Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Задача !0.4. Построить эпюру М в раме примера 10.2 от горизонтальной равномерной нагрузки (рис. 10.5, б). Ответы при основной системе по рис.10.4,б: Л,и= — 1!бд: ЕУ, Х, =58зг:75. Эпюра М, построена на рис. 10.5, б. зз г а1 1В в) а взг вв к, Рис. 10.7 Рис. 10.6 Ий Пример 10.5. Получить в общем виде формулу усилия в затяжке (распора) двухшарннрной рамы от любой вертикальной нагрузки на ригеле (рис. 10.б,а). Основная система и необходимые для расчета зпюры даны на рис. 10.6, б и в. Поскольку в этом случае применена единичная эпюра от Х,=1, то усилие в затяжке (распор) рамы Н=Хь Перемножая эпюры (рнс. 1О.б„б, в) и учитывая удлинение затяжки, получим — — гав г 11 а1в б =(М ) (М,) + — = ( — ° — Ь вЂ” ) 2+ — + ЕзГз (, 2 3 ЕГ гзЕ3 ЕзЕз =. (Мо).
(М) = — <о й:ИЕ3. Из канонического уравнения ,= — — "=.,:Ы ° ° +'"'1. ( . ) — — ( —, ЕьГЭ / Для двухшарнирной рамы без затяжки на жестких опорах надо в (10.20) положить жесткость затяжки Е,Г, равной бесконечности. Применим формулу (10.20) для примера 10.2: Х! = 8Р4 ° ! 4.4з 1 44.6 ! 13 ) 25 Пример !0.6. Построить эпюры М, Я и Д! в раме (рнс.
!0.7, а). Каноническое уравнение бпХ, +Л,р =О. Расчет производим с учетом только деформации изгиба. Основная система показана на рис. 10.7, б; условно-единичная эпюра — на рис. 10.7,в а грузовая — на рис. 10.7,г. Сложные фигуры при перемножении разбиты на простые, как указано на рисунках пунктиром. Вычисляем перемещения: 2 3 Ед (213 3 = (162+ 114+ 48):ЕУ = 824:ЕУ.
Применим для вычисления среднего слагаемого по ригелю формулу (10.9): 6 ЗЕ! (9 9+ 4.7,5 7,5+ 6 6) = 1!4:ЕУ; ! 1846 2 2 т 1 Л = — ~ — — 9+ — 6 4 5!7 4 5 ) —— 2 3 3 )Е1 !846 ( 2 9 1 ) 1 4054 + 1444 5494 2 1 3 3 /ЗЕ,1 Е1 Еу Вычислим и здесь первое слагаемое по формуле (!0.9): — — (0.0+ 4 18,5 13,57+ 18д9) = — — ~ . 6ЕУ Е1 Значение неизвестного Х, = — Ь,р1йп = 610:36. Исправленная эпюра (М,)Х, показана на рис.
10.7,д, а эпюра изгибающих моментов от нагрузки — на рис. 10.7, е. 1ю Производим проверку путем перемножения эпюры (М„) на эпюру (М!), применяя формулу (10.9): — б ! !1 33 9 ! 9 (М ) (М!) = — О О + 4 !' — — д + — ) '! ! — — ) + 6Е7 ~ 2 12 2 ~ 2 1 — б!д) 1 4 1614 614 б 6 6Е7 ( 6 6 2 2 Еа!'33/ Эпюры Яр и Кр могут быть построены по обычным правилам, если к основной системе (рнс. 10.7,б) приложить найденное неизвестное Х!. Однако в более сложных случаях такой способ построения неудобен. В таких случаях построение эпюры Яр следует вести, пользуясь построенной эпюрой МР, а постросние эпюры Л!Р— пользуясь эпюрой Яр. Рассмотрим здесь последний способ.
Для построения эпюры 1,!! надо каждый брус рамы рассматривать как балку на двух шарнирных опорах с действующей на него нагрузкой и найденными опорными моментами, взятыми нз эпюры МР (рис. 10.7,е), а далее применить формулу ( ) двал ( ) 1 пРав лев (10. 21) Р Р где Яр" (г) — поперечная сила только от нагрузки, действующей на брус, а Мп!,ав и М„,— соответственно правый и левый опорные моменты при обычно принятом для балок правиле знаков. Для нашего случая такие балки представлены на рнс. !0.8.
1) Брус а-! (рис. 10.8,а): 1;)р(г) =- (Зд — дг) + ~ — — О 1:6; ! 12 () (О) = 84+ - — —; О,(6) = — Зд+.—.'= — —. 334 2499 334~ 1634 72 72 ~ 72 ! 72 2) Брус 7-2 (рис. 10.8,б); 614 334'1, 155! (г) 0-г 1 — — — — 1:6 =. — — а. 6 !2 ! '72! 8) Брус 2-Ь (рис. 10.8,в): Яр(г) = 0 + ~0 — ~ — — ~)1:4 == — ~. Эпюра Яр в раме построена на рис. 10,8, г. 144 Для построения эпюры Жя надо вырезать узлы рамы с действующими на них сосредоточенными силамп (если они сеть), прикладывая к узлам в разрезах брусьев неизвестные продольные силы Ж и ранее найденные поперечные силы Я.
Каягд)и> силу надо обозначать двумя индексами: первый индекс )ка- Я~В"' 77 /И~ л ~фа >- — Бм 77 >ЛЛЛ~>-. /2х 77 12 б' 2 Ь Я% ' >аз б) 2 (а., Ж, 77 г 77 1Я 77 7) г77 кг 17 74 — 4> /М 77 Я 77 т 74 77 Рис. 100 Рис. 10.8 145 зывает номер узла, а оба вместе — примыка>оший к узл> брус При этом надо помнить, что положительная поперечная сила должна врашать узел по часовой стрелке. Затеи из условий равновесия в виде суммы проекций сил па ось определяются продольные силы >>> через известные поперечпыс силы 1).
)!ачпнать вырезание узлов надо с узла, где соединяются только два бруса. Затем надо переходить к узлам, в которых не более двух неизвестных продольных сил. В нашем случае вырезание начнем, например, с узла ) (рис. )0.9,и). Условия равновесия: ~взд Вырсзасм далес узел 2 (рис. 10.9 155д г — а б). Условия равиовссия: !1: ииэ Л'.,: — — 614: 24; 1Уз, — — 15517: 72.
=)нюра Л с иостросиа иа рис. ! 0.9, в. !)остроеииые эпюры Г;1и и Л'и проверяются по условиям равиош сия, которые должны выполняться для любои отсеченной части. Так, иапримср, в иашсм случае (рис. 10 9,г) эти условия для рамы в целом будут ЕХ =- 69 — — — — 0; 2497 61гг 7э "4 155д 1554 . . 614 !55 — — + — '' 0; мМ,:-= 617 3 — —. 2 — — '16 О. 72 72 ' ' 21 72 Пример 10.7.
!1остроить эпюру изгибаюших момситов в рамг !рис. 1О.!О,а). Рама имест два контура и чстырс шарнира. 11о формуле (10.2) п.=-3 2 — 4-.=2. Нструдио убедиться, что рама внешне статически иеопределима. Основная система даня иа рис. 10.10, б г,аионичсскис уравнения. бл Л, + Л.„Х, + Лэа О. Глинн'шыс эпюры и эп1ора от нагрузки даны иа рис. 10.10, г — д. =)нюра .Й~ припяти для удобства вычислсиий условно-сдиии шая. Вьшислясм коэффициенты и снободиыс члены каноническая Зравиеиш1: — — 96 2 9 196/2 бы -- — — (М,).
(М,)::=- — — — . — + ~ — ) - — 9 + — 6 ) + 2 3 Е.Г 2),3 3 6672 1 11 ! 64 2 6 + — ( — 6+ — -9 1) + —. — — =- 324:ЕУ; 3 3 7(зеl 2 3 е.г бы =- (Мг) (М,) =- — ( — 9+ — -6 ) — = 46: Еу; + — —, — = 276:Е7; 2 3 ЗЕ7 Л„, =- — — — 6.4,5д ° — = — 45д: Е7; 2 9+6 1 3 2 ЗЕ7 Л„=- — — 6 4,54 3 — = — 189:Е(. 3 ' ЗЕЗ 146 Проверяем полученные значсния по формулам (10.10) н (10 11), поторые для данного примера записываются в таком видс: ХЬ ==(М ) (М ); 'Д,, =- (МО) (М.).
(10.22) а) г) е РН) г) Огзг669 оитгу Рпс !0.16 Суммарно сдппн шая эпюра изображена па рпс. !0,10,с Ебг =- (324+ 2 48+ 276):ЕЛ = 696:ЕУ; — — 96 2 9 Г)66) 2 1 (М ) ° (М,)= — ' — — +" — '' — !5+ — 6)+ 2 3 Еу ~ 2 ~3 3 бб/2 1 '1 1 6.4 2 б + — ~ — 6+ — 15 1~ — + — — — + 2 !3 3 '~ ЗЕ,) 2 3 Е) + + — - †. — =- 696:Е); Еу 2 3 2Е2 147 45 !841 634 =1 — — д — — ' =- — —; Е7 ЕУ) ЕУ о 2 !5+6 ! 634 (М ) (М ) = — — 6.4,6!7 3 2 ЗЕ/ Е7 Канонические уравнения в числах: 324Х, + 48Х, — 454 =-.
0; 48Х! + 276Х, — 18!7 =- О. Решение их дает: Х!=О,!3264д и Хг=0,042142!). Исправленные эпюры даны на рис. 10,10,зг, з, а суммарная — на рис. 10.10, и. Производим проверку полученной эп!оры путем «умножения» ее на суммарно единичную: (М ) (М ) ' !93764 6 2 3 Е7 !,4466!4.6 2 , ! ) 2 3 3 2 1 3 3 7' 3 )ЗЕ/ 0,795844.4 2 6 1, 0 2628646 6 2 3 ЕМ Е1 + ' 4 ° — . — = (38,47414н Е/) — (38,47812а: Еу) = О. 2 3 2Е7 Точность решения высокая и для данного случая несколько излишняя. Эпюры Яе и й)е строятся, как в примере 10.6. Пример 10.8. Построить эпюру изгибающих моментов в раме (рис.
1О.!1, а). Рама трижды статически неопределима. Наиболее удобная для ее расчета основная система указана на рнс. 10.11, б . Канонические уравнения: бпХ, +Ь!е =-0; б„х,+Л~=О; Условно-единичные н грузовая эпюры даны на рис. 10.! 1, а — г. Определяем коэффициенты н свободныс члены канонических уравнений: !23'Е7ЕУ !48 По формуле (10.9): 1 г Хг=!5 г) 70 !22!3 В 8 — Бм Рис. 10.!2 Рис. !0.1! 149 Г.Ж ,Г1 Ь,е= — (О 6+ 4.2!3 1,5 — 8!3 3) = — — ~; 6Е3 Е3 Л =- — (О 0 — 4 2д 3 — 89 6) = — — '; 4 484 6Е3 Е3 Ь = — (О 6+ 4 2д 6+ 84 6)= — ~. 653 Е3 Суммарно-единичная эпюра дана на рис. ! О. 11, ж. Проверяем коэффициенты и свободные члены по формулам (10.22).
Обычным перемножением эпюр находим: 12 6 2 12 15-4 2 ! 552 + — — + — — 15 2 8 ЗЕ3 2 3 Е.3 Е3 ХЬ, = (144+ 96+ 312):Е/ =-— (Мр) (М ) = 4 84 = — (О 12+ 4.24 4,5 — 89 3) == —; БЕ3 Е3 3.Л = ( — 8!3 — 48!3 — 64д):Е,/ = —. ад г Е3 Из канонических уравнений находим: Х,= 8д =д:18; Хг=!3:2; Хз= — —. Эпюра из- 89 гибающих моментов изображена на рис. 10.1!,э. Проверяем ее персмиохксипсм иа суммарно-сдиш!чиую, применяя формулу (10.9): 78(М,). (М ) = — (2819( — 3) — 4.50,59 4,5 — 70ь 121 — + 6Е1 ' ЕУ + ! — 70д.!2 †- 4 26а.б + !22а.О) + б 3Е1 + — (1229 0 + 4 !4 59'7 5 -г 1519 151 = ~ 4 -'= О. 6Е1 ' ' Е1 Задача 10.9. Построить эпюру изгибающих момеитов в ра- мс (рис. !0.12).
Ответы при условпо-единичных эпюрах по рис. 10,11,в — о: бп == 144:ЕУ; бм == 96:ЕУ; б., = 3!2:ЕУ; Л,р — — 0; Л„, =- — 32Р:ЕУ; бмс 4ВР:ЕУ; Х, 0; Х, - Р:3; Хз — 2Р.!3. Эпюра изгибающих моментов показана иа р ю. 10 1",6. Пример !0.10. Построить э!пору изгибающих л!ол!с!!Гов в раме (рпс. !0.13, а). Здесь У(=2, Ш=З. Сз пень с!атической иеоиределптосги ио (10.2) п=З ° 2 — З=З.
Неопределпмость внешняя. Основная си- стема принята по рис. !0.13, б. Для выбранной основной системы расчетные эпюры (рис. 10.13,в — в) просты. Канонические уравнения: биХ+ 5»Х+бмХ+ ~~ 0 б, Х -г-б,,Х,+б., Х +Л,,— О, 5 Х + й э Х + б Х + Л О Находим перемещения и свободиыс (грузовыс) члены. — — 65 2 6 !64!2 ! б = (М,' !М ) = — ' — + ~ — ( — 6 + — 12 ! —,'- 2 3 Е1 12 3 3 + — ' — — = 852:ЕУ; 2 3 .81 — — 65Г! 2 л ! 6+!2 ! блг = (Мл) (М ) = — — ( — 3+ — 6 ) — — 4 Ь 2(,3 3 7Е1 2 2Е1 — + 3 — = — 345: ЕУ; 2 Е1 блз = (Мл) (Мз) = — — '6 — = — 144:ЕУ! 2 2Е1 — — 33 2 1 Г35/2 ! б =(М) (М) — '. — 3 +[ — '( — 3+ 6)+ 2 3 ЕГ (2 !3 3 !50 852Х» 345Хз 144Хз + 1284 = 0' — 345Х, + 258Х,— 18Хз+ 0 = 0; — 144Х, — 18Хз + 216Хз — 128п =- О.
(!) (2) (3) Их решение проведем различными способами !. По способу Гаусса Прямой ход записан в табл. 10.1. Из прямого хода имеем уравнения с треугольной матрицей: 852Х» — 345Хз — 144Хз+ 1289 = 0; 1! 8,29915Х, — 76,30992Х, + 51,831049 =- 0; 142 43808Хз 72 932599 = О. (1) (2') (Зз) 162 2 3 3 ! Ед 2Е2 2 3 ЕУ бзз =- (Мз)'(Мз) = — — — == — 18: Е7; 2 3 Е/ 2 3 ! Еу 2Е2 Лгв = (М,',! (М,) = — '8 8,!' = 1284 Еу Лза = (М,) (Мз) = О; = — — 8 8д = — 128п Е,Г 2 6 зе 3 2Е2 Хб» = (852 — 2. 345 — 2-144 + 258 — 2 18 + 216): Еу .= 312; Е); 2'Л „= — (! 289 + 0 — 1284): ЕУ =- О, Проверяем по формулам (10.22). Суммарно-единичная эпгора дана на рис.
10.13,ж, — — 3 3 2 3 3 6 2 3 , » ° 6 2 6 (М,) (Мз) — — — — + — — — — + — — — + 2 3 Е2 2 3 Еу 2 3 2ЕУ »т (Мз) (МБ) ' (Мо) (М ) 8 89 О..тб Канонические уравнения в числах: Решая эти уравнения снизу вверх, начиная с последнего пол).чии: Хз =- 0 5120317' Х вЂ” 0 10784641 Хт — О,!0736117, Т н 6,1!! и а Ш ! Су ~теа «аза.
!! енен овсов и повозив« ыснан !О = И Псизвестныс Спой .тные неоны 5 ке уравнении хе страни Хе — 345 — 144 128 д 852 ,Ьы, атз= —— 5, — 0,1690! 1 =- 0,40493 — 105 258 — 18 — 345 (2) †1,70085 — 58,30992 а,з (1) 93,82063 51,83!04 д 93,82027 (2') — 76,30992 118,29915 ! «ат аеа= — ! = =- 0,64506 216 — 144 (3) — 18 — 1284 ° — 24,33744 ~ 21,63328 д азз(! ) 82,98391 авз(21) — 49,22448 33,434!3 д 60,51994 69,5038 142,43808 -72,93259 д 69,50549 (зз) 1О !53 Лля проверки найденных значений Х, — Х, подставим пх во второе и третье канонические уравнения: 345 0,10736417 — 258 0,10784617 — !8 0,5!203!7 =- =- 37,0405817 — 37,04080817 =- 0; !44 0,10736417 + 18.0,10784617 + 216 0,5!20317 — !2817 "-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
