Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 17
Текст из файла (страница 17)
8.!8 Здесь !!йг+!зй| =20 ° 26 — 40 ° 34= — 840 град ° си и гг — 1,= — 40— — 20= — 60'С. Эпюры действительного и вспомогательного состояний изображены на рис. 8.17,6, в,д, в. Пользуясь ими, находим перемещение 60 ь ! !О 2 Оно направлено вверх. Задача 8.26. Вычислить угол поворота Лг, сечения А и полное перемещение 7хс! узла С от изменения температуры в раме, изображенной на рис. 8.17, а.
Ответ: Л„ =0,028, по ходу часовой стрелки; Лс, = )~ Л' + Л' = 0,151 см, вниз и вправо. 120 Задача 8.27. Вычислить вертикальное перемещение опоры В и угол поворота сечения А рамы (рис. 8.(7, а) в двух случаях а) при изменении температуры только внутри от 0' то 1, =- =20'С; 1з=О; б) при одинаковом изменении температуры внутри и снаружи 1~ — — 1с = 20' С.
Пример 8.28. Найти полное перемещение узла 3 фермы (рис. 8.)8, а), если нагреваются на 1', а) только диагональ А-1; б) все стержни фермы. Решение Перемещения в ферме от температуры определяются по фор. муле (8.5). Сумма распространяется только на стержни, в козорых происходит изменение длины от температуры. Для полного перемещения, направление которого зарансс неизвестно, сначала находим перемещения по вертикали н горизонтали. Поэтому выбираем два вспомогательных состоянии силами У= ! и Х= ! и вычисляем от них усилия в стержнях (рис 8.!8,б и в). а) От нагрева только диагонали А-1 имеем: Л,,— — -~1 5=- — ~1м; Л„:== — — 'р1 5=- — — р1м. Полное перемещение узла 3 33' 2 и направлено вниз н влево по стержню 3-!.
б) От нагрева всех стержней фермы Л~ ~ — — 0 по симметрии; Л.,:=-Л,— 2(- — 4 — -- 5+ —.— --)81 6 (р1л !2! и направлено вправо. Задача 8.29. Вычислить угол поворота Лгн стержня 1-3 (рис. 8.)8), если температура стержней периметра А-2-3-1-В изменилась от 0 до — )О'С, а диагоналей А-1 и В-2--до +20'С Коэффициент линейного расширения р= ! (7 ° !О-'. Ответ: Лаг — — 0,00(83 рад, против часовой стрелки. Пример 8.30. Левая опора трехшарнирной рамы получила горизонтальное смещение влево на величину Л,=б см (рис. 8.)9,а).
Вычислить полное перемещение шарнира С и взаимный поворот смежных с ним сечений. рыс Вш Решение Перемещение от смещения опор определяется по формуле 18 3): Лля искомых перемещений выбираем три пспомогатсльных состояния: с силами Х= — 1 и У=1 и обобщенным моментом 2=1. В каждом из этих состояний опрсдсляем реакции и' в направлении смен!ения хи (рис. 8.19, б — г). Роставляюгдис полного перемсщсния по горизонтали и верги кьлн: Лх."= — КхА = ( ' 6) =бэсм; — гг д, == — ( — — 6! .= 2 см. Реакции Я~х и Я~г направлены против смещения и совершают на нем отрицательную работу.
Перемещения .Лх, и Лт„получились положительными: они совпадают с направлениями Х и У. Находим полное перемещение шарнира С: Лс, = усб'„, + Л', = 1' !3 см. 122 Взаимный угол поворота сечений С Л„= — ФьтЛ, =- — — '-Л, -- — 0,01 рад. а Он направлен против 2 и раскрывается снизу. Задача 8.31. Найти вертикальное и горизонтальное перемещения шарнира С (рис. 8.19) от сме1цения левой опоры вниз па Лл=4 см.
Ответ: Лтл =2 см, вниз; Лхл =3 см, влево. Пример 8.32. В ферме (рис. 8.20,а) стержни 1-А и 1-4 удлинились соответственно на 3 и 5 млп а стержень 1-3 укоротился а) 1 а 1 — 41 -и-с~ -1 б) 2 3 4 5~ ах Рис. 8.20 на 4 лгм. Определить вертикальное перемещение узла 5 от вынужденных удлинений Лз„, указанных стержней. Решение В действительном состоянии заданы вынужденные удлинения стержней (рис.
8.20, а). Определяем в этих стсржнях (связях) реакции Й,„г =Ли вспомогательного состояния от силы 1'=: =1 (рис. 8.20, б). По формуле (83), в которой знак минус в правойй части заменен па плюс, находим вертикальное перемещение узла 5: Лт = — 3+ — 4+ 5 = 4,02мм. 2)'з 2 )Гз Задача 8.33. Найти горизонтальное перемещение узла 2 н угол поворота стержня 3-4 от вынужденных удлинений стержней фермы (рис. 8.20, а). 8,28 Ответ: Лх =9,96 мм, вправо; Ла„,= — ', против часовой и' стрелки.
123 Глава ОБРАЗОВАНИЕ И РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ й 9Л. ОБРАЗОВАНИЕ И КИИЕМАТИЧЕСКИИ АНАЛИЗ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ Соединяемые элементы пространственной системы называют телами. Каждое обособленное тело Т геометрически неизменяемо и обладает шестью степепячи свободы в пространстве. Отдельный узел можко рассматривать как вырожденное тело, обладающее тремя степенями свободы Тело сосдиияютгя между собой при помощи связеи. Существуют различные типы связей прострапствениых систем. Основной (элементарной) связью является стержень С с шаровыми шариирами по копнам.
Такая связь может одновременно сосдииять только два тела или узла. Друвис связи могут рассматриваться как комбинации из элсмсцтариых связей. Так, например, шаровой шарнир Ш эквивалентен трем, а припайка — шести элементарным связям (при правильной их расстановке).
Связь. соединяющая несколько тел, называется кратной. Ее кратность иа единицу меньше числа соединяемых тел. Пространственные систечы, как и плоские, подразделяются иа неизменяемые, изменяемые и мгновенно изменяемые. Степень измспясмости пространственной системы, составлснпг>и из тел, узлов и связей, можно определять по формулам: для систем, прикрепленных к земле: И == (67 3)') -- (С' —,' ЗП/.ь 6П) — Со, (9! для гВОГ>Од~!ь>х гщ гсч И вЂ”.
(6Т ЗЗ') (С' '- ЗУI —; ЬП) — 6; (9,З гдс С число иривсдгппых элсчщпарпых связси (ьр~>ч п>а ровых шарщиров и припаск). Гак жс как и дтя пчоских с~>сге>ь достаточиь>й пр!>звяк псп чспясмости может быть выявлен только из киисчг>тичсскг>( апализа системы, основанного н простых случаях па принцип( >бразопаппя иросграисгвспиых систем, а в более сложных сл) чаях — — па особых признак;>х, вытекающих из общих методов и рсдслсппя реакций связей (см. главу 2). Осцовцычи слу ~а»ми об>разовапия геометрически псизмщ смык пространственных систем являюгся следующие.
1. Два тела, соединенные шестью стержнями, образуют изменяемую систему, сели при этом вес шее>ь стержней пс по сскаются одной прямоп или три стержня, лежащие в одной п( скости, пс пересекаются в одиои точке. В противном случае разовацныс системы являютгя либо мгповенпо изэ>еняемь! либо измецяечыми с лишними связями.
При этом прямая, п >24 секающая все шесть стержней, является мгновенной или постоянной осью вращения. 2. Присоединение узла к телу «трнадой» --- тремя стержнями с шаровыми шарнирами по копнам, нс лежащими в одной плоскости, — образует неизменяемую пространственную систему Рассмотрим несколько примеров па кннсматичсский анализ прострапстаенвык систем. Пример 9.1. Система, нзо. браженная на рис 9.1, а, является неизменяемой и прсдсгавляст О, собоп простейшую пространст. Рнс з,! ннс аз венную шарнирно-стержневую систему.
Здесь,р=-4, С=б и, ~ лсдовательно, по (9.2) И=З 4 — 6 — 6=0. Можно считать, что данная система образована путем прикрепления узла Р прп помощи триады к телу — диску АВС, Пример 9.2. Система, изображенная на рпс. 1).1, б, оклпчается от предыдущей тем, что между шарнирами находятся нс стержни, а тела. Здесь Т вЂ” -6, Ш=-4 2= — 8 (каждын шарнир двукратньщ), а следовательно, по (9.2) И=б.б — 3 8 — 6=6. Данная система имеет шесть степеней свооодьп так как каждое из шести тел может свободно вращап ся вокруг «своей» осн, т. с.
оси, проходящей через шарниры. Пример 9.3. Изображенная на рпс. 9.2 система является изменяемой, хотя условис (9.!) выполнено (И=б — 6=0). Здесь четыре опорных стержня параллельны между собой, т. е. пересекаются в одной точке, лежащей в бесконечности. Через этз точку и точку Р пересечения двух остальных опорных стержней можно провести прямую, которая будет осью вращения.
Для того чтобы данную систему превратить в геометрически неизменяемую, надо один из вертикальных стержней (например, В) «перевести» в горизонтальную плоскость. Отметим, что в горизонтальной плоскости опорный стержень В может занять любое положение, за исключением одного: он не должен проходить через точку Р, так как в последнем случае в этой точке 125 будут пересекаться три стержня, лежащие в одной плоскости, и, таким образом, вертикальная ось, проходящая через точку О, будет мгновенной осью вращения.
Пример 9.4. Определим степень изменяемости системы, изображенной на рис. 9.3. Здесь тело в виде пространственной рамы с незамкнутым контуром прикреплено к земле прп помощи четырех шаровых шарниров. Согласно (9.1) 0=6.1- — 4 3= = — 6, т. е. система имеет шесть лишних связей, которые можно отбросить для «превращения» данной системы в статически определимую. Однако не всяки< шесть элементарных связей можпо отбросить. Напрнь<ер, прн уда- Рпс. 9.4 Рнс 93 ленин двух опорных шаровых шарнпоов С и 0 все шесть оставшихся опорных связей пересскалнсь бы одной прямой АВ, н, следовательно, система была бы изменяемой. Пример 9.6.
Изменяемость системы, изображенной на рис. 9.4, согласно (9.1) равна нулю: У = 1О' С = 24' Са = 6' И = 3'1О 24 6 =' О. Для кинематического анализа используем способ последовательного отбрасывания триад (аналогично отбрасыванн<о днад в плоских системах). Сначала удалим узсл 7 с тремя стсржнями 4-7, 5-7 и 6-7. Затем отбросим узел 6 с тремя стерж«><><и 4-6, 5-6 и 3-6; узел 5 с тремя стержнями 3-5, 4-5 и 2-5; узел 4 с тремя стержнями 1-4, 2-4 и 3-4. Осталась одноярусная Ферма. Аналогично предыдущему отбросим узлы 3, 2 и 1.
В результате получим диск АВС (тело), прикрепленный к земле шестью опорными стержпямн, трн из которых лежат в плоскости диска и пс пересекаются между собой, а три других перпендикулярны диску и не лежат в одной плоскости. Следовательно, система геометрически неизменяема. При кинематическом анализе пространственных шарпирностержневых систем полезно знать следующее правило (теорему Коши): если шарнирно-стержневая система представляет собой выпуклый многогранник, в котором каждая грань нензменя- !26 сма в своей плоскости, то н вся система геометрически неизменяема. Такая система называется сетчатой. Простейшим прнчс.
ром ее является элементарная ферма (тетраэдр), рассмотрен. ная выше (см, рнс. 9.!,а). з Ркс. 9.5 Пример 9.6. Система, изображенная на рнс. 9.5, а, помост У=13 С=32. Следовательно, по (9.2) И=1, т. е. система один раз изменяема. Покажем это исходя нз нспосредствсп..ого анализа геометрической структуры, основываясь а) б) на способе последовательного отбрасывания триад. Отбрасывая сначала узел 5 с тремя стержнями 1-5, 6-5 и 12-5 (н аналогично узлы 7, й и 11), а затем узел 12 с тремя стержнями 1-12, 4-12 и 13-12 (и аналогично узлы 6, 8 и !О), получим шарнирную стержне- г вую пятигра иную ферму (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
