Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так, табл. 12.3 составлена для вычисления упругого груза и!11. Загружснис основной системы единичной группой сил для определения го!11 показано на рис. 12,5, е. Это жс загруженне пригодно для определения ю!г. Приложенная к основной системе единичная группа сил для определения и!г! и ыгг показана на рис. 12.5,ж. Последовательное смещение единичной группы сил для определения прочих грузов аналогично описанному в примере 12.1. Остальные упругие грузы будут: 1б пгг и! о, 1о,г 8Еод У 3 27 нгвг = — пгвг — н!вг = — и!во = 8ЕоГо 1' 3 32 гвго1 ' ~~11 и!61 8ЕоЕо !' 3 5 и! == — и! 11 11,г 8ЕоГо )! 3 22 гггог гг!гв 8ЕоГо )' 3 и!ог = О, !4 †!284 таблица 12.3 — — 1; н. к т1 н 'о Е; Р~ Ео ~о Стержни 1 зо!1 3 з ! 8313 831 3 1 и 1'з — 118 Π— 1 — 318 ! ! ! — 2 лаз 1; 1 ~ 415 13 — 14 8 У'З 2 114 Π— 13 831 з 8 к )Гз г 3УЗ 2 31 з 2 — 1,'4 112 13 — 1 8н)' 3 8 1 — 14 114 112 зо! ~' 3 8 — 114 14 — 2 !1г 1 ! 83 ~'З 3УЗ 5 83! З 5 1о 5 аоп = оапн— 83)' 3 Енто 8ЕоРоУ 3 Поскольку основная система имеет трн пролета, то упругими грузами загружается цепь из трех однопролстных балок (рнс.
12.6,а, в), Положительные упругие грузы направлены вверх, отрицательные — вниз. Эпюры изгибаюн!их моментов от этих грузов (рис. 12.6,б,г) представляют собой узловые эпюры бр~ и бра соответственно. Подстановкой значений ординат бр, и бга в (12.8) и (12.9) получаются ординаты линий влияния У~ и Уа. Величины этих ординат и очертания линий влияния У, и У, показаны на рис. 1 2.6, д, е. Линии влияния продольных сил в стержнях 1б-17, 18-1э и 18-б построены по выражению (12.10).
Величины усилий б',! и Л1та в указанных стержнях приведены на рис. 12.5,г, д. Таким образом, имеем л. в, йг — 1 (л. в. У ) + 1 (л. в. У ) + О, »Ь й Ир» и $ а а и ~ а и~р»»ар и»а Яп Ха, »Ъ»», »»» » ь Ч Рис. 12.6 '»»1= ~,ь»» Г 1 здесь л. в. А<«а.<7<р=О, так как в основной системе стержен< <о< 16-17 разрезан; л.
в. А<«с.<т<р дана на рис. 12.б,ж; л. в. Ауыа <и в — — 1 (л. в. 1',) + О (л. в. У,) + л. в. ~Я „, р, А< р О (л в У ) + (л в У ) ) л в У< ь лби„, „„ б/ (т ос лб Мнив Рис. !2.7 Линии влияния А<<р для рассматриваемых стержней в основной <о> системе показаны на рис.
12.7,а, в. Линии влияния усилий для этих стержней в заданной системс даны на рис. 12.7, б, г. Пример 12.3. В комбинированной системе (рпс. 12.8,а) ", представляюшей собой неразрезную балку (балку жесткости) постоянного поперечного сечения, уси.ченную шарнирной аркой (гибкой аркой), требуется построить следующие линии влияния: 1) продольной силы в стержне Яа, 2) опорного момента на опое Пример 12.3 выполнен доп. канд, техн наук А. М. Смирновым прп <настини и под редакцией автора. ре В; 3) момента в сечении над точкой закрепления стойки гз., 4) ядровых моментов в том же сечении; 5) поперечной силы в том же сечении.
Материал балки жесткости и элементов надстройки один и тот же. Площади сечения стержней цепи Ра,~= =0,2 Ра,.„, где Ради площадь сечения балки жесткости. Площади сечения подвесок Е„з,=0,!ге,л, Момент инерции попереч- к, х, гу к, х/ 114 Рис. 12.8 ного сечения балки принят численно равным площади этого сечения: Уз,л = 1' геял, Расстояния верхней и нижней точек ядра до центра тяжести сечения: г, = г„= 0,3 м.
Арка присоединена к балке без эксцснтрицитета. Решение 1. Выбор основной системы. Заданная система симметрична. Поэтому и основная система выбирается симметричной. Это значительно упрощает весь дальнейший расчет. За лишнюю связь принимается стержень 5з, расположенный па оси симметрии системы. Неизвестное усилие в этом стержне обозначено че- 205 рез Х!. Принятая основная система изображена на рпс. 12.8,о. Она получена путем разреза стержня Ям Эта основная система дважды статически неопрсдслнма. Прн этом предполагается, что расчет неразрезной балки уже произведен. Внешняя нагрузка, сила Р=1, движется по неразрезной балке. Уравнение линни влияния основного неизвестного имеет вид б!э! В<,' !Р /'! Х,= — — =— В(!! б(з! !! !1 (! 2. 15) (12.16) Перемещение, вызванное продольными деформациями стержней, определяется по формуле (12.2).
Сумма в (12.2) содержит все стержни надстройки и балку жесткости на участке ВС. На участках же АВ и Сь) этой балки продольных сил нет. Вычисление перемещения б!!~ (М) показано в табл. 12.4. Длины стержней определяются по основным заданным размерам системы и в табл. 12.4 они даны в метрах. Плошади сечения стержней указаны в условии примера.
Согласно тому же условию модуль упругости материала: Е!=Е. Продольные силы в стержнях шарнирной арки 5!, 5з и в подвесках )г!, )гз определены по известным правилам расчета статически определимых ферм, например методом вырезания узлов. При этом нетрудно убедиться, что усилия в любом элементе арочного пояса выразятся (рис.
12.8, в): Индекс (2) в обозначениях перемещений означает, что этп перемещения определяются в основной системс, которая дпажды статически нсопрсдслима. <з! ьи Замена б!рна бг! производится па основании тсорспы о взаимности перемещений. Геометрический смысл перс~!сн!сни!! Ь и — это взаимное смещснис концов разрезанного стержня по (з! направлению сил Х! от действия на основную систему сил Х; =-1 Перемещения б~э! — это ординаты изогнутой оси псразрсзпон <э! балки от действия на основную систему сил Х; = 1.
Если построить эпюру вертикальных перемещений бг! и каж!т! !з! дую ординату разделить на постоянную величину бп , то согласно (12.5) получится линия влияния усилия Хь 2. Определение единичного перемещения 6!! . Персмс!пенис ('4 йй в основной системс является результатом продольных деформаций стержней надстройки и балки жесткости и деформаций изгиба этой балки: б<-;! =б<з!(Л)+б!з>(М). В!= ' (!=1,2,3,...). соз а! (12.17) Таблица 12.4 — б ип !, 1,. Е,. Г; в и/ве Наннене.
ванне еееямней ь'рй Г.в ма е Ьвм ! ьи П!Г в м/ае 109 46,1 ЕГбал 33,5 Еп бал 15,0 ЕГблл 70,0 ЕГбал 100 ЕГба. 15,0 ЕГ ал л-!,54 2,3? 0,2 Гнал 5а, 9,22 Е! бал 41,9 4.1,12 1,25 0,2 Гнал 6,70 ЕГбвл 15,0 6 — = 3,00 2 -~-1,00 1,00 0,2 Г;„„л ЕГбал 30,9 7,00 !О,оо — 0,666 0.442 1 Гнал ЕГ ал — 0,500 0,25 0,1 Гб„л ЕГбал 15,0 ! — 30,00 = 2 = 15,00 — 1,00 1,00 лес ЕГбал 1 ., хн 236 6 — Ь!",'(М) = е = ' (м/ен) 2 " Е Грал (м 'т). ГГбал Ь",-,> (Ь!) 207 Усилия в подвесках (рис. 12.8ег): )7, = Х, (1п а,„, — 1п а,.
), (12.18) где а,— угол наклона рассматриваемого р-го стержня арочного пояса к горизонту. Продольная сила на участке балки ВС, т. е. в стержне 5вс, равна горизонтальной проекции усилия в стержне 5, с обратным знаком, т. е. равна — Х,, в чем легко убедиться, проведя разрез заданной системы (арки и балки) через элемент 5а и спроектировав на горизонтальную ось все силы, действующие на отсеченную часть. Из выражений (12.17) и (12.18) следует, что линии влияния продольных сил в элементах арки и подвесках будут подобны линии влияния Х! и будут определяться этими выражениями.
Основная система и действующая на нее единичная нагрузка симметричны. Поэтому в табл. 12.4 учтена только половина системы. Для получения полного значения перемещения Ьаг!ч (й() сумма из табл. 12.4 удваивается. Перемещение ба!~!1(М) вызвано изгибом неразрезной балки. Для его определения строится эпюра изгибающих моментов в неразрезной балке от воздействия ния перемещений в статически неопределимых системах, согласно которому одна из перемножаемых эпюр может быть взята в системе статически определимой.
С этой целью приложена сила Х,=1 к статически определимой системе, состоящей из надстройки с разрезом по стержню Ез и из разрезных шарнирно опертых балок. Соответствующая система (без надстройки) дана на рис. 12.9, в. Применив формулу (12.19) и учитывая, что по условию Убит=!' Гб,л, ПОСЛЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ НайдЕМ: 6",-,'з (М) =-,и г. 578 ЕГбзл Окончательно полное пеРемещение 65, Увеличенное в ЕГба, (н раз, получается следующим: ЕГ „6,'";> = ЕГ„„6<-',з ()т') —,'- ЕГ „61 > (М) = 473,6 + 578 =- 1052 ж.
3. Вычисление перемещений 6) ( и ординат линии влияния Хь Перемещения би1 — это ординаты изогнутой осн нерззрез- 1'4 ной балки, показанной па рис. 12.9,а, от действия на основную систему сил Х,=1. Вычисление этих ординат производим по уравнению метода начальных параметров для изогнутой оси балки ': ЕУбал Уа = ЕУб*л Уо + Е"!бал сРа З ~ (З в1) ! — ~,— '(г — Ь,)' — )~~ ~' 1(г — с,)' — (г — с1,)а).
(12.20) 6 24 В этой формуле у, и сро — прогиб и угол поворота сечения в начале координат; М» Р; п с); — моменты, сосредоточснпыс силы н интенсивности равномерно распределенных нагрузок; а„ Ь, — расстояния от начала координат до сечений, где приложены Мь РН с; — расстояние от начала координат до начала !чистка с интенсивностью д;; б(; — расстояние от начала координат до конца э~ого участка; г — переменная абсцисса сечения. Положительными считаются прогиб вниз и поворот сечения по часовой стрелке; момент — при растяжении нижнего волокна; нагрузки Р и с) — если опн направлены вверх.
Начало координат принимается в точке А. Угол поворота сечения в начале координат определяется из условия, что прогиб на опоре В равен нулю. В данном случае получается сро.— —— !0,75 —, а прогиб на опоре А: у,=0. Е ~бал ' Если асра. рсзиая балка бглет псрсмсииого ссисиии с плаьиым изтиисиисм момента инерции, то зпюра бр~ приближенно может быть построспа из ! пругим грузам !скь ниже, пример!2.4ц Тсперь по формуле (12.20) можно вычислить величины б)а)) в любом сечении неразрсзной балки. Например, прогиб в сечении 4 прн г=(8 си определяется пз следующего выражения: формуле — постоянная величина, вычисленная выше, Ьг)) = 1052 Ей бал Ввиду симметрии сооружения ордпнаты определяются только для одной его половины.
Прп вычислении ординат линии влияния усилия Х) учаено, что кссткость балки согласно заданию выражается через площадь се сечения: ЕУбал (1 .4() ЕЕбал. Таблица 12.5 Гя сс ~сини (ЗЗ,О ЗЗ(,О .и )и -; л)7)л Еабал Елбал 36,2 47,6 — л)7)л~ — , — л)7)и Езбал Е7 бал 5,, (а) — 0,174 — 0,314 Орлииаты лиш)и али лица Ха 40,0453 +0,0363 на б), ординаты линии влияния Х, бу(а) ния влияния усилия Х) изображена на (и В итоге деления ба) дуг безразмерпыми. Лн рис.
12.10, а. 4. Построение линии нии 5 балки жесткости. в произвольном сечении влияния изгибающего момента в сече- Линия влияния изгибающего момента г неразрезной балки в заданной систе- 210 Е,/бал да = — 10,75. 18 — ' ' 184 — ' (18 — 12)а =. 183.на. б 6 163 Таким образом, р,= (м!г), Указанная размерность 04 Еабал и вообще размерность псремсщсппй б) ), как и размерность псы) ремещения б)), связана с тем, что сила Х,=) безразмерна. По(л) этому силы У„и силы, действующие на нсразрезпую балку, данную на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
