Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Так как в рассматриваемом случае речь идет о слабом возмущении, то эту линию называют гр а н и ц е й слабых или звуковых возмущений, слабой волной, характеристикой или линией Маха. При этом имеется в виду, что г г'бг >а,) любые слабые возмущения по- Ф тока распространяются со гу1 скоростью звука (гл. 2). Механизм распространения слабых возмущений можно Рке З-16. Обтекание сверхзеукопроанализировать более ' под еыч потеком угловой точки. робно, рассматривая другой непрерывно действующий источник возмущения в плоском безграничном сверхзвуковом потоке.
Таким источником слабых возмущений может служить остроконечное тонкое тело бесконечного размаха с весьма малым углом раствора переднего клина (рис. 3-17). Создаваемые телом небольшие изменения параметров потока распространяются со скоростью звука а„ тогда как скорость набегающего на тело потока с, )а,.
Волны возмущения представляют собой круговые бесконечные цилиндры, радиус которых легко определяется как а,гг1, где Ы вЂ” отрезок времени, исчисляемый от момента зарождения рассматриваемой волны в точке А. За этот же отрезок времени частицы проходят путь, равный с,Ы. Следовательно, центр наблюдаемой волны перемещается в новое положение А,. При непрерывном обтекании тела в точке А последовательно образуется бесковечное количество волн, движущихся по направлению потока.
Так как скорость течения с, )а„ то позднее образовавшиеся волны отстают от предыдущих, причем все семейство волн имеет две общие касательные: Ат и Ат„ исходящие из точки А. 105 а =- -агсз)ив ы М 107 В этом легко убедиться, найдя соотношение между радиусами волны и перемещениями ее центра: г г лат 1 а 1 — — — =з)па, Аа а1 сгат Л1 м где и — угол наклона касательной к направлению вектора скорости сы Появление линий Ат, Ат, можно рассматривать как результат непрерывных слабых 1звуковых) возмущений потока; они стационарно связаны с источником возмущений 1носиком тела).
Рис. 3-17. Обтекание тонкого остроконечного тела сверхзвуковым потоком. При пересечении такой волны частицы газа испытывают изменения всех параметров: давления, плотности, температуры и скорости. Однако в связи с малостью возмущения эти изменения бесконечно малы. В рассматриваемом случае обтекания острого носика тела происходит незначительное уплотнение потока н давление за волнами Ат, Ат, увеличивается на малую величину с1р, а скорость соответственно падает на гус. Поэтому волны Апа, Ат, называют слабыми волнами уплотнения. В тех случаях, когда переход через волну сопровождается расширением потока и, следовательно, умепьше- 106 вием давления на гур, волну называют слабой волной р а з р е ж е н и я. Звуковые волны разрежения возникают, например, при обтекании сверхзвуковым потоком внешнего тупого угла 1рис. 3-!б). Из рассмотрения обтекания тонкого клина можно заключить, что в сверхзвуковом течении образуются характеристики двух семейств, расположенные под углом-+-и к вектору скорости в данной точке.
Из формулы следует, что в ускоряющемся сверхзвуковом потоке утлы характеристик в направлении течения уменьшаются, а Рис. 3.13. Слабые волны в плоском потоке с неравночер ным полем скорости. в днффузорном потоке — увеличиваются. Отсюда можно также заключить, что при изменении скоростей в поперечном направлении к потоку характеристики приобретают криволинейную форму. Так, если по нормали к линиям тока скорости увеличиваются, характеристика обращена выпуклостью к невозмущенной области течения (рис.
3.18). Если, наоборот, скорости в направлении нормали к стенке падают, то характеристика обращена выпуклостью к возмущенной области потока. При сложном неравномерном распределении скоростей в потоке характеристики могут приобретать и более сложную форму. Перейдем теперь к изучению конечных )гозмущений сверхзвукового потока. При этом рассмотрим вначале только такие возмущения, которые вызывают непрерывное изменение параметров течения. Г!редположнм, что вдоль стенки ВА движется равномерный сверхзвуковой поток (рис. 3-19).
За точкой А газ попадает в область с пониженным давлением ()ра()р,). Г!ри этом поток отклоняется от направления стенки ВА, поворачиваясь на некоторый угол относительно точки А в сторону" пониженного давления. Возмущение, создавае- Рвс. 3-19. К образованию волны разрежении прн обтекании угла сверхзвуковым потоком, мое точкой А, распространяется в сверхзвуковом течении вдоль характеристик Ат„Атн..., Ат„образующих стационарную волну разрежения т, Арпа. Возмущение сверхзвукового потока начинается на характеристике Апт,; угол наклона волны Лт, к направлению невозмущенного ! течения определяется по формуле а =асса)п †.
Возму- 1 щение заканчивается на линии Ат„' положение этой характеристики может быть определено, если известна скорость возмущенного потока: 1 а =асса(п —. М, ' Между характеристиками Ат, и Лта происходит расширение газа от р, до ра. При пересечении волны разрежения линии тока соответственно искривляются, так как при обтекании точки А поток расширяется: скорость потока увеличивается, а температура и плотность падают.
Промежуточным точкам линии тока в пределах волны разрежения отвечают характеристики Атн Ат„ и т. д.; вдоль каждой характеристики параметры течения оста- 108 ются неизменными. Углы между характеристиками и касательными к линиям тока в направлении течения уменьшаются: а-а'а ы, т, юаа Рассматривая постепенный переход к параметрам возмущенного потока М, н р, с бесконечно малыми интервалами ЬМ и Ьр в пределах между Ат, и Лт„можно провести бесчисленное множество характеристик, составляющих стационарную волну разрежения конечной интенсивности. Интенсивность волны гп,Лта меняется при изменении давления ра. При этом, если параметры невозмущенного потока остаются неизменными, характеристика Ат, сохраняет прежнее положение, а характеристика Ат, перемещается в зависимости от изменения ра. С ростом ра характеристика Лта приближается к Агп, и при Ра=-Р, обе характеристики совпадают (слабое возмущение потока).
Установим зависимости между параметрами потока на границах волны разрежения. С этой целью воспользуемся основными уравнениями плоского изоэнтропнческого течения — уравнениями Эйлера. Имея в виду, что параметры потока вдоль характеристик не меняются, указанные уравнения используем в цилиндрических координатах. Для плоского установившегося движения газа уравнения (1-17а) и (1-14) в координатах (г,))) принимают вид'. дс са дс, саа 1 дР. с — '+ — — ' — — = — — —; г дг + г дз г р дг ' дса са дса с,са 1 дс с г дг + г дВ + г р гдВ ' д (ргс,) д (рс ) д,'+ др' =().
(3-46) т Влиянием массовых свл пренебрегаем. 109 Рассматривая простейший случай, когда невозмущенный поток перед волной разрежения имеет равномерное поле скоростей и характеристики, образующие волну разрежения, прямолинейны, можно считать, что параметры потока сохраня1от постоянные значения вдоль любого рарадиуса в пределах волны. др дс дв о дг дг дг с ~+! в ~ ! з. а'= а — — -с'! 2 * 2 имея в виду, что (3-46б) (3-46в) с'=с„+с,; получим: а+! 2 й+! 2 ь — ! 2 — с =- —,а — — --с 2 в 2 .
2 г кс, — — = ~ — с(!!. ~+! 2 2 — — а — с а — 1, г агс з(п т — ' = т(0+ К), а где т= ~у „—,. св а. с„ Х = †" = — з(п (и!в). а т 110 Математически это условие можно записать так: Тогда в уравнениях (3-46) можно перейти к полным производным. После упрощений получаем: а'с, с .= — '; в дв Уравнение (3-46в) выражает в полярных координатах условие плоского безвихревого течения. Действительно, из третьего уравнения (1-19), полагая св,=О, легко получить формулу (3-46в), Отсюда приходим к заключению, что при обтекании угловой точки А поток остается потенциальным и безвихревым, а следовательно, и энтропия потока, пересекающего волну разрежения, сохраняется неизменной. Совместное решение уравнений (3-46б) и (3-46в) позволяет установить еще одно важное свойство сверхзвукового потока.
Подставим в (3-46б) производную плотности: Исключая из (3-46б) и (3-46в) — , получаем: с!а нз ' Последнее означает, что отклонение потока в волне разрежения происходит таким образом, что составляющая скорости, нормальная к радиусу-вектору, равна скорости звука в данной точке. Этот вывод можно получить также из анализа картины распространения слабых возмущений в сверхзвуковом потоке (рис. 3-19). Отсюда следует, что принятое допущение о постоянстве параметров течения вдоль радиуса позволяет рассматривать возникновение волны разрежения конечной интенсивности как результат последовательного расширения потока в системе бесконечного множества слабых (звуковых) волн разрежения. Установим теперь, как меняются скорость и давление вдоль линии тока, пересекающей волну разрежения. Для этой цели воспользуемся уравнением энергии; а'с, Подставим в это уравнение с = — '; тогда получим в=в дифференциальное уравнение для определения радиальной составляющей с,; Интегрируя последнее выражение, приходим к уравне- нию Постоянная интегрирования К определяется из гранич.
ного условия. Примем, что при й =О радиальная составляющая скорости с =О; это значит, что мы рассматриваем расширение невозмущенного потока, имеющего скорость, равную скорости звука Я! =1); отсюда К= О. Окончательно получаем; аф в гав' дф с а. ' Рис. 3.20. К определению угла от- клонения в волне разрежения. о=0 +л (3-52) Имея в виду, что (3-53) 110 скорости с, с, можно выразить через потенциал скорости: Отсюда после подстановки с, или с, и интегрирования получаем: Ф=аи — гз)п(т0). (3-51) Остановимся в заключение на способе расчета угла отклонения потока 0. Из рис. 3-20 следует, что прн известном положении граничной характеристики Ата угол отклонения определяется по формуле 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
