Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 15
Текст из файла (страница 15)
равномерность распределения касательных напряжений. В тех случаях когда вычисление ни~стразов можно производить путем «перемножения» эпюр, формулу (8.1) условно записывают так: Л„л =,'М,). (М„)1+ (М,), (Л~,) + (д,). (Ц„), (8.1') ,~кгпв (С, Ь,ч С,Ь,)СГЗ ~(с,-с,мз 2 Рис. В.! 2) перемещения от температуры 1 (рис. 8.1) Л = Х ~ — Р— (11 Ье+ 1з 81) Ыю г)з + Э~ Ь (1, — гд МАВ = кч (1,й,+1,й,)„„+С й(1, л (8.2) где )1 — коэффициент линейного расширения; ~уз " "м — площади эпюр Уь и Мь, 1, и Г,— изменения температуры по одну и другую стороны стержня; 1з и йз следует назначать со стороны растянутой зоны от изгибающего момента Мх, .3) от смещения опор Л„= — Х й„„л., (8.3) где Лы -- искомое перемещение по направлению вспомогательной силы Рь=! от группы заданных перемещений Л,ч; сс' л — реакция в связи и от силы Р„=!. Реакцию считаем положительной, если она совпадает по направлению сЛ; (л — заданное перемещение по направлению связи т.
В элементах, работающих прсим) щсствепно на изгиб, влияние деформаций от (с' н !',) на перемещение )(,( обы'шо бывает незначительным и в этом случае в формуле (8.1) можно оставить только первый член. а) Р (ч л-'я х=г Рнс 82 Для определения псреме)цспнй в фермах формулы (8.1), (8.2) могут бьмь записаны в таком виде: (8.4) где ()(,(, — усилие от Р(,==1 в (-и сгержпе фермы; 1; — — д.шна Р) о стержня; (1; — коэффициент линейного расширения этого стсрж)и; г( — приращение температуры (кго стержня при одинаковой температуре с обеих сторон стержня. Пример 8.1. Определить переме)цснпе правой подвижной опоры от заданной нагрузки (рис. 8.2,и), пренебрегая деформациями от М и Я. Жесткости па изгиб на всех участках постоянные и равные. Решение Действительное состояние при заданной нагрузке с найденными реакциями опор и эпюрой Мв представлено на рис.8.2,а,б.
Вспомогательное состояние с силой Рл = 1, направление которой принимается по линии искомого перемещения подвижной опоры, дано на рис. 8.2,в. Перемещение определяем по формуле )оз Е) а) 6 л ))ЩасУГ» ' 4 а) Рис. 8.3 На участке РС площадь Мр равна с»,=РР; се центр тяжести можно нс определять, нбо вгс ординаты М» равны !. Опн имеют другой знак, так как отложены по другую сторону от осн эпюры и произведение (М») (Мр) получается тоже отрицательным. На участках РЕ и ВС произведения (М») (М~ ) будут равны нулю, так как на участке РЕ ординаты М», а на участкс ВС площадь М, равны нулю. В итоге сумма интегралов здесь состоит только из дв) х произведений: Л == — —,— -.— )+РР),=— ЕУ' 2 3 ! ЗЕУ При постоянной жесткости деление на ЕУ можно выполнять 1 не по участкам, а вынести за скобки множитель †.
Знак миЕу нус указывает, что перемещение Л»4 направлено противоположно выбранной силе Р». Если направить силу Р» вправо, то эпюра М„ будет иметь те же знаки, что и эпюра Мр, а Л»р получится положительным. 104 (8.!), а вычисление интегралов ведем по правилам перемноже- ния эпюр. На всех участках рамы обе эпюры М» и Мр прямолинейны, поэтому безразлично, в какой из них брать плошадь эпюры и в какой ординату. Возьмем, например, площади в эпюре Мр, тог- да ординаты на уровне их центров тяжести нужно брать из эпю- ры М», РР На участке АР площадь эпюры Мс равна си —— - †., на уровне 2 2 ее центра тяжести в эпюре М» ордината равна — ! (рис. 8.2,6, в) 3 Произведение (М») (Мг.) будет отрицательно, так каь ордина- ты эпюр отложены по разные стороны от оси. На рис.
8.2,а пунктиром показан деформированный вид рамы и отмечена величина Льр. Пример 8.2. Вычислить горизонтальное перемещение точки 2 рамы, нагруженной в точке 1 силой Р, =2 т (рис. 8.3, а). Жесткости на изгиб на всех участках — постоянные и одинаковые. Решение Строим эпюру М, действительного состояния (рис. 8.3,б). Во вспомогательном состоянии прикладываем в точке 2 горизонтальную силу Р,=! и строим эпюру Мэ (рис. 8.3,в).
При вычислении перемещения Лм воспользуемся формулой «перемножения трапеций> (рис. 8.4): (М,) ° (М,) = — (2ас + 2Ы + аб + йс). (8.6) с Считая треугольник частным случаем трапеции, имеющей одну крайнюю ордипату, равную нулю, выполняем перемножение по участкам ЛС, С0 Р»с. 8.4 и 02 (рнс. 8.3, а): Л„= [3(2 0.0+2 6 3+0.3+6 0)+2(2 6 3+2 4-1+ 8Е3 + 6.1+ 4 3) + 1(2.4 1+ 2 2.0+ 4 О+ 2 1)[ == Для получения числового значения Л„в метрах нужно размерность ЕУ взять в т.л'. Задача 8.3. Вычислить углы поворота опорных сечений рамы предыдущего примера от силы Р, (рис. 8.3,а).
Ответ: 43 26 ЗЕГ в ЗЕЯ Пример 8.4. Показать, что угол поворота <р» сечения на опоре В рамы (рис. 8.5,а) от вертикальной силы Р=о т численно равен прогибу у» под этой силой от действия момента Л! =- 5 т м, приложенного в направлении угла поворота гр». Жесткости на изгиб Е2 па всех участках постоянны и равны между собой. Решение Вычислим сначала угол поворота ~р», затем прогиб у„и сопоставим их величины. Первое действительное состояние возьмем с нагрузкой силой Р и построим для него эпюру Мр (рис.
8.5,б). Чтобы найти угол 8 — 1284 105 а) е) г) Рис. 8.5 поворота срв нужно по его направлению приложить во вспомога тельном состоянии единичный момент М,=1 и построить эпюр) Мм1 (рис. 8.5,в). Угол поворота следует обозначить как перемещение по направлению М от Р, т. е. срв= Кме. Вычисляем его по правилам «перемножения> эпюр, используя на участке С0 формулу «перемножения трапеций» (8.6): Л„е = (М,). (М ) = — '~ ~ — '(2 10.1— — 2 10 0 + 10 0 — 10.1)+ — 11 = — — рад. 2 ] Е3 Переходим к вычислению прогиба ул Здесь действительное состояние нужно взять с нагрузкой моментом Мг=5 т м (рис.
а)~ 1 Н=Р гЬ Рис. 8.6 Гвв 8.5,г). Строим для него эпюру Мма (рис. 8.5,д). Вспомогательное состояние и его эпюра Мр изображены на рис. 8.5,е. Теперь прогиб обозначаем как перемещение вдоль силы Р от момента М и вычисляем его при помощи эпюр Ммз и Мр.. Ул = брм = (Мм ) ' (Мр) = — [ — (2 5 2— — 2 О 2 — 5 2+ О 2)+ 5.2 1~ = — м.
Е7 Сопоставляя результаты, видим, что при ~ Р! = ~ М( получается ) Лмр ~ =- ~брм~ или)~рв( == ~ ул ~ . как это следует из теоремы взаимности перемещений. Пример 8.5. Найти изменение расстояния между точками С и В рамы, нагруженной горизонтальной силой Р (рис. 8.6, а). Решение Вычисляем реакции и строим эпюру Мр от заданной нагрузки (рис.
8.6,б). По направлению искомого перемещения — изменение длины — прикладываем обобщенную силу в виде двух равных и взаимно противоположных сил Рь=! (рис. 86,в). Их направление выбираем в предположении, что расстояние между С и В уменьшается. Эпюра Мк изображена на рис. 8.6,в. Искомое перемещение Лхр определяется перемножением эпюр Мр и Мк на участках СР и РЕ: * Еу(2 3 / Ев (6 Задача 8.6. Найти взаимный угол поворота опорных сечений от нагрузки Р в раме, изображенной на рис. 8.6,а. Ответ. Вспомогательное состояние содержит два взаимно противоположных момента л=1, приложенных в опорных сечениях. Взаимный угол поворота Лхр — — — (2й + !).
Пример 8.7. Вычислить угол поворота сечения С рамы АЕТ)В, несущей равномерную нагрузку а на участке ЕВ (рис. 8.7). Размеры и соотношения моментов инерции элементов рамы указаны на рисунке. Решение Определяем реакции и строим эпюру Мр от нагрузки действительного состояния (рис. 8.7). Во вспомогательном состоянии снимаем нагрузку, по направлению искомого перемещения прикладываем единичный момент У=1 в сечении С и строим эпюру Ма. !07 8р З,и (47~ г,ВВ гвв 1,44 б) !4ч Г= 1Вю А Рнс Зт На участке С — трапецендальные: (2 2,88 0,7+ 2 1,44 0,85+ 2,88 0,85-'; 1,'!4 0,7) == б ЗЕ/ ЕУ На у ~астке ВЕ эпюру Мг разбиваем на трапецию и парабо лпческий сегмент и перемножаем их раздельно с трапецией и: эпюры Мх. Так как ординату можно брать только из прямоли нейной эпюры (здесь из Ма), то остается взять площад 2 эпюры М,.
Площадь параболического сегмента равна — 11 с це! 3 тром тяжести посередине 1. !08 При вычислении Ьаг перемножение эпюр выполняем по участкам с учетом разных значений моментов инерции. На участках АЕ и ВС перемножаем треугольные эпюры (рис. 8.7, б, в): 1,44 О,! = ' и — 1,44 О,!5 =-— 3 2Е3 ЕУ 3 ЗЕ3 Е3 Таким образом, имеем 4Е7 3 ' ' 6 — 6 1,8 0,4+ — (2 1,44 О,! + 2 2,88 0,7+ + 1,44 0,7+ 2,88. 0,1)~ = — ' Еу Суммируя результаты по участкам, получаем: Лхр — — — (О, 07 — 0,05 + + 1,11+ 2,13) = ' рад. Еу сс1 1 4м с Задача 8.8.
В раме, изображенной на рис. 8.7, а. найти вертикальное перемещение точки Р от равномерной нагрузки д. Ответ: Л,= ' м. 9,28 Е.! Пример 8.9. Найти нз- ! мененне расстояния между точкамп С и 0 рамы АВС(7 от горизонтальной равномерной нагрузки д, а затем определить составляющие этого изменения; отдельно перемещения каждой точки С и с) по горизонтали (рис. 8.8,а). Решение Эпюры Мр и Мх действительного и вспомогательного состояний изображены Рис. 8.8 на рис. 8.8,б. Во вспомогательном состоянии приложена обобшенная сила Х=1. Изменение расстояния С0 будет; 1 2 2 3 1 12ДЬ4 148 охр= .—.— 2+ 2 = — 'м. Е/ 3 4 4Е7 2 Е7 На участке СЕ парабола имеет начало в точке С: здесь касательная к ней совпадает с осью элемента СЕ (поперечная си- 109 ~м ла Яс= — =0). В этом случае плошадь вогнутой параболиче- 47 ской эпюры равна одной трети произвсдсния длнпы основания 2 м на высоту 2 г ° л.
Ее центр тяжести лежит на расстоянии, равном ',!4 длины основания от начала С. Если касательная к параболе в крайней точке не совпадает с осью элемента (или не параллельна сй), то такую фигуру надо разбивать на треугольник и параболический сегмент. Чтобы найти составля!ошпс перемещения Лхе, к точкам С н 0 прикладываем в новых вспомогательных состояниях отдельно силы Х,=! и Х,=!. Эпюры М! н Мг от этих сил изображены на рис. 8.8, в. Перемножая их с эпюрой Мн соответственно на участках ЕА, ЕЕ и ЕС, получаем: ! !' 3 !0,5 3 2 3 1 1 5 3 1 ! 4 !2,5 5 ! 2 2 3 34 46 + —.—.— 2=- ' м; Еу 3 4 Е/ ЗЕ2 ! 3 3 2 ) + . ( 212 53+ 125 2) =. — ' лн 4Е7' 6 ЕУ Как и следовало ожидать, Л!4+Лг! =Лх~.
На участке ЕА касательная к параболе на уровне точки Е пс 344 параллельна оси ЕА (Я = =ьО), поэтох!у для первых слагаейг мых обоих персмсщспий криволинейная эпюра М, разбита на треугольник и параболический сегмент; площадь последнего равна '(4 произведения длины основания (3 гч) на стрелу ! = =1,125 г ° хь Центр тяжести сегмента лежит поссрсдщ<е основания. Основанием этой параболы является нс прямая Е'А, от которой измеряются се ординаты, а ось элемента ЕА, к которой ординаты перпендикулярны (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
