Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 30
Текст из файла (страница 30)
в. М„"иг = (у — с) (л. в. Х,) — ' + г, (л. в. Хе) + + (л л."в. М"'и = ( у, +(л с;с:а' е,, о чс Х) ь(л н Мс). — е)(л.н.Х)+г (л. и. Х) + и. Х ) + (л, н Мл), М'~ =- — Р(г — г ) при О < гр.с, гл,' Ми = — 'Р(г, — г) при О с г, .'г,. При расположении груза правее сечения й М" =ОпМс=О. Гг, и 239 а '». - Ь сс с». с,с О с» ,»с» э~.ь. »» с с»' .с.» с с с» с, с» О » с5«» с» ' с». Рпс !3 !б й Р А Я р) с» » с» с» с» с» б 1 2 3 4 $ Ю 7 Рис. !3. !7 240 В настоящем примере а 0,93447 е = — — = '::= 0,15574 и. 6 6 Линии влияния ядровых моментов даны на рпс. !3.!8.
При а=5 линии влияния имеют разрывы, причем оочкн пересечения левой и правой ветвей находятся на вертикали, проходящей через соответствующую ядровую точку (г, нли Фь После загружения линий влияния нормальныс напряжения могут быть определены по формулам: Моор а = — '(для точки 1); (т' )нооо о:.—. — ' (для тОчки 2). Здесь сжатие принимается со знаком плюс. Задача !3.4. Лана схема двухшарнирной арки !3.19,а). Ось арки очерчена по квадратной параболе 4/ о( = (о (рпс (!3 37) Закон изл~снсния моментов инерции: l = l, ' (l, — l„) г~. ()3.38) Отношения моментов инерции к площадял1 поперечных сечений оо оо обозначим: й= —; (оо= — '; 2о= — ", Полагаем (о (йо йо) з . (13. 39) Величины ко и 77, считаем заданными.
Полагаем /го — — 0,2 м', /г„== О,! и'. Требуется построить линию влияния распора. Указания 24) Основную систему можно получить путем устранения горизонтальной опорной связи в левой или правой опорах. Упругис грузы находятся по формулам (!3.27) и (!3.32). Эпюра 6ьч строится с помощью фиктивной балки пролетом ! с шарнирными опорами по концам.
6И находится по формуле (13.29), а Х1 — по (13.33) . Ответ дан на рис. 13.19, б. а) с'» с» л»» с л а а с»» сс» с»» с» с» Ос с сс» а сс»»л а с с с„ и»»с с»а а Ф с „,с».са». -с»с», Рис 13 18 ~ — г» , -а-а а Риа 13.19 Глава 14 РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЪ|Х СИСТЕМ ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ По методу перемещений за неизвсстпыс хь принимаются независимые линейные (поступательныс) и угловые перемещения узлов й заданной системы.
Основная система получается введением моментных и силовых связей, устраняющих угловые и поступательные упругие перемещения узлов, и представляет собой систему статически неопределимых балок с обоими защемленными нлн с одним защемленным, а другим шарнирно опертым копцамп. Канонические уравнения имеют впд: гч7.,+г„2,+г„2> '- Р.,„- 0; (14.1) Здесь гь — реакция связи я от перемещения 2„,=1; й>ьр — то же, от нагрузки (или от температуры и осадки опор). Реакции связей, если пренебрегать деформациями от >Ч и Я, определяются при помощи эпюр нагибаю~них моментов Мь и Мс основной системы из равновесия вырезанных узлов и стержней, на которые были наложены связи. Эпюры Мь и Мн системы состоят из зпюр изгибающих моментов статически неопределимых балок, входящих в основную систему.
Эпюры моментов от единичных перемещений и от некоторых нагрузок для балок с постоянной погонной жесткостью Е3 1 = — приведены на рис. 14.1 и 14.2. При расчете по методу перемещений на подвижную нагрузку необходимо предварительно знать линии влияния момснтных и силовых реакций опор статически неопределимых балок основной системы. Их ординаты определяются по следующим формчг лам в зависимости от безразмерной координаты и= — расположения груза Р=! в пролете (рис. 14.3): 1) защемлены оба конца а и Ь: г, = — 11ь(и); гь= 1)ь(и); 1г, =- ~р,(и); )гь = 1 — ~р,(и); (14.2) 2) защемлен правый конец Ь, левый а — шарнирныи: г, = О; гь = 1~ь (и); 1г„= ~Р (и); ) ь = 1 — <Рь (и); (14.3) 243 Таблич» 141 1 1 1 в! ! я Ъ 1 «!с ь 1 1 1 к 1 а и 3) защемлен левый конец а, правый Ь вЂ” шарнирный: г, = — !74(и); г» = О; )г, = фз(и); !7» = 1 — ф»(и).
(14.4) Значения функций ! и ф приведены в табл. 14.1. Ординаты линий влияния неизвестных Л» вычисляются по формулам: г, = ()„г„+ Р»зг„+ + Р»„г„, (14.5) или Я» = — р»,бр! — Ц»»бр, — — р»„бр,г (1 .6) Здесь р» — коэффициенты влияния, определяемые решением системы канонических уравнений (14.1), в которой принято )4»р=1, а все остальные грузовые члены !т~р=О (см. главу 10); г р — единичные грузовые реакции связей й; они возникают при движении груза Р=1 в пролетах и вычисляются по формулам (14.2), (14.3) или (14.4); Ьр — — — г»р — ординаты эпюры прогибов от действия единичных неизвестных перемещений Е»=1 в основной системе.
Через неизвестные Е выражаются линии влияния внутренних сил. Например, для сечения С (рис. 14.3): л. в. М = л. в. М' + (л. в. Я,)М , + (л. в. 2 ) М + + + (л. в. Е„) М „; (14.7) 245 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0.0810 0,1280 0,1470 0,1440 0,1250 0,0960 0,0630 0,0320 0,0090 0 0 0,0090 0,0320 0,0630 0,0960 0,1250 0,1440 0,1470 0,1280 0,0810 0 1,0000 0,9720 0,8960 0,7840 0,6480 0,5000 0,3520 0,2160 0,1040 0,0280 0 0 0,0495 0„0960 0,1365 0,1680 0,1875 0,1920 0,1785 0,1440 0,0855 0 1,0000 0,8505 0,7040 0,5635 0,3920 0,3125 0,2080 О,!215 0,0560 0,0!45 0 0 0,0855 0,1440 0,1785 О,!920 0,1875 0,1680 О,!365 0,0960 0,0495 0 1, 0000 0,9855 0,9440 0,8785 0,7920 0,6875 0,6080 0,4365 0,2960 О,!495 0 л.
в. Яс=-л. в. ф+ (л. в. 2,) ()с, + (л. гп 2,) Ясз+ + +( ..г)о,„. Здесь М и сь — о динаты взятые пз единичных э (14.7) Сс СС' Р пюр Мх н 1;!ь в сечении С; л. в. М". и л. в, ф — линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в сеченпн С основной системы, т. е. в той статически неопределимой балке, в которой находится сечение С. Рис. !4.4 В зависимости от расположения груза Р=! (рис.!4.3) их ордипаты вычисляются по формулам: груз справа от сечения С: Л4"=-г +)г а; 9' =)l; с ~ а ' с а' груз слева от ссчсппя С: Мсс =- г„+ )г„а — ! (а — и!); 9,'. — )г„— 1.
Л1ожно их вычислять также по формулам: Г +Г, 6, -,'.Л )а с 4 Р ' И ~зс > + Р ' Р~ с с ! ' с ! в пролете (! 4.8) (14.9) Здесь М"' и Ясс""" — ордннаты линий влияния изгибающего момента и поперечной силы в сечении С простой балки с шарнирными опорами (статически определимой). Пример 14.1. Определить степень кинематнческой неопрсделимости рамы (рис. 14.4,а) и выбрать основную систему по методу перемещений. Решение Степень неопределимости по методу перемещений равна числу независимых угловых и поступательных перемещений узлов рамы.
Число угловых перемещений равно числу жестких (не 24б шарнирных) узлов, за исключением опорных, так как последние не имеют упругой подвижности. В нашем примере жесткими являются узлы 2, 4 и 5, т. е, три узла. Число независимых поступательных перемещений определяется числом дополнительных связей, которые нужно поставить, чтобы сделать неизменяемой систему, полученную введением шарниров во все узлы, в том числе и опорные.
После введения шарниров во все узлы рамы (рис. 14.4,6) надо поставить три Рис, !45 такие связи, например, две а узле ! (опи показаны двойными линиями) и одну в узле 5 (в виде дополнительного стержня, изображенного пунктиром на рис. !4.4,6, плп в впдс горизонтальной опоры, изображенной па рис. !4.4,в) Рис. !46 Таким образом, степень кинематической пеопределимости будет и=3+3=6. Основная система показана на рис. 14.4, в. За неизвестные Ль Ез и Ез приняты угловые перемещения чзлов 2, 5 и 4; неизвестными Я4 и 24 являются упругие горизонтальные перемещения узлов ! и 5, а неизвестное Лз является упругим вертикальным перемещением узла !.
Поступательные перемещения узлов 2, 3 и 4 зависят от перемещений узлов 1 и 5. Задача 14.2. Выбрать основную систему по методу перемещений для рам, изображенных на рис. !4.5. Ответ: См. рис. 14.б. Пример 14.3. Построить по методу перемещений эпюру изгибающих моментов в раме (рис. 14.7,а) от заданной нагрузки.
247 е) Рис. 14.7 Решение По методу перемещений рама один раз кинематически неопределима: у нее только один жесткий узел, способный независимо поворачиваться (узел !), и нет поступательных перемещений. Накладываем на узел 1 моментную связь, удерживающую его от поворота, и получаем основную систему из трех статически неопределимых балок (рис. 14.7,б). Искомым неизвестным является угол поворота Я, узла 1. Каноническое уравнение имеет вид: гн 7! + й~р:: О. Для нахождения реакций Р!и и гн сначала определяем коэффициенты жесткости 1» каждой балки.
Принимаем 14=4м=! и Е/з Е7 !з =- !и 1 Тогда Е7с Е 67 Е/~ Е 3/ = — = — = 31; г, = — ' =- — ' == 2!. с 2! ' 1~ 3 — ! 2 Затем при помощи рис. !4.1 и 14.2 строим эпюры изгибающих моментов в основной системе: М~р — от нагрузки и М~ — от 248 единичного угла поворота 2~ =1 (рпс. 14.7,в, г), учитывая, что у балок 1-2 и 1-3 защемлены оба конца, а у балки 1-1 зашемлсп только левый конец, правый конец — шарнирный. Из услов.ш равновесия узла 1 (рис. 14.7, д и е) находим реакции: Л,р — — 3 — ".,2 — — 4,2 т м; гп =- (8 + 9 + 4) ( = 21 ~'. Подставляя их в каноническое уравнение, получаем: м~р 42 2 гп 211 1О! Окончательную эпюру изгибающих моментов М„(рис.
14.7,з) рамы получаем сложением эпюры М,7, (рис. 14.7,ж) с грузовой эпюрой М": м =м,г,+м". Пример !4.4. Построить эпюру изгибающих моментов дп) хпролетной рамы от горизонтальной силы Р=63 т (рис 14.8,а) Решение Неизвестными являются угол поворота 2~ узла 1 и поступательное перемещение 74 ригеля по горизонтали. Основную систему получаем наложением момснтной связи на узел 1 и силовой связи, например на опору В (рис.
14.8,б). Канонические уравнения имеют вид: Я + г м Я + Я р О гх~ 2~ + г~,~ 7 + )7, р О Е.1 Еу Лля коэффициентов жесткости принимаем й 4 Е27 .. Ебг =Е Соответственно 12= — — 21; (з= ' =41 Опн показаны 4 ' б па рис. 14.8,а. При помощи рис. 14.2 и 14.1 вычисляем крайние ордипаты эпюр изгибающих моментов: от нагрузки (полагая узел С левым, а узел 1 правым концом балки, изображенной на рис. 14.2, в): М,",, = — 63 6 ( — ) — = — — 56 г. м; от 2~ =1 (по рис.
14.1,а): М,, д — — 41, = 41; М, д, — — 21, = 21; М,, „== 31, = 61; М, „, =- О; 249 Р) ?4 ам Я ам га ~„ мг 1 !92тм м,', )р тМ~ Я р Х Рис. !4.8 Лля нахождения реакций силовой связи вырезаем ригель АВ в единичном (Мз) н грузовом (М'р) состояниях (рис. !4.8,д). Горизонтальные поперечные силы действуют на ригель только в узле 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
