Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эту силу называют подъемной силой. Обозначив через р„давление на нижней контрольной поверхности и через р давление на верхней контрольной поверхности, получим: — Р„+ ~ (р„— р )с(х=О, ' Рассматриваемые силы относим к единице длины крыла. так как проекция скоростей у непроницаемых контрольных поверхностей на ось у равняется нулю. Следовательно, +Ос Р„= ~ (р„— р,)г/х. (3-38) Увеличивая расстояние между стенками lг, в предельном случае (при /2 в оо) получим обтекание тела безграничным потоком.
При этом поток у стенок будет слабо возмущенным, Скорости такого течения, как известно, можно представить в виде [формулы (3-28)]; с,=с +с„; (3-28б) с,=с +с,, записать для сечений на верхней и нижней контрольных поверхностях: Р,=Р— Р с с„ и р,=р — р с с,. Подставляя Р„и р в уравнение (3-38), находим: +сс Р„= р с 1 (с, — с„') г(х.
— сс +сс Нетрудно видеть, что интеграл ) (с, — с„) ггх -8 можно выразить через циркуляцию скорости по замкнутому контуру (рис. 3-12). Действительно, Р Рс — = — + — (с ' — с'), р р 2/с сс которое при принятом допущении (слабо возмущенный по- ток) на основании (3-28б) преобразуется к виду; Р— = — — — с с'. р р /с Р Рс Рс, /г Отсюда, имея в виду, что — „= — 2 и — = —,, после р" р~~ Р„, а~ несложных преобразований находим; Р 1 /Мг с Р,с с с„' (3-39) или Р=Р— Р с с'. (3-39а) Уравнение (3-39) нли (3-39а) справедливо для линеаризованного течения и называется л и н е а р и 3 о в а н н ы м уран пением Бернулли. Уравнение (3-39а) можно 96 где с„, с„— малые добавочные скорости у стенки, вызванные влиянием обтекаемого тела.
Давление в произвольной точке возмущенного потока связано с давлением на бесконечности уравнением Бернулли: так как Г = ~(с 1 с)г/х; Г„= — ~(с +с„)г/х;Г, = — 1;а, то +со Следовательно, Р=р Гс. (3-40) Формула (3-40) выражает теорему Н. Е. Жуковского, являющуюся основной теоремой аэродинамики. Теорему Жуковского можно сформулировать так: при обтекании тела плоскопараллельным безграничным потоком идеальной сжимаемой жидкости на тело единичного размаха действует сила, равная произведению циркуляции скорости Г на скорость с и на плотность р невозмущенного потока. Направление этой силы нормально к направлению скорости невозмущенного потока с .
При этом, как следует из вывода, если циркуляция скорости, вычисленная при обходе по часовой стрелке, окажется положительной, то и Р„ будет положительной, Подъемную силу Р часто называют силой Жуков- ского. Для определения Р необходимо знать величину циркуляции скорости, которая вычисляется на основании постулата Жуковского †Чаплыги (9 1-2). 3-о. ПЛОСКОЕ ДОЗВУКОВОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ Рассматривая плоское или осесимметричное потенциальное движение газа по криволинейным траекториям, выберем в качестве независимых переменных расстояние вдоль линий тока (5) и вдоль эквипотенциальных линий (и) (рис.
3-13). илн д 1п (рсг) ! 1 да и д5 ' Дп' д5 где г — радиус центра тяжести сечения Ап (рис. 3-13,а). Далее, тзк как дап дт — = — Ап д5 да (т — угол наклона линии тока), представим уравнение неразрывности в такой форме: д!п(рсг)+дт О (3-41) 95 ап= . Условие отсутствия вихрей будет (рис. 3-13): — (с А5) = О. д) Рнс. 3-13 К выводу урааненнй движения и крнаолннеаном канале. Преобразуем уравнения неразрывности (1-14) и отсутствия вихрей [третье уравнение системы (3-1)) в новых координатах.
Для элементарного объема, ограниченного в плоскости чертежа отрезками линий тока А5 и А5', и эквн потенциальных линий Ап и Ап' условие неразрывности запишется в такой форме: д — (рсгйп) =О, После дифференцирования получим: а)п. 1 аа5 + — — =О. ди Д5 да Так кзк (рис. 3-13,а) дп5 дт — — = — — А5, дп д5 то окончательно находим: — "' — — ",=О.
(3-42) Уравнения (3-41) и (3-42) справедливы для осесимметричных течений сжимаемой жидкости, Для плоских задач эти уравнения упрощаются и приводятся к следующему виду: а)п(р), ат д5 !дп (3-41а) д!пс дт — — — =О, дп д5 Полученные уравнения позволяют наиболее простыми способами рассчитать течение газа в плоских или осесимметричных криволинейных каналах'. С этой целью необходимо найти распределение скоростей вдоль эквипотенциальных линий в канале. ' И Г.
С Саа1онлоппчем н А 11 Шерстяном. 99 Для приближенного определения длины эквипотенциальных линий в канал вписываются окружности (рис. 3-13,6), касающиеся стенок в точках А и В. Через точки касания проводится дуга окружности, нормальная к стенкам канала, которая приближенно дает длину эквипотенциальной линии. Такой способ определения линий Ф=сопз! справедлив только при малой их кривизне. Уравнения неразрывности (3-41) и (3-41а) показывают характер изменения угла наклона вектора скорости в поперечном сечении канала, а уравнение отсутствия вихрей позволяет сформулировать условие, которому должна удовлетворять эпюра скоростей на любой линии тока, в том числе и на стенках канала; ! дс дт с ди=д5 Для нахождения распределения скоростей вдоль линий Ф = сопз( воспользуемся уравнением (3-42), заменив дт Я 1 где — — кривизна линий тока.
Яз Тогда дс с ди = Я, Умножим обе части этого выражения на трехчлен Я~,+ +и+Кп* и прибавим к ним величину с — (Йв!+и+Кп'). После несложных преобразований найдем: д У Кв! + и+ Ки* д — [с(ссз! + и + Кп')] = — с [ ' >~ — 1 — 2Кп ]. Левая часть этого выражения обращается в нуль при и= 0; постоянную К можно выбрать таким образом, чтобы производная — „[с (Я~, + и + Кп')] или с 1 ! -(- и — К,и' (3-43) где — и ~~ зз ~~52 " =К ' ((.
2 = )! = ' '" = и — 1 К, = —,— 2й — и Изменение скоростей вдоль границ канала устанавливается с помощью формулы (3-43), справедливой и для сжимаемой жидкости. Исходным служит условие постоянства расхода через канал. При малых числах М ( 0,4, когда влиянием сжимаемости можно пренебречь, объемный расход жидкости через плоский канал будет: из Я= '] сс(п, о С помощью формулы (3-43) после интегрирования получим: и с,„ с,ив с, 1 1 1 — 2К,ив!(1 — )с1+ 4К,) (3-44) ив )с!+ 4К~ 1 — 2К,ив/(1+ У 1+ 4К,) Здесь с — средняя скорость в сечении канала; с,— скорость в точке на выпуклой стенке.
Для удобства расчетов на рис. 3-14 представлен график зависимости 6 = Г (п„и), выражаемой формулой (3-44). В случае осеси ми етричн ого канала объемный расход жидкости определяется по формуле Я=-2я ~ 14 сс(п. и была равна нулю и при Ьз,=Квз (рис. 3-13,б). В этом случае она мало отличается от нуля и во всех точках линии Ф= сопз!. Это условие означает, что закон изменения скоростей вдоль линии Ф = сопз! будет: с (Рз! + и + Кп') = сопз(, !01 о,г 'о о,г !02 103 ог ро со г,о, Рис.
3-14. График зависимости 3 от пн и х. Упрощая решение задачи, можно принять линейную связь между )с и кс ~, =~. + „—",Р. — (~з) 11о аналогии с формулой (3-44) можно получить'. (3-45) ' чзормулы (3-44) и (3.43) справедливы в том случае, когда внутренкни и наружнан стенки канала имеют кривизну одного знака, Расчет осесимметричных каналов существенно упрощается применением графиков, представленных на рис. 3-15. ! 1риведенныс выше формулы (3-44) и (3-45) справедливы для малых чиссл М (несжимаемой жидкости).
Однако закон распределения скоростей, выражаемый формулой (3-43)„может быть принят и для сжимаемой жидкости в такой же форме: х 1 (3-43 а) 1+ и — К,нх Слабое влияние сжимаемости на зпюру скоростей в поперечном сечении объясняется тем, что условие Фезвихревого движения, использованное для получения (3-43) содержит плотности. Заметное изменение кривизны линий тока и закона распределения скоростей в поперечном сечении отмечается только при больших безразмерных скоростях и значитель- Рис. 3-13.
График ззвисимости а от н и х. в ных градиентах скоростей вдоль канала. В широком диапазоне дозвуковых скоростей (М ~ М,) расчет канала с учетом сжимаемости может быть произведен путем введения средней плотности в данном сечении. На основании метода малых возмущений А. Н. Шерстюком было показано, что средний приведенный расход в сечении, равный: 6 Ч где гг — весовой и гг †, критический расходы газа через данное сечение, связан со средними скоростью и плотностью соотношением Ч = — и гк р (р, Л вЂ” средние для сечения плотность и безразмерная 1 скорость). Средняя плотность р =г7 р — легко может быть определена по г7 с помощью таблиц газодинамических функций. Скорости с учетом сжимаемости могут х с определяться по простой формуле: †= (с и с — скок г,„ рости, определенные без учета сжимаемости).
Метод, изложенный выше, пригоден для расчета различных каналов, например, каналов решеток' турбомашнн. 3-6. ПЛОСКИЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ПОТОК Перейдем к изучению основных свойств плоского сверхзвукового течения. С этой целью рассмотрим простелший случай установившегося равномерного сверхзвукового потока, движущегося с постоянной скоростью вдоль стенки ВА (рис.
3-16). Допустим, что по нормали к стенке ВА скорости также не меняются. В точке А этой стенки возникает возмущегше потока, обусловленное поворотом стенки на малый угол. Вследствие малости угла аг6 возмущение в точке А, выражающееся в изменении параметров потока (давление и температура уменьшаются, скорость возрастает), можно считать слабым. Легко видеть, что в сверхзвуковом потоке возмущение может распростраггяться только в направлении течения, так как скорость движения частиц газа больше скорости г См, 6 8.2, 104 распространения слабых возмущений (с, ) а,). Возмущение, возникшее в точке А, сносится по потоку, причем некоторая линия Ат служит границей между двумя различными областями потока: слева от линии Ат расположена невозмущенная область течения, а справа от этой лннии поток возмущен поворотом в точке А. Таким образом, линия Ат является границей, отделяющей невозмущенную часть потока от возмущенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
