Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 22
Текст из файла (страница 22)
10.19, г). Для учета удлинений стержней от температуры надо иметь единичную эпюру продольных сил (рис. !О.!9,д); йы = — ! — 10 — '+ 20 — '1(1 4) + ~ ( — + 6 4 ) = 25408, 051 2 2/ 0,5 (2 Теперь Х, = — Лм:бм = — — 8ЕУ. 127 9 Эпюра изгибающих моментов от температуры дана на рис.
10.!9, е. Полученную эпюру М, проверяем по формуле (10.18), которая, поскольку при вычислении б„учитывалась лишь деформация изгиба, т. е, эпюра Мь в этом случае будет: (М,).(М ) = — Лы; (М,) (М,)= — — на — — 6 —— — 254 6 2 1 3 2 3 2Е7 — 4 6 — = — 2540~ = — Лы. 3 Е1 Пример 10.16. Построить эпюру изгибающнк моментов в раме от смещения защемления (рис. !0.20, а), Каноническое уравнение бнХ,+6~=0; 6„=!80: ЕУ (см. пример 10.15). СвОбОдный член канонического а) 8=-!О'С уравнения определяем по формуле, с=гО'с (8.3): 6„= — (!.а — б~р).
Г:-ГООС В) С=-(О С з=гО с гО ' с.-)О С х Рис. 10.18 В) / ) П(а-бу) ЭО Рис. 10,20 Рис. 10.!9 (М,) (М,) = — 6„; — ЕЛ.(а — сир) 6 2 6 1 + + Е.Г (а — Гнр) 1 4 6 — =а — бср= — 6 80 Е;Г 1Ь. (10.30) 188 Неизвестное Х~ — — — Лы. 6н = (а — бср)ЕУ: 180. Предположим, что Л,)0, Тогда искомая эпюра будет по рис. 10.20,э, Проверяем ее по формуле (10.19), которая, поскольку прн вычислении 6„ принималась во внимание деформация только изгиба, в этом случае будет: Глава 11 РАСЧЕТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК ф 1!Л.
РАСЧЕТ НА ПОСТОЯННУЮ НАГРУЗКУ При решении задач условимся опоры нумеровать слева направо, начиная с нулевой, н каждому пролету присваивать номер его правой опоры. Стандартную основную систему получаем путем включения шарниров над каждой из опор и замены устраненных при атом связей неизвестными и! м «опорными» моментами. 0 г з В выбранной таким образом основной системе »2 ! !д каждый пролет рассматривается как статически определимая двухопорная балка, загруженная заданной нагрузкой и неизвестными моментами 0 1 2 (рис.
11.1, а). Замечания: 1. Коне, ! — — Г, — ! — Г2 1-22 сольные части при образовании основной система* Рс м! мы отбрасываются. Действие на балку отброшенных консолей заменяется д) известными моментами '0 1 2~ (рис. 11.1,6). Г 2. Защемления условно заменяются эквивалентными им дополниМ2 тельными пролетами бесконечно малой длины -(1;0)— (ри . 1!.(,а). Аналитическая связь Рис.
!! ! между неизвестными и заданной нагрузкой выражается в виде уравнений трех моментов: Х, Мо, + 2 (Х! + Х! „) М, + Хео! М!.„= б ( м!Р! оо + оо!ео ьо-'о оо ) !о,г! !14.1 З1,-1 где М; „Мо, Моч,— три последовательных опорных момента; моменты положительны, если они вызывают растяжение нижних волокон; 1! — длина пролета; о! ! ~2 мо м, !64 ,); — момент инерции поперечного сечения балки; в пределах пролета величины У; постоянная; ,),— произвольная величина, имеющая размер- ность момента инерции; го Л, = 1; — — приведенная длина пролета; в, — площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки в пролете основной системы; имеет знак эпюры моментов; а, — расстояние от левой опоры до центра тя- жести эпюры изгибающих моментов; Ь,.
— расстояние от правой опоры до центра тя- жести эпюры изгибающих моментов. Число уравнений такого вида соответствует сгспени статической нсопределимости неразрезной балки и равно числу промежуточных опор в основной системе. Пример 11.1. Написать уравнения для определения неизвестных опорных моментов в перазрсзпой балке, показанной нз рис.
! !.2, а. а) ,— 10 -~- В-! ! — — ВР— ~-~~- '« — 1 =)Хм ! — Ь =20м ~ — Ь =20м г 3 Вгп тВгп м 67 1ао 1 г) ! !а ~ ! !а~г ! "5~ — Ьл-! ! а,-! ! аг 1- Ьг ! ! "Ьг1-~~ и~ьаг ~ ~'~гЬг ~~аг1 ~~дЬэ Ьг Ьг Ьз Рис. 1!0 165 Строим основную систему. Включаем над промежуточными опорами шарниры и прикладываем неизвестные опорные моменты М, и Мз (рис.
11.2,б). Система уравнений трех моментов имеет вид; 1, ,) Определяем коэффициенты при неизвестных. Полагая Уз=У, находим, что — ' = 3, — ' = — '- =1 и Л»=!5 3=45 м, Х»=7.»=20 м. гз гз Для определения выражений, входящих в правую часть, строим в пролетах основной системы эпюру моментов Мр от заданной нагрузки (р»»с. 11.2,в). Заметим, что выражения в правой части »о» а»»о» Ь! — и ' ' с кинематической точки зрения есть величины, про!» !» порциональные углам поворота концевых сечений пролета от действия заданной нагрузки. Статическая интерпретация этих величин показана на рис.
1!.2,г. В этом случае они трактуются как опорные реакции от принятой за нагрузку эпюры моо ментов Мр Имея это в виду, находим: для 1-го пролета »о» = — — 15 = 200 т м'! а, = 1 80 з 10 + 15 25 = — гл; 2 3 ' 3 3 и»ал — = — т. л»; 1л 9 для 2-го пролета »о,= — 100 20= т л»з; а =Ь,=10м; 2 4000 мзаз м,Ьз 2000 — == — = — т м; 3 в 3-м пролете: для отрицательной части эпюры моментов ! 40 1000 з 20 1 40 100 оззл = — — 50 — = — — т м'! Ь, = — + — — = — м. 2 3 3 ' 3 3 3 9 »оз»Ьзл 5000 = — — т.м; Ьз 27 для положительной части эпюры моментов ! 20 250 з 2 20 »озз = — 25 — = — т м'! Ь, 2 3 3 ' 3 3 озззЬзз 500 = — т.м; !з 27 »о»Ьз»оз»Ьзл мззЬзз 5000 500 !з !з !з 27 27 40 = — м; .9 500 т м. 3 Сложную эпюру моментов в пролете выгодно разбивать на простейшие части, плошади и положение центров тяжести кото- рых хорошо известны.
Подставляя значения коэффициентов в систему ( 11.1), по- лучим: 2(45+ 20) М»+ 20Мз — — — 6 ( — 3+ — 1 ); 20М, + 2 (20 + 20) М, = — 6 ~ — 1 — — 1 ) . После преобразований уравнения принимают следуюший внд: 1ЗМ, + 2М, = — 600; 2М, + 8М, = — 300. (11.2) Пример 11.2, Построить эпюры М, (,» и найти опорные ре. акции »» для балки, показанной на рис, !1,3,а, Строим основную систему (рис. 11.3,б).
Отбросим консоль н заменим ее действие моментом Мз — — — 54 т м. Защемление за- меняем дополнительным пролетом 1„=О. Над промежуточными опорами включаем шарниры и прикладываем неизвестные опор- ные моменты М(, Мз и Мз. Момент Мз.считаем известным опор- ным моментом. Заданный над первой опорой момент М=72 т л» относим к нагрузке любого из смежных с опорой пролетов, на~о пример первого.
Для балки постоянного сечения — =1, Х,= Х» =!ь Система уравнений трех моментов имеет вид: 1 »з 1зМ» + 2(1з + 1з) Мз + 1зМ» = — 6 ~ — ', ' + — '' ); ) (11,3) (,»», .(. 2 ((, .(- О( М, = — 6 ( — '"' .(- з ) . Для определения выражений в правой части строим в основ- ной системе эпюру моментов от заданной нагрузки (рис. 11.3, в). о Из эпюры Мр находим: в = в = — 72 18 = 648 т м; а, = — 18 = 12м; 2 ' 3 — '' = 432т м'; 1 а,= 12+ И 6+!8 =10м; Ь, = =8м; — '' = 360 т.м', — '' = 288 т.и', »з вз — — — 108. 24 = 1728 т.и', аз —— Ьз — — 12 и; 3 — = — =864т и. взаз взьз з »з »з 167 а) 72тм )Во =0 105 1 д) 522, Ф,5Б 1 е) сб 5,22 1В,ВВ ~ЭН, 1П,12 Я2=505б !т! Я,=-ОБб 1,=.
Я5=1ВВВ Рис. 11.3 -'з 1 — — В,мб 1 д) )мо= 5~ 1 о В)1 1 "о 1 1 1 1 1 г)1 1 мтм — — — Б Ю вЂ” — -~ ) 1 1бт 1 м, 15 оои Мо Подставляем полученные значения в систему (11.3): — 18 54+ 2(18+ 18) М, + 18М, = — 6(432+ 288); 18Мг + 2 (18 + 24) Л4. + 24Мз == — 6 (360 + 864) ' 24Мг + 2 ' 24Мз = 6 ' 864. После преобразований система уравнений принимает вид: 4М, +М, = — 186; ЗМг + 14Мз + 4Л1з ==- 12241 (! 1.4) Мг + 2Мз = — 216. О! Решения системы (11.4) записываем в виде М,= —, !э ' где 0 — определитель системы; О! — определитель, который получаем из определителя 0 путем замены его !'-го столбца столбцом свободных членов, расположенных в правой части системы уравнений.
Производя вычисления, находим, что 4 1 0 3 14 4 =90; 0 1 2 — 186 1 0~ — !224 14 4 ~ — 216 ! 2 = — 32т м; 90 '4 ! — 186 ! 3 !4 †12 10 1 — 216 90 4 — !86 0 3 — !224 4 0 — 216 2 = — — 58т м; 90 = — 79т м. 12 †!284 169 Зная значения опорных моментов, строим »нюру моментов в заданной неразрезной балке. Окончательная эпюра в каждом пролете есть алгебраическая сумма эпюр от найденных значений опорных моментов М;, и М, и ранее построенной эпюры Мр а (рис.
11.3, г). Построение проводим в следующем порядке: !) над каждой опорой откладываем с учетом знака величину опорного момента; 2) вершины отложенных ординат соединяем пунктирной линией, которую будем называть линией опорных моментов; 3) от линии опорных моментов откладываем ординаты эпюо о ры Мр, как бы «подвешивая» эпюры Мр к линии опорных моментов; 4) при суммировании заштриховываем те части, в которых эпюры не накладываются друг на друга; 5) к построенной таким образом эпюре пристраиваем эпюру моментов на консоли. Изгибаюшие моменты в произвольном сечении пролета определяем по формуле М(г) = Мр(г) + Ч,, + (М, — М,,):, (11.5) ! о где Мр(г) — аналитическое выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки в пролете основной системы; М,: „М; — опорные моменты в рассматриваемом пролете.
Для нашей задачи зтн выра7ксния имеют внд: пролет 1: О-=.г(18; М (г) =. 4г — 54 + ( — 32 + 54) — — == — 54 + 5,22г; 1Я пролет 2: О,г ч 12; М(г) =- + бг — 32+ [ — 58 — ( — 32)[ — = — 32+ 4,56г; 1В 12 ~гС!8; М (г) = бг — 18 (г — 12) — 32 + [ — 58 — ( — 32)[ — = 184 — 13,44г; 1а (11.6) риваемого пролета. Для построения эпюры Я (рис.
11.3,д) надо; построить эпюру поперечных сил в основной системе (пунктирная линия); добавить к построенной эпюре постоянную для каждого пролета величину, равную разности между правым и левым опорными моментами, деленной на длину пролета; к построенной эпюре пристроить эпюру поперечных сил на консольной части. По формуле (11.6) находим поперечные силы: пролет 1; 0 < г ~(18; 9 = 5,22 7; пролет 2: 0~(г < 12; Я = 4,567; 170 пролет 3; 0~ г ~(24; М(г) = 18г — 0,75г' — 58+ [ — 79 — ( — 58)[— 24 = — 58 + 17,12г — 0,75г'.
Дифференцируя функцию (11.5), получаем аналитическое выражение поперечной силы в произвольном сечении 1-го пролета: 1',! = — = Д" (г) + (М вЂ” М. ) — . им ч 1 Нг 1 о Здесь 1~г(г) — поперечная сила от заданной нагрузки в пролете основной системы; 1 (М,— М,,) — — поперечная сила от опорных моментов рассмат- ~ — 1 12 к г ~(18; Я = — 13,44 т; пролет 3: 0 с г ~ 24; Я == 17,12 — 1,5 г. Опорные реакции )х! определяем пз условий равновесия бесконечно малого участка над !-й опорой (рис. 11.3, е) как разность между поперечными силачи в начале (!'+!)-го и коппс Ого пролетов по формуле й!=Яеы(0) — Я,(1!): Ь'о — — 5,22 — ( — !8) = 23,22 т; )х! =- 4,56 — 5,22 =- — 0,66т; йс = 17,12 — ( — 13,44) = 30,56'т; Ра —— - 0 — ( — 18,88) =- 18,88 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
