Дейч М.Е. - Техническая газовая динамика (1062117), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Допустим, что потенциалы скоростей сравниваемых потоков связаны соотношением Ф=иФ . (3-20) Обозначим координаты точек потока несжимаемой жидкости х„и у„. Предположим далее, что между координатами х, у и хи, у, существует зависимость следующего вида: Для упрощения монно принять х=х„; тогда Подставим теперь соотношения (3-20) и (3-21) в уравнение (3-19): (1 — М') — ". + Ь," .
=О. Отсюда следует, что если принять то уравнение (3-19) преобразуется к виду: Уравнение (3-8а) в новых переменных совпадает с уравнением (3-8). Используя полученные соотношения, нетрудно найти связь между параметрами двух сравниваемых потоков. Рассмотрим обтекание одного и того же тела потоком несжимаемой жидкости и потоком газа. Обозиачнч через а и а, углы наклона малых отрезков лччий тока (рис.
3-5). Имея в виду, что в соответствии с основным допущением метода эти углы малы, найдем: ну ~ун (яаааа= —; (иа =а дх ' н н с(х (3-23) или согласно (3-23) ду с(ун е(х йх ' В идеальной жидкости одна из линий тока совпадает с контуром тела. На граничной линии тока должно выполняться условие шение конечных разностей давлений равно отношению градиентов с(Р Лх йР КРн йРн На основании уравнения импульсов (2-1) градиенты давления в сжимаемой и несжимаелюй жидкости будут: о'с . дх рн "сх дх сх тогда йР рс г(с йРн Рнсн Кон или с учетом формулы (3-14) дс с +с' Ы(со,+с') Рн сн дон с +с'„д(с +с',,) С и Учитывая, что скорости на бесконечности одинаковы, находим, что указанное условие соблюдается, если и =пн УФ дФ, или — = — '; на основании соотношений (3-20) и (3-22) ду ду устанавливаем, что в рассматриваемом случае ой= 1, или ! ! Отношение продольных составляющих скорости в двух сравниваемых потоках равно: и дФ дх дх дФ„~I ! й(а (3-24) Для сравнения распределения давлений достаточно сопоставить градиенты давления в обоих потоках, так как ранее принято было, что х =хн и, следовательно, отно- рис 3-5 Линии тока при обтекании профиля потоком газа (пунктир) и несжимаемой жипкостькь где с', с„— как и ранее, добавочные скорости (малые величины), вызванные возмущением, вносимым об~екаемым телом.
После соответствующих преобразований окончательно получаем: (3-25) — = о= Р )/! — Ма Из формул (3-24) и (3-25) следует, что при обтекании одного и того же тела газом скорость и разность давлений больше, чем в случае обтекания несжимаемой жидкостью.
Это различие между течениями газа и несжимаемой жидкости можно объяснить зависимостью плотности газа от скорости ($2-4). На рис. 3-5 показаны линии тока при обтекании тела сжимаемой и несжимаемой жидкостью при одинаковых параметрах и скорости с невозмущенного потока. Другое упрощение исходных уравнений, основанное также на предположении о слабом возмущении потока, дано А. Н. Шерстюком, развившим упрощенный, но более точный метод учета влияния сжимаемости. Д„чя оценки влияния сжимаемости в слабо возмущенном плоском потоке с докритическими скоростями 85 Ое — 1 ' (3-34) т 2 с„ си ' ~~+ Р 2 тти+ Р 2 зб 89 Зависимость 0=1(й ) представлена на рис.
3-6. Из этого графика следует, что коэффициент б можно приближенно считать постоянным при числах й (0,7 —: 0,8. Резкое возрастание 9 при больших Х обусловливает непригодность рассматриваемого метода в этой области. дбр и ат агагде аз ля ау арал йи Рис. 3-6. Зависимость показателя степени 6 от безразмерной скорости Х Связь между скоростями в сжимаемой и несжимаемой жидкостях по формуле (3-27а) для различных скоростей набегающего потока показана на рис.
3-7. С увеличением Х скорость в потоке сжимаемой жидкости в данной точке обтекаемого тела интенсивно возрастает по сравнению со скоростью в несжимаемой жидкости. Установим теперь связь между коэффициентами давления в несжимаемой и сжимаемой жидкостях. Из уравнения Бернулли для несжимаемой жидкости находим коэффициент давления в следующем виде: з з р = — ", '~=1 — (' — ') .=1 — ( — ") . р.зз~ Для сжимаемой жидкости коэффициент давления определяется по формуле (3-1б). Выражая р через безразмерные скорости Х и Х, находим (табл.
2-1): Пользуясь формулами (3-27а), (3-33) и (3-34), можно получить связь между коэффициентами давления в сжимаемой и несжимаемой жидкостях р и р„. Эта связь представлена на рис, 3-8 и 3-9. Здесь показана зависимость о,г аз п,б аб пб п,у па ° Рнс. 3-7, Зависимость между безразмернмми скоростями в сжимаемой и несжимаемой жидкостик по уь Н Шерстюку. г,х д 91 между р и р„для различных значений Л . Кривые на рис. 3-8 пригодны для пересчета положительных значений р„.
В этом случае давление в рассматриваемых точках на поверхности тела выше давления набегающего потока. Лг дг аг дд аг йг дг ((г аг йр Рпс. ЗЗ. Зависимость между положительными козффнднен. тами давленнв в сжимаемой (Р) н несжнмаемой (Ра) жидко. стах прн различных Л Для пересчета отрицательных значений р„служит график па рис. 3-9.
Пунктирная линия, ограничивающая диаграмму р =)(р„) сверху, соответствует значениям р„ при которых Л = 1. Другими словами, эта линия определяет критические значения безразмерной скорости набегающего потока М = М, в зависимости от р или от ра и тем са- мым ограничивает ту область величин М ( М,=) (р„), для которой может быть произведен учет влияния сжимаемости рассматриваемым методом. На рис. 3-10 приведена кривая по данным развитой теории, устанавливающая зависимость между ми минимальным коэффициентом давления в точке обвода тела при обтекании его несжимаемой жидкостью р и кри к итическим ~ислом Л„набегающего потока, Кривая на рис. ис. 3-10 аг Лг ЛЮ г,р Рнс З.9 Завнснмость междУ отйндательнымн коайфнпнентами давленнк еннк длн сжвмаемой р н несжимаемой рп жадно. отей прн различных А в координатах (гу„„„„, и ) воспроизводит граничную линию 2=-1 на рис.
3-10. формула для расчета этой кривой может быть полу. чена из (3-33) с помощью (3-27а). Действительно, из этих соотношений имеем: Рп=1 — —" ) =1 — - — — 1 . (3-35) Рав Заменив отношение —, (табл, 2-1), получим: Р' 26 а~1+й — 1Л„- '='-( —.) ~ 1 — — Л' л+! Положив Л=1 и Л =й„находим: ные значения коэффициента давления. При этом области минимальных давлений становятся более крутыми и вытягиваются (рис. 3-4) .
Из рассмотрения рис. 3-4 видно, что с ростом М увеличивается площадь, заключенная между кривыми давлений для верхней и нижней поверхностей -у;г (3-35) ттнр ХЛ Рис. 3-10. Зависимость между коэффициентами давления о н.чап и безразмерной критической скб. ростью Л 92 Таким образом, если известно распределение давлений по обводу тела при малых скоростях, когда влиянием сжимаемостн можно пренебречь (распределение пп), то, поль- -З,ау зуясь кривыми на рис. 3-8 и 3-9, легко ьтоууно нанти распределение давлений н при больших дозвуковых скоростях с учетом сжимаемости.
Как видно из графиков, влияние сжимаемости сказывается в том, что в области положительных значений р коэффициенты давления для сжимаемой жидкости будут выше, а в области отрицательных значений — ниже, чем для несжимаемой жидкости. Следовательно, благодаря сжимаемости увеличиваются абсолют- аг ' о цу пг дз П4 дб дл оу Рис. 3-11. Сравнение опытных и расчетных коэффициентов давления. / — по Л. Пранлтлю; у — по С.
Л Хрнвтпановпч>; л — по формула Кармана — панна (3 зу), а — по Л. Н Шарстюну; а — опыт профиля. При этом, очевидно, подъемная сила с увеличением М возрастает. Все выводы рассматриваемого метода хорошо подтверждаются опытными данными. Сопоставление опытных и расчетных значений р в точке верхней поверхности крылового профиля, расположенного в потоке под небольшим углом атаки, показано на рис.
3-11. Профиль имеет относительно большие толщину н кривизну. Для сравнения на рис. 3-11 приведены также расчет- ' Соответствуюнтие графики изменении коэффициентов давления по профилю крыла и лопатки приводятся в гл. 8 в 8. ные кривые, соответствующие формуле (3-25) Л.
Прандтля и по более точной формуле Кармана — Цзяна; 'он (3-37) Ма ~)') Ма 1 Рн оэ 2(1+ 'г' ! — Ме ) Совпадение расчета по 'формулам (3-27а)- (3-34) и по формуле ' (3-37),с опытом является вполне удовлетворительным. Значительно худшие результаты получены при исгользонании формулы (3-25). 3-4. ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО Теория силового воздействия потока идеальной жидкости на обтекаемые тела основывается на известной теореме Н. Е.
Жуковского. Н. Е. Жуковский установил вихревое происхождение силы взаимодействия и нашел простую связь между этой силой и интенсивностью циркуляционного те- Рис. 3-12. К докааательсгву теоремы Н. Е. Жуковского. чения, возникающего при обтекании тела. Эта задача была решена Н. Е. Жуковским в 1905 г. Для доказательства' теоремы Жуковского воспользуемся схемой, показанной на рис.
3-12. Расположим крыловой профиль в плоском потоке между двумя непрони- ' Приведенное ниже доказательство теоремы Н Е, )Куконского нредложено Г. Ф. Бураго, 94 цаемыми плоскими контрольными поверхностями, ориентированными по потоку и удаленными друг от друга на расстояние Ь. Систему координат хОу разместим так, чтобы направление оси х совпадало с направлением вектора скорости невозмущенного потока с , На бесконечном удалении от профиля проведем сечения аЬ и сд, нормальные к направлению потока, Предполагая, что профиль обтекается безотрывно,'и применяя теорему об изменении количества движения к массе жидкости, заключенной внутри объема аЬсс(, найдем, что сила направленная против течения и называемая ло"г бовым сопротивлением профиля, определяется формулой Р„= ~ (1)г — Р,) С(У вЂ” ~ Р,С, (С, — С,) С(У.
)ь) )а) Так как скорости и давления в сечениях аЬ и сг( одинаковы, то Р =О. х Приведенный результат был получен впервые Л. Эйлером в 1745 г. и независимо от него в более общем виде Даламбером. Он может показаться парадоксальным, так как противоречит опыту. Однако следует иметь в виду, что этот результат получен в предположении отсутствия вяз'кости и отрыва потока от поверхности обтекаемого контура. В действительности всегда в какой-то степени оба эти фактора имеют место. В практическом отношении можно сделать вывод, что следует стремиться добиваться таких форм контура, при которых обеспечивались бы безотрывное обтекание и наименьшие воздействия сил вязкости; в этом случае, по-видимому, сила сопротивления будет наименьшей. Найдем теперь величину силы Р, нормальной к веки' тору скорости с .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
