Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Контроль решения В заданной балке угол поворота двух смежных сечений иад каждой опорой равен О. Следовательно, Лср== ~„~ ММ, — 'с(г= 0; l! где М вЂ” изгибающие моменты в иеразрсзпой балке; М,. — изгибающие моменты в основной системе от М;=1. Интегрирование обычно производится путем перемножения эпюр. На рис. 11.4,а изображен вариант разбивки эпюры М на простейшие фигуры, для каждой из которых легко найти плошадь б! м,=) Ит= ! Йз г) Уз 6 Узв Рис. ! !.4 17! 12* ы; и положение центра тяжести 0«. На рис. 11.4, б — г показаны ординаты у,„, расположенные под центрами тяжести выбранных фигур в единичных эпюрах М,.
Производя операциц умножения эпюр, находим: Т ( ММ, — ' йг = ] — (цл. абс) у„+ (пл. Ьсг()у„] — '+ «=! + ] — (нл. Йеп) у„— (цл. едй) у„+ (нл. е(д) у,«] — ' = .l, = — — 54 18 — + — 40 18: — — 32 ° 18 —— 2 3 2 3 2 3 — — 58 18 — + — 72 18 — = — 18 ° 2( — 88+ 88) = 0; 2 3 2 9 6 з ~л ~ ММ, — ' Нг = ] — (нл.
г(ей) у„— (цл. еуй) у,~ + 2« «=э + (цл. е]д)у„] — '+ ( — (пл. Аду) у., — (цл. 817) у„+ -1-(нл. 8Ы)у,з] — = — — 32 18 — — — 58 18 — + до 1 ! 1 2 дз 2 3 2 3 + — 72 18 — — — 58.24 — — — 79 24 — + 2 9 2 3 2 3 + — 108 24 — = — 4 18( — 102+ 102) = 0; 3 2 6 ~а ~ММ,— '~(г=] — ( л.Лай)у„— (п..а1Лу + 2« «=-з + (цл. аЫ) у,«] — = — — 58 24 — — — 79 24 — + Уз 2 3 2 3 + — 108 24 — = — 24 2( — 108+ 108) = О. 3 2 6 Задача 11.3. Определить опорный момент М, для балки, показанной на рис. 11.5, и построить эпюру М: а) для случая, когда М,= — Ра принят за известный опорный момент; б) для случая, когда Мв= — Ра отнесен к нагрузке в первом пролете. Ра Ответ: М~= —.
4 Задача 11.4. Построить эпюру моментов для балки, показанной на рис. ! 1.8. 172 Ответ: М, = — 69 т м. Задача 11.5. Построить эпюры М, 1,) и найти опорные реакции для неразрезной балки примера 11.! (см. рис. 11.2). 8 Ответ: М = — 42 г м; М = — 27 7 м; 7с,=- — — г; 60 1733 !011 144 )с1 г ) с 7 Рз г 60 ' 60 ' 60 2 1- а -'= за — 1 — — за с Рис.
!16 Рис. 11.5 Метод моментных фокусов В каждом пролете неразрезной балки различают: м, левое фокусное отношение йс= —, если пролет распом! ложен левее нагрузки; правое фокусное отношение й'. = — ' ', если пролет рас- ! М! положен правее нагрузки.
Из уравнения трех моментов для незагруженных пролетов устанавливаются рекуррентные зависимости для фокусных отношений смежных пролетов: й, = 2+:~2 — — ) для левых фокусных отношений и Л!, 1 й; = 2+ — 2 — для правых фокусных отношений. 7 1 л! а!+1 Из этих формул следует: фокусные отношения зависят только от размеров и жесткости балки и не зависят от нагрузки; левые фокусные отношения надо вычислять, двигаясь слева направо, начиная с первого пролета, где )с, =аа, когда на левом конце шарнирная опора, и й,=2, если левый конец зашемлен; правые фокусные отношения надо вычислять, двигаясь справа налево, начиная с последнего пролета; причем А„' = аа для шарнирной опоры и А„' =2 для зашемления иа правом конце.
Для балки с нагрузкой в одном из пролетов выражения для опорных моментов загруженного пролета имеют вид: бса! ( 6! а! а!) бса! 1а!а! †!) 1с(» а !) 1 (~!а !) 173 где го, — площадь эпюры моментов в основной системе от заданной в пролете нагрузки; ей приписывается знак эпюры моментов; аь Ь! — расстояпия от опор до центра тяжести эпюры. Отметим, что для первого и последнего загружеппых пролетов, имеющих шариирные опоры на концах, формулы (11.7) принимают вид: для первого пролета М,=О, М, =-- — 'о'-; (11.8) ! Ь,' во~а Ьл для последнего пролета М„, — — — —" ", М„=- О.
(11.9) !й ~о Если нагружено несколько пролетов балки, то опорные моменты определяют раздельно от нагрузки в каждом пролете, а затем сул!л!ируют. Пример 11.6. Вычислить опорш!с моменты для балки, показанной иа рис. 11.3,п. Решение Полагая Ус=У„паходим, что Левые фокусные отношения пролета: й, =.-; й, = 2+ >.! —— 18 лс, Ьл=!8 м, 24=24 л!. вычисляем, начиная с первого !8 ' ! — (2 — — ) =-4; 18, со Йл -— — 2+ — (2 — 4 ) 16' Правые фокусные отношения вычисляем, начиная с последнего пролета: А' =- 2; К =- 2 -,'— - — (2 — — 1 =-- 4; 24! ! !8 2, 174 Строим в основной системе эпюру моментов от заданной в пролетах нагрузки (рис.
11.3, и). Из эп!оры находим 61! — — 648 т л!л; а!=12 лп гол= — 648 т м' по=10 м; Ь,=8 м; ~ол — — 1728 г лгл; ал— = Ьз = 12 л! (ем. пример 11.2) . Опорные моменты определяем раздельно. а) От нагрузки в первом пролете по (11.8) М" —.= 0; М' = — — =- — 38,4 т лк 6 648 !2 !8л !як! Для незагруженных пролетов, используя правые фокусные отношения, находим: М;",= — — == — '=96т м; М1 38,4 4 М' = — — *- = — — ' = — 4,8 т.м. Мл 96 2 б) От нагрузки во втором пролете по (!1.7): б 648(8 4 — 1О) 18з(4 4 — 1) 6 648 (10 4 — 8) Мб = —:=- — 25,6 т м. 18' (4 4 — 1) В первом пролете М,", = — —. =О, так как )г, = бо.
б Л(з (бз Лбб 25,6 В третьем пролете Л4бб = — — ' = — ' = 12,8 т м. 2 в) От нагрузки в третьем пролете по (! !.7): 6 1728(12.2 — 12) =-. — 38,4 т м; 24з(53(16,2 1) 6 1728(12 53/!6 — 12) 24б(53/16 2 — 1) Рассматриваем нсзагруткспиые пролеты слева. Применяем левые фокусные отношения: М' = — — — =- — ' -= 9,6 т м; М", — — - .— — О.
Лбб 38,4 „Мз г) От нагрузки иа консоли М,',= — 5-(т м; М', == — —" == — = — 14,4 т м; 15/4 М.', = -- — =- — — ' == — 3,6 т м; Мз 14,4 4 "з Опорные моменты от совместного дейсгвия нагрузки по принципу независимости денствия сил находим как сумму ранее найденных величин; Мб = Л1;,' + М,'; + М,", + М,'; =- — 54 т м; М Ма ! Мб ! Мнл М. =- — 38,4 — 17,6 + 9,6+ 14,4 =- — 32 т и; М Ма ! 444 Мб+М =- 9,6 — 25,6 — 38,4 — 3,6 =- — 58 т м; М Ма ! Мб ! Мвл Мг з з з з з = — 4,8+ !2,8 — 88,8+ 1,8 — — — 79 т и. 175 где л. в. /)554' — линия влияния поперечной силы для того л сечения в статически определзмой основнс системе.
1 Ордината на конце консоли равна: Я„= (М„*, — М )— л Линия влияния рсакции и-й опоры /57« опрсдсляется формуло! 1 л. в. )7 = л. в, В""и+ л. в. А5О« + (л. в. М, — л. в. М ) —— л ' ' л ' ' «-1 (' ' ' л-,'-1 ' ' ' и л51 1 — (л. в. М вЂ” л. В. М ) —, и ' ' ' л — 1 л гдс л. и.
В„"л — линия влияния правой опоры и-го пролста в статически опрсдслимой основной системс; л. в. А„"",— линия влияния левой опоры (и+1)-го пролстз в статически определимой основной системе. Таблица 11.1 о,оо 0,70 олю О,Е) 0,40 0,75 о,зо О,!О О,«О 0,50 0,25 О 27,30 о,тъ 0,3570 0,3251 О,п!о олазо ООМ!О о,ззе О,З75О /,!«) о.ею а,«лзо осязо 0,3251 О,ЗЗ«О О О,ООХ) 0,1010 0,)ИО 0,2344 0,3570 и !«) О, 7Е1 Ордината на конце консоли ранна: л+1 (Мл Мп — 1) 1 /и Пример 11.7. Построить линии влияния для балки, показанной на рнс.
11.8,а. Полагая УО=Уь находим, что Х.1 — — 18 х/, )2= =18 м, /.з=24 л/. 53 Левые фокусные отношения /г,= оо, й2=4, йз= —, а правые 16 15 фокусные отиошсния 74); = 2, й,' = 4, й; = — (см. пример 11.3). По получснным данным вы шслясм коэффициенты А„: Азз = 24 (2 — — ) = —. 16 1 2160 53,) 53 ' Выбираем три статичсски нсопрсдслимыс основныс системы (1=1, 2, 3). В каждой иэ пих с помощью фокусных отношений строим эпюру моментов от сдиничного значспия псизвсстного М;=1 (рис.
11.8, б — г). Используя полученные эпюры, находим 178 значения опорных моментов М„ь Полученные результаты заносим в табл. 11.2. Для определения ординат линий влияния на консольной части строим эпюру Мн (рис. 1!.8, д). 0 / г з~ 22 — — В В 22 8) ' ! ! / / м г) д) 3 Р=/ 06 Рис. !1.8 Уравнения линий влияния для каждого неизвестного заиисьВ- наем по пролетам, подставляя соответствующие значения 1 и и в формулу (11,13), Для !'=1; л. в; М,= — — '" —" ~~,(и)М„...+7,(ц)Я 1 1-й пРолет (и == 1): л. в, М, =- — !О+ 7', (и)1 =- — 4,8 7", (и); 135 2-й пролет (и = 2): л. в.
М, =-. — ' ~~, (и) — — ), (ц)~ =-. 18 18 2Г 1 135 ~ 4 = — 4,8 7, (и) + 1,2 Га(и); 179 Таблица 1!.2 Оппрзыс чпчсзтч пт Я, = ! № прп.тстз в, М, — ( /в та/ тзз/ ззз/2 2 "'"/зз 0 /вз — 'в/зз вз/ 3-й пролет (и = 3): 24242Г ! ! л, в.
М, = — ' ~ — — /з(и) + — /з(и)~ =— !35 ~ 4 8 = 2,133 ~з (и) — 1,067/а (и). Ордината на конце консоли М,=0,8 (рис. 11.8,д). График линни влияния М, показан на рис. 11.9,а. Для ! =-2: л. н. М, =- — — "" (/з(и)М, на+/а(и)М с~, !8182Г ! 1-й пролет (и = 1); л. в. М, = — — ~0 — — /з (и)~=-1,2/в (и); 135 ~ 4 !8 18.2 Г ! 2-й пролет (и = 2): л. н. М, = — !à — — /з(и) +/з(и)~ = 135 = 1,2/,(и) — 4,8/з(и); 3-й нролет (и == 3): и. н. М, = — ! /,(и) — — Г, (и)~ =- 24 24.2 Г 1 = — 8,533/з (и) + 4,267/а (и). т/ (и) М! из + т/з(~) М вЂ” 0,6/з (и); !8 !8 53 Г 4 в. Мз — — — ' ' ~ — 7,(и)— 2150 ~ 53 Для К = 3: л. в. М, ==— 1-й пролет (и = 1); л. в 2-й пролет (и = 2); л — — / в (и)~ =- — 0,6 /, (и) + 2,4 /а (и); 180 Ордината на конце консоли Ма=0,2, График линии в/нзяния М, показан на рис. ! 1.9, 6. 3-й пролет (п = 3): л.
в. М, = — ' ' ~ — — -7',(и)+гд(и)~ = 24 24 53 ! 15 2!50 ~ 53 = 4,2677,(и) — 14,337д(и). Ордпната на конце консоли Мд=0,!. График линии влияния М, показан на рпс. 11.9, в. Линия влияния изгибающего момента Мд в ссчснпп ад=7,2 24 (ад=0,4) второго пролета строим по формуле л. в. М = л, в. Мед'"'+ (л. в. М,) 0,6+ л. в. М,(0,4), Линия влияния М,',"' показана на рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
