = 1 до Л = У вЂ” угол пав У 2 — 1 я клона характеристики меняется в пределах от а =- †, до а = О.
ю 2 Учитывая, что (л 1 !) (л !)ла з!п'а И 2Л' и Лз= Л„+ Ля, где Лз — — Л з!паап приходим к уравнению 3 2 2 2 2 — Л,+Л =1. Л+)г в 118 Таким образом, зависимость а (Л) в полярных координатах (Л, а ) выражается уравнением эллипса. данна малой полуоси эллипса Гл+ ! равна 1, длина большой полуоси равна У Расположим эллипс в плоскости годографа (рис.
3-23). Отрезок, соединяющий центр О с некоторой точкой на дуге эллипса Е, определяет в масштабе построения вектор скорости Л. Угол между вектором Л и большой полуосью эллипса равен ам. Очевидно, что большая полуось ОМ при этом дает направление характеристики в поле потока, а малая полуось 01. — направление Ф характеристики в плоскости годографа. Следовательно, отрезок гН, параллельный ОЕ, является касательной к характеристике в плоско- хсти годографа в точке Р. я Проведя в нескольких точках )НЗ эллипса отрезки, параллельные ма.
лой оси, и поворачивая эллипс вокруг центра О, мы можем построить группу характеристик первого семейства в плоскости годографа РГД Р РР и т. д. Так как пРн повоРоте эллипс Р с 323 " остро н ю харак- проходит через каждую точку теристик в плоскости годографа кольцевой области двалсды, то легко нанести и другую группу эпициклоид, составляюшнх второе семейство характеристик (пунктирные кривые на рнс.
3-23). Характеристики второго семейства являются зеркальным отображением характеристик первого семейства. Годогрзф скорости можно также получить путем качения без скольжения окружности радиусом — ! У вЂ” — 1) по внутренней 2')У й — 1 окружности кольцевой области (штрих-пунктирная окружность на рис. 3-23). Диаграмма характеристик в плоскости годографа используется для приближенных расчетов плоских сверхзвуковых течений. С этой целью в плоскссти годографа наносят отрезки характеристик двух семейств на одинаковом и достаточно малом расстоянии друг от друга. Для практического использования достаточна часть кольцевой области, расположенная в секторе с углом 70о. Каждой эпициклоиде присваивается определенный номер.
Заметим, что любая окружность в плоскости годографа представляет собой линию постоянного модуля скорости, а любой луч, идущий из центра О, определяет направление 119 лй лл б,) 120 121 вектора скорости в данной точке (рис. 3-24). Внутренняя окружность разбивается на градусы; отсчет угла ведется от горизонтальной осн плоскости годографа (положительные угльг откладываются вверх, а отрицательные — вниз). Каждой эпициклоиде приписывается номер, показывающий угол луча, продолжением которого служит рассматри- Рис. 3-24.
Обозначения характеристик и окружностей (ливий 1с = сонат) в диаграмме характеристик. ваемая эпициклоида (рис. 3-24). Эпициклоиды первого семейства, идущие вверх, имеют индекс 1 (10„20„о0, и т. д.), идущие вниз обозначены соответственно индексом 2(10„ 20„30, и т. д.). Окружности (линии л=сопз1) также обозначены определенным номером. При ускорении от Х =1 до заданного значения Х поток отклоняется на определенный угол й, который можно найти наложением двух лучей, пересекающих характеристику на окружности радиуса й = 1 и на окружности радиуса л (рис. 3-24). Вдоль окружности угол отклонения а сохраняет постоянное значение; он равен полусумме номеров эпициклоид двух семейств, пересекающихся на данной окружности. Если номера эпициклоид обоих семейств уменьшаются или увеличиваются на одну и ту же величину, то соответствующая нм точка в плоскости годографа перемещается вдоль окружности.
Каждая окружность в диаграмме характеристик обозначена номером, показывающим сумму номеров эпицнклоид (имеющих разный знак ( )) нли разность номеров эпициклоид [имеющих одинаковый знак (+ или — )), пересекаю- ра Рис. 3-25. Примср расчета сверхзвукового потока вдоль криволинейной стенки методом характеристик. а п в †плоскос потока; 6 — пласкасгь Гадагркфк скорости. щихся на данной окружности, и равным удвоенному углу отклонения потока при расширении от к=1 до к, отвечающему рассматриваемой окружности.
Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие методику пользования диаграммой характеристик. Так, на рис, 3-25,а показано обтекание выпуклой криволинейной стенки плоским сверхзвуковым потоком. Для приближенного расчета потока заменим плавную линию стенки АВС0 ломаной линией; каждый отрезок этой линии (АВ, ВС, СВ) поворачивается на одинаковый угол, равный, например, 5о. Перед характеристикой Ат, известны скорость потока хт = 1,227 и соответствующий угол и„, = =50о37г. В плоскости годографа (рис. 3-25,5) этой харак- теристике отвечает точка А', которая в диаграмме харак" теристик может быть выбрана произвольно на окружности 10, соответствующей скорости Х, = 1,227, Возьмем эту точку на пересечении характеристик ' +Ь вЂ” о 3 Прн переходе в область П поток отклоняется на угол 5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
