Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 18
Текст из файла (страница 18)
9.5,б), у которой четыре грани представля- г ют неизменяемые трсугольники, а пятая — че- l тырехзвенный механизм. / Следовательно, вся пространственная ферма будет один раз изменяема. Лля того чтобы «превратить» заданную систему в неизменяемую, достаточно в плоскую ферму 1-2-3-4 ввести диагональ 1-3 (илн 2-4). Задачи 9.7 — 9.9. Требуется исследовать пространственныс системы, изображенные на рис. 9.6, а — в. !27 Ответы: а) Система геометрически неизменяема и ис имеет лишних связей.
б) Согласно (9.!) 0= 3, однако система имеет четыре степени изменяемости, таь как здесь один опорный стержень является лишним. в) Система геометрически неизменяема и нс имеет лишних связей й 9.2. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ Методы определения реакции связей прос!раиств1ины; а1- ! Гсм прппципи;1лыю тс жс, что и для пл1»ских систем (сз!. Главу 2). Наиболсс часто применяются ста!и !сский метод (при расчете простых систем) и метод замены связей (при расчете сложиых систем). !!рп аналитическом определении реакций связей используетси и!ссзь условий статики, имгчои!их в общем случае следую- и!ИИ ВИД: 2.Х .=О; мА4,.
О;, ХУ =О; 'А4« О; ', Х2 = О '"А4, . О. (9 3) Рсакции связей можно также находить по способу «момси1. иой прямой» (аиалопнио способу «момситиой точки» в плоских системах), согласно которому рсшастся шесть урависшп! типа Х!'И =- О, (9.4) Решая совместно эти уравнения, получим )71 = Рз = — Рз,' )7» --- Рз )7« -- Р!! К,: — 77. я = — ~(Р1 + Р, — ). Ь Найдем теперь эти реакции исходя из предварительного определения положения моментных прямых и! — и! (см. рис. 9.7) Момснтцая прямая 1 — 7 проходит через точку пересечения ос- 128 где ка1Кдое содержит только одну из неизвестных реакций.
Пример 9.10. Определим опорные реек!и!и системы, изображевной на рис. 9.7. Выбрав коордипатиые оси и напрашш опорные реакции «из земли — к телу», получим согласно (9.4) 'Х=-:гз — Л,= О; Л'.— Рз — Р,—.:О; 'Л-.7г,+Рз -~гз Р, О;, ~й4- = — - Рзй — Рзп == О. тальных двух стержней 2 и 3, лежащих в той же плоскости, что и стержень 1, и параллельна стержням 4, б и б, т. е.
пересекает все остальные пять стержней. Таким образом, ХМьг =!1,Ь+ в +Р,а=О и, следовательно, Р,=Рг —. Аналогичным образом ь ' найдем положение моментной прямой П1 — П1, пересекающей стержни 1, 2, 4, 5 и 6. В данном случае ось 1П вЂ” П! совпадает с осью л. Исходя пз уравнения ХМгы ы,=!сгЬ+Рга=О, получим: а Йз= — Рг — .
Ь (д 1 Рг ш ~ Рпс. 9.7 ХМгл = Ь'зЬ вЂ” Р,Ь+ Р,й = О, откуда Рг = Р + Рг 9 — 1284 Так как моментпая прямая П вЂ” П должна пересекать остальные пять стержней, т. е. быть параллельной стержням 4, 5 н б и прц этом проходить через точку пересечения параллельных стержней 1 и 3, то, следовательно, она будет удалена в бескопеч. ность в плоскости хОа. В этом случае условие равенства нулю моментов всех спл относительно оси, находящейся в бесконечности, переходит в условие равенства нулю проекций всех спл на ось, перпендикулярную плоскости, в которой удалена в бесконечность ось П вЂ” П.
Таким образом, из условия ХУ=Рг — Р,= =О получим, что Йг=-Рг. Все момептпые прямые вертикальных стержней будут проходить в горизонтальной плоскости. В соответствии с рис. 9.7 получим: Х М„н, Й4а — Р, а = О, откуда !с4 — — Р,; л М,, „, = Р«Ьз(па+ Р«йз!па+ Р, Ьз(па = О, откуда Р«== — Р,— Р,—. -'ь' Как и следовало ожидать, значения опорных реакций совпали с ранее найденными. При расчете пространственных шарнирно-стержневых систем наряду с общим способом сечений широко применяется его разновидность — способ вырезания узлов, суть которого заклпо ~аег- Рпс.
9.8 ся в следующем. Если к нагруженному узлу сходится нс более трех стержней, реакции которых неизвестны, то эти реакции могут быть найдены исходя из условий равновесия проекций всех сил, сходящихся в данном узле: ХХ=О; т)'=О; тЛ=-О. (9. 5) Если узел, к которому сходятся три стержня, не нагружен, то усилия в этих стержнях заведомо равны нулю, а сами стержни называются неработающими («нулевыми») Так же как и в случае плоских ферм, перед расчетом системы надо вссгда сначала установить, какие из стержней являются «нулевыми» Пример 9.11. Определим усилия в стержнях системы, изображенной на рис.
9.8,а. Эта система может рассматриваться как сетчатая, так как роль замыкающих стержней 4-5, 5-6 и 4-б играет сама «земля». Поэтому нет необходимости доказывать, что система геометрически неизменяема и статически определима. Прежде всего устанавливаем, что три стгржня 1-2, 2-3 и 2-5 являются «нулевыми», так как только они сходятся к ненагруженному узлу 2. К ненагруженному узлу 3 сходятся четыре стержня, но поскольку один из них (2-3) является нулевым, то 130 и остальные три (1-3, 5-3 и б-3) также являются нулевыми. Эти стержни можно прп дальнейшем расче~е мысленно отбросить (рис.
9.8, б). Составим уравнения равновесия (9.5) сил, сходящихся в вырезанном узле !, в соответствии с выбранной системой координат: ' Х =- — Р + Л' . сов а я и )) + Л', соз а я п р = 0; Х У .=- — Л~,л яп а + Л~, яп а = 0; Х 2 = Л~,, + Л~,, соз а соз 'р + У, соз а соэ р = О, Решая совместно эту систему уравнений и учитывая, что )'2.34 яп а=сов а=, япр =- — и сов 6 =- —, получим 2 5 5 2со4 а яп й ~/2 2 — °вЂ” 2 5 Лг = — 2Ж сох асов р = — 2 ~г 2 — . — = — 1,64п, -л )2 4 Ьт ЬЗ 2 5 Определим усилие Л', другим путем, используя способ моментной прямой. Для данного стержня эта прямая проходит через узлы 5 и б. Из уравнения ХМз = — Р 4 — Лгьт З=О получим Лl = — Р— = — 1,6 т.
4 3 Если пространственная шаргщрно-стержневая система состоит из плоских ферм, каждая из которых в своей плоскости неизменяема, то такую систему удобнее всего рассчитывать по способу разложения на плоские фермы. Согласно этому способу заданную нагрузку следует предварительно разложить на составляющие по направлениям соответствующих граней, затем найти усилия в стержнях каждой плоской фермы от этих составляющпх и полученные результаты суммировать.
Пример 9.12. Определить усилия в стержнях пространственной фермы, изображенной па рис, 9.9, а. Разложим силу Р на составляющие по направлениям граней АС и ВС, как показано на рис. 9.9,5. От действия этих составляющих (равных Р) в стержнях плоских ферм ВС и АС возникнут соответствующие усилия (пх значения показаны на рис. 9,9,в). Складывая значения усилий для элементов, принадлежащих двум плоским фермам (пояс С-9), получим суммарные усилия, значения которых представлены в табл.
9.1. Пример 9.13. Требуется определить усилия в стержнях пространственной фермы, изображенной на рис. 9 б,в. В каж- 131 Тэблнан 91 Уснлис ~ № элснснтс Усилии ~; Нс э миснтэ Усилии № элсисн№ Р Р вЂ” 4м— дом из узлов данной фермы сходится более трех стержней н этому определить усилия в них путем 55спосрсдствсн55ого вы зания узлов невозможно. Для решения этой задачи используем метод замены свя Порядок расчета пространственных систем при пол5ошн тода замены связей остается тем жс, что и при расчете плон 132 А-1 1-1 4-7 В-2 'л-3 3-0 С-3 3-6 6-9 А — 914 Р— 514.Р— 314 Р -';5'4 Р -';314 Р о — 314 Р :314 Р— 314 Р А-2 2-1 1-3 лэ-1 3-7 А-С С-1 1-3 3-1 ΠΠΠΠΠΠ— Р и-514 Р— Р ' 5,'4Р 4-6 6-7 7-9 С-В В-3 ,'5-2 зэ-6 6- э 9-3 — Р - -5,'4 Р --Р— Р 54Р— Р :,-5,'4 Р— Р л-;э11 Р О систем.
Удалим из заданной системы связь 1-2 и введем вместо иее заменяющую связь,'3-5. Преобразованная система представлена в трех проекциях на рис. 9.)О, а — в, Найдем усилия в стержнях от заданной нагрузки Р и от сил Л', = !. Очевидно, что при действии силы Р стержни, примыкаюшис к узлам э' и 2, будут пулевыми, так как данные узлы, соедиа] б! г х пмгмсоз,в-..ф г Р 1 Д г д г эм ! г! б ь Лмз а Рпс. 9.!О ияюшие теперь только по три стержня, являются неиагруженными.
Таким образом, Же, = лл' == Же = )У!'. = й!г = М', = г з ' ь ~ г-э , г .б э-з г.в = О. Вырежем узел 3, к которому приложена сила Р, и составим уравнения статики: т Х = — л!Рь, з!п !3 + Лл,,', з)п р = О; ')' = АТ. з)па — Р = О; (9.6) т2 = — — й!~' собр — й!вьь. соз Р— Л!е соха =О. Решая совместно полученную систему уравнений, найдем: ох Р 2гз л л в сова Р Мпа 3 ' э" "б ~'~ 2соз)! 'к' в б 433 Далее определим усилия в стержнях от сил Х,=1.
Вырсзкем сначала узел 1, к которому примыкают три стержня (рис. 930, г). Так как два из ннх (1-4 и 1-5) лежат в вертикальной плоскости, а третий (1-3), так же как и сила Л'и — в горизонтальной, то проектируя все силы на ось 1-а (перпс~~дикулярн~ю следу вертикальной плоскости Ь вЂ” Ь), найдем, что Х, = — Х, = = — 1. В вертикальной плоскости к узлу ! примыкают ~олько два стержня. Поэтому ЛУь~= — Льь Учитывая это и используя условие статики ' У~ = О, полу.чнм т)',= Х,соз60' — Лгь, соз60 -; — Л", ип45' — М,, з(п45 = О, откуда т, + )2 )гй 2 ь' 2 Аналогично найдем, что — — $'г — ! з Л! = — (; Л! =-+; Л! 2 эз 2 Вырезая затем узел 3, найдем усилия в остальных стержнях от действия сил Хь К этому узлу примыкают три стержня (3-4, 3-б и 3-5), усилия в которых надо определить, и два стержня (1-3 и 2-3), усилия в которых известны.
Равнодействующая 5 сил ЛГпз и Л!х-л равная 5=2Узэ сов 30'= — г' 3, имеет то же направление, что и сила Р. Поэтому искомые усилия в стержнях найдем, используя ранее найденные усилия от силы Р, Таким образом, В соответствии с (2.4) найдем значение Х,: Х 2) зР )'3 1 гм Следовательно, по (2.5) УЗ $2 ! )з ) 1 6 Л) = — — Р Л! =Лг = — — ( — — Р)= — — Р; г-а З ' ьз= г.з= 2 ( З )= Л! = — ~~ Р+ — гх — г'З Р =О. 134 В данном случае усилие Х в зах!еняемоы стержне имеет определенное значение, что свидетельствует о геометрпческой неизменяемости системы. В тех же случаях, когда реакция в заменя!ощем стержне равняется путно, значение сплы Х становится неопределенным или равняется бесконечности, что свидетельствует о мгновенной изменяемости системы. Определение перемещений в пространственных системах основано на тех же принципах, что и для плоских систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
