Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Но ввиду того, что внутренние силы в пространственных системах имеют г 2о с ( огя 50' з литр гв ~Р Рпс 9.! ! шесть составляющих, формула перемещений для систем, состоящих из прямолинейных элементов и находящихся под действием нагрузки, содержит шесть членов (а не три, как для плоских систем). Для шарнирных ферм формула Мора для перемещений имеет следующий вид (из шести членов остается только один, учитывающий продольные деформации элементов фермы): (9. 7) Пример 9.14. Требуется определить полное горизонтальное перемещение точки 2 пространственной фермы, изображенной на рис. 9.9, а. Для определения полного перемещения Лз!, найдем горизонтальные перемещения этой точки по любым двум направлениям, например по направлениям граней АВ и ВС.
Для этого в узле 2 приложим две единичные силы Р, и Рз по направлениям соответствующих граней (рис. 9.11,а, б) и найдем усилия в стержнях фермы от действия этих сил. Отметим, что при этом все элементы фермы, расположенные выше первого яруса, являются «нулевыми». Учитывая, что каждая сила вызывает усилия только в тех элементах фермы, которые расположены в плоскости ее !35 действия, получим следующие, отличные от нуля, значения )снлий: 5 з В соответствии с (9,7) найдем перемещения точки 2 по граням АВ и ВС. Перемножая полученные усилия с ранее найденными усилиями в стержнях фермы от силы Р, суммируя полученные произведения и получая прн этом ЕР=сопэ1, найдем Ап .== — !( — Р) (+ 1) 4+1 — Р! ' — — 15 + + ( — — Р! (+ — ) 3 + ( — Р) 1 4~ —." — — ' Полное горизонтальное перемещение точки 2 найдем на основе графического построения (рис.
9.1!,б). Отложим в определенном масштабе значепиа Л.,'и и Ан, по напРавлениЯм гРапей АВ н ВС. Из концов отрезков 2-2' и 2-2" восставнм перпендикуляры. Точка пересечения их 2', соединенная с точкой 2, определит вектор полного смещения. Глава !О РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ ПО МЕТОДУ СИЛ Расчет статически неопределимых рам по методу спл проводится на основной системе, получаемой пз заданной устранением всех илн части лишних связей.
Прн устранении всех связей основная система статически определима, а при устранении части связей — статически неопределпма. Статически неопределимая основная система должна быть предварительно хорошо изучена, чтобы на ней можно было далее оез затруднений проводить расчет заданной системы.
Наиболее удобной основной системой будет та, у которой эпюры от неизвестных и от нагрузки простые и как можно меньше побочных коэффициентов, отличных от нуля. Степень статической неопределимости заданной системы (число лишних связей) определяется по формулам: л .=: С + 2П7 + ЗП + С„„— ЗД, (1 О.!) где С вЂ” число связей первого вида (стсржней с шарнирами по концам); Ш вЂ” число цилиндрических шарниров; П вЂ” число припаек; С„, — число опорных связей (не опор); 7 — число любых статически определимых дисков, пз которых может быть составлена система: и =-ЗК вЂ” Ш, (1 0.2) где К вЂ” количество замкнутых контуров в системе без учета шарниров; Ш вЂ” число шарниров в замкнутых контурах.
Внешняя степень статической нсопрсдслпмости (число лишних связей с землей) и, = С,„— 3 — С.„„, (1 0.3) Где С~д~~ число замш1яющих связей т, е, ~п1сло недостающих для неизменяемости связей в системе, снятой с опор. Внутренняя неопределимость (число лишних связей в системс без опор) и, =- и — и,.
(1О. 4) Канонические уравнения метода сил составляются по выражсншо бм Х1 + б.-~ Х~+ + б»» Х; + б»» + 1~»1 + б». = " (!" 3) при 1=1,2, ...,и, где б»,„= 1~М ~,(~+ ~ ~ )(7 ~ ОЬ + ~ ~рд ч 1Ь. (10,6) о р и ( в ( м, (' — л', à — е, Ь = Е ) М» — »Ь+ Х ~ Л/» — гЬ+ Х ) )»Я» — 1Ь; (10,7) ,) Е7 8~ М, й1», 1,!», М, У, 9; Мр, Л",1„Я",,. — изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в основной системе соответственно от Х»= 1, от Х„,= 1 и от нагрузки.
Перемещения от температуры Л»1 определяются по формуле )(8.2); от смещения опор б»» — по формуле (8.3). Интегралы в формулах перемещений будем для сокращения записи изображать в виде условного произведения (10.8) Если жесткость прямого стержня системы постоянна по его длине, то вычисление интеграла (10.8) по нему можно проводить путем «перемножения» эпюр. Для этого надо сложную фигуру эпюры на стержне разбивать на простейшие (рис.
10.1). 10 †!284 137 В тех случаях когда одна эпюра линейная, а другая пе выше второго порядка, можно применять формулу (рис. !0.2) 1Мр М +4М Мр+М«М !). (109) ь! адг ы Проверка коэффициентов канонических уравнений и свободных членов от нагрузки производится по формулам; « ' б.. =- (М.) (Мз)+ ь. ! т=! -г (~') (Л'э) — ' (б~.) Ю' ('0 '0) и~~со парабола? гс «!р«8«р Рис. !0.2 Рис !О! Уб„=(М",,) (М,)»-(Л",') (й,)+(д",) (1),1, (10)П «=1 где Мз, Уз и !',!з — суммарно-единичные изгибающие моменты, продольные и поперечные силы в основной системе. Решение канонических уравнений можно записать так: Х„=б„гл, +Р„,Л, + +()„„Л„, !10.12) где Л! == Ь! + Лп + Л,„, Коэффициенты влияния й!к=~„, вычисляются по формулам а) при помощи определителей 1)!!ч-~+!! и !! 0.13) где 0 — основной (общий) определитель канонических уравнений; !38 Вы — определитель, получаемый пз основного путем исклкчения Ой (й-й) строки и й-го (~'-го) столбца; б) по способу Гаусса ! )5лс = — +ом +, ~ л, и + + а„„й„м (10.14) елл " (паслслснн нлсн] при этом и„„=О; (10.15) <паслслннп нлсю Коэффициенты а берутся из таблицы прямого хода (см.
пример 10.10). В этих формулах индексы )г и ! прпнпмаюг такие значения: первая операция: для формулы (10.14) й=п, полагая при этом ин„=О, для формулы (10.15) А=п; 1= (и — !), 1= =(и — 2),..., 1=1; вторая операция: для формулы (!О.!4) Уг=н — 1, для формулы (10.15) й=(п — !); (=(и — 2), (=(и — 3), ..., 1=!. Дальнейшие операции ясны (см.
пример !О.!0) Проверка коэффициен гов влияния !Зп, = йл, производится на основе того, что почленное произведение строки магрнцы )/ЬмЦ на одноименный столбец (или одноименную строку) матрицы равно минус единице, а на разпопмспный столбец (или разноименную строку) — нулю. Неизвестные Хс могут такмгс быть вы шслсны непосредственно при помощи определителей: Х =В ~й лл (10.10! где глп — определитель, получаемый пз основного лл путем замены лг-го столбца свободными членами с обратным знаком. Проверка окончательных эпюр моментов производится на основе таких выражений: (М,).
(й, — (ж,) (У,)+Р~,) (!,1,.) =-О; (10.17) и (М,) (М,)+()У,) (М,)+(„) (Ц = — ~ б,м; !О.!И) л=1 (И,) (54 ~+(й(,) (У )+((~,) ф.) =- — ~ Л,. (10.!9> л — -! !Ос В выражениях (1О.!7) — (10.19) надо принимать только тс внутренние силы, которые учитывались при вычислении коэффициентов канонических уравнений. Пример ! 0.1. Определить степень статической неопределимости рамы (рис.
10.3). Решение проведем по двум вариантам. 1-й ва р и а нт. Степень статической неопределимостн находим по формуле (10.2). Землю надо считать незамкнутым диском (рис. 10.3, а) н мысленно исключить все шарниры. Тотда число контуров К=4, шарниров Ш=6: в==3 4 — 6=-6. 2-0 в а р и а н т.
Степень статической неопрсдслимости находим по формуле (10.!). Представляем систему составленной из любых статически определимых частей, например по рис. 10,3,б. В этом е) е е случае имеем: дисков Л=2, стержшм т и-иху Рис. !ОА Рис. !0.3 ней с шарнирами по концам С=1 (затяжка), шарниров Ш= припаек П=! и опорных связей С„=1+3+2=6; а=1+2 1+3 1+6 — 3 2=-6.
Внешнюю степень статической неопределимостн рамы ная дим по формуле (!0.3). Для определения С„„надо заданную систему снять с ос( (рис. 10.3, в) и определить степень ее изменяемости, т. е. чи4 440 дополнительных связей, необходимых для того, чтобы снятая с опор система была неизменяема. В нашем случае (рнс. 10.3„в) два диска соединены только шарниром С. Система однажды изменяема, так как достаточно ввести один стержень (пунктирный), чтобы система без опор стала неизменяемой.
Значит, С,«.„= 1: и, =-. 6 — 3 — 1 =- 2. Внутренняя неопределимость рамы и, = и — и, = 6 — 2 = 4. Рпс !05 14$ При выборе статически определимой основной системы надо иметь в виду, что и, определяет наибольшее число связей с землей, а пз — самое меньшее число внутренних связей, которые могут быть п62 Жд устранены. Однако вместо устранения всех или части внешних связей из п~ могУт быть УстРанены дополнительно свЯ- » (мч! зи внутренние, сверх положенных свяЗЕй Пз. ! — — «м Пример 10.2. Построить эпюру М в двухшарнирной раме (рис. 10.4,а), учитывая только деформации изгиба. Рама однажды статически неопределима. Основная' система показана на рис. !0.4, б.
Каноническое уравнение бпХ,+бе=0. Для удобства расчета применяем условно еднничнукг эпюру от Х,=!,5 (рис. 10.4,в). Грузовая эпюра дана на рис. 104,г Перемножая эпюры, получаем: бм = (М)'(М«) = ( — — 6 — ) 2+ 6.6.6— (2 3 Е3) 4Ег Ег о 2Р'4'6 !2Р б„= (М;) !М,) =— Х, = — Л„,: бп = — 2Р: 25. Распор рамы 0=1,5 Х,=3Р: 25. Исправленная эпюра (эпюра от Н=!,5 Х,=ЗР:25) дань иа рис. 10.4, д, а эпюра от нагрузки в заданной системе — на рис.
!0.4,е. Проверяем полученную эпюру путем «умножения» се на эпюру от Х~=1,5: 1 25 / 4Е3 25ЕУ 25Е2 Эпюра Ме правильна. Задача 10.3. Построить эпюру М в раме примера 10.2 оз той же нагрузки, если жесткость ригеля будет в 2 раза меньше, чем была, т. е, 2У, при той же основной системе. Ответы: бп=204: Е7; Л~и —— — 24Р: ЕГ; Хз — — БР: 51. Эпюра Л1 показана на рис. 10.5,а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
