Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В единичном состоянии поперечную силу в узле 1 находим при помощи зпюры Мр. 250 М с = 4'з = 161; М~ с~ = 21з = 81: от Уз= 1 (по рис. 14.1, а): Ез По этим ординатам построены зпюры Мор, М и Мз (рис. 14.8, б — г). Вырезав узел 1 в единичных и грузовом состояниях (рис.
!4.8,д), определяем реакции моментной связи из условия равновесия узла: гп — — (16+ 4+ 6)( = 261; гм — — г, = — 41; й,р — — 66 г м. — 1М, 5)г,г с г)г Мг,ю 4-;4. 4 — г 12 4г — — 7. з 5) д) 7- 7а-7 е) ги) 7,55 Рис. 14.9 В грузовом состоянии поперечную силу в узле ! вычисляем но формуле (рис.
14.2,в), полагая узел 1 на правом конце и и)=из)з=4 57: ! 4 ~а( 41 140 ЯР = Риз (3 — 2и,) = 631 — ) ) 3 — 2 — ) = — т. и з Она направлена вправо. Из равновесия ригеля АВ (рис. 14.7!. д) получаем: 251 или по формуле (рис. 14.1, в) 127г !.7 Она направлена влево. Зм 1 — Взг !2м В) 7 2,-7 7 5 л -х — ). в 5,755 7,7в5 ига 7,7В5 4 ~7- цг~ — — а— Р75 7,755 агга 4 . !40 — Р., = — — т 3'-'3 Составляем канонические уравнения с числовыми коэффициентами: 26 !Л, — 4!Л, .+ 56 = О; — 412 + — Ы вЂ” — = О.
4 . !40 3 ' 3 Их решение дает б 33 ! Умножая ординаты эпюры М~ на 2ь Мз па Лх и суммируя результаты с эпюрой Мер, получаем окончатсльную эпюру изгибающих моментов рамы (рис. 14.8,е). Замечаем, что множитель Е1 ! = — т ° л! сокращается, поэтому его сразу можно принять рав! ным единице, но помнить размерность при вычислениях. Пример !4.5.
Произвести статический расчет рамы методом перемещения. Схема рамы, ее размеры, нагрузка и коэффиЕ1 циенты жесткости 1= — (в кружках) показаны на рис. 14.9,а ! Решение Основная система изображена на рис. 14.9,б. За неизвестные приняты 7~ и 2э — углы поворота узлов 1 и 2; 7з и 7» — горизонтальные смещения ригелей 1-3 и 2-4. Эпюры изгибающих моментов в основной системс от нагрузки (Мэе) и от единичных неизвестных (Мь Мм Мз и М4) даны на рис.
14.9. По этим эпюрам находим коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений. Из равновесия узлов 1 и 2 при раздельном действии каждого из единичных неизвестных и нагрузки получаем моментные реакции. г„=- 12+ 6 = !8; г„= г„= О; г„= г„= — 3; г„=г,=О; Р, =120; гм = 12+ 9+ ! 2 — ЗЗ; гэа —— -- гм =- — 3; 9 3 г. = г, =-3 — — =- — —; Р,, =- — 80. э = я Из равновесия вырезанных ригелсй 1-:1 (сечение 1 -! на рнс 14.9,д) и 2-4 (сечения 2 — 2 на рис. !4.9. е) получаем силовые реакции.
3+3 3 3 г зз— + — =2; г =г = — — = — 1; 6 3 ' 3 — м — м= Р = — — = — 84; ЗР 3 9+9 3 19 Йы= — + + — = —; й .=О. 3 24 2 4 Канонические уравнения с числовыми коэффициентами имеют вид. 18 2, — 32 + 129 = — 0; ЗЗг,— Зг,— -'-2, — 84 —.— О; — Зг, - 32, + 22, -2, - 86 = О, — — '2,-2,+ — "Я, = О.
г Решая нх и подставляя значение д=-049 г)м, находим: Лг = , 'г.х = —,' вз = 3,51; 24 .— — 0,89. б 6 Окончательную эпюру изгибающих моме1мов рамы строим по ордппатам на концах стержней. Ординаты вычислены по формуле М =М" +М,2,+Май. + ..+ Л4„2„. Например, на концах стержня А-!: Мло — — 12 0,49 — 6 — ' + 3 3,51 =- 14,86 г м; 6 М,„= 12 0,49+ 12 — ' — 3 3,51 = — — 1,55 г м. 1,55 б На этих концах ординаты эпюр Мз и М, равны пулю. На концах стержней узла 2: М„= 9 — ' — 3 3,51+ 3 0,89 = — 3,555 г м; 6 Л4,4 = 8 0,49 — 12 ' =- — 1,82 г.м; И,„= 12 — ' — — 0,89 = 1,735 г м и г. д.
2,87 9 б 2 По найденным ординатам построена эпюра М, (рис. !4.9,ж) Ее правильность проверяем из условий равновесия вырезанных узлов н ригелей. Например, па узел 2 действуют моменты (рис. ! 4.9, э) М,, — М ~ М'в = 3,555 — 1,82 — 1,735 =- О. 253 На ригель 1-З действуют Р !4,36 + 1,55 силы — — 1,185 + 0,15 — 1,388 =- О, 2 Пример 14.6. Дана двухпролетная рама.
Размеры рамы и коэффициенты жесткости элементов показаны на рис. 14.10,и 14=4 г) Рис. 14!О Вычислить коэффициенты влияния, построить линии влияния не- известных, а также линии влияния изгибающего момента и по- перечной силы в сечении С посередине левого пролета, пользуясь методом перемещений. Решение Рама дважды кинематически неопределима.
За неизвестные принимаем угол поворота узла 2! и горизонтальное смешение ригеля Ям Строим эпюры моментов М! и Мз от единичных неизвестных основной системы (рис. 14.10,б, в). Канонические уравнения метода перемещений имеют вид: 2 + г 2 + г р 0 !'э! Е! + гм 2х + гер = О. Вычисляем коэффициенты при неизвестных. Из равновесия узла по эпюре М, имеем г„=12+6+4=22; по эпюре Мх нахо- 1 дим г„=г„ = — 1; из равновесия ригеля получаем гм= — . 3 Для контроля строим суммарную единичную эпюру М, (рис. 14.10, г) и, учитывая, что ЕУ4= 1!,1д, вычисляем: 254 2 б На ригель 2-4 действуют 3,555 1,?35 — 1,135 3 4 поперечные силы 3,553 — 5,92 — 2,735 — 1,!86 .= О.
3 2 (6' — , '12' — 6 ! 2)— б 3!г !г — 3 1) = — 20 — —. 3' 3 21г ' б!з Эта сул>л>а должна равняться сумме коэффициентов прп пеиз- 1 1 вестных Хгл, =22 — ! — ! + — =20 —, что свидетельствует о 3 3' правильности их вычисления. Для нахождения чисел влияния ()~! принимаем в канонических уравнениях г!р=!, а все остальные грузовые члены гю,=О Тогда г:!=(>и и Ег=(!г!, и канонические уравнения с учетом числовых значений коэффициентов ггн примут вид: 22 р>! — 1 рг, + ! =- 0; ! — ! ~„+ — ()э!+ О = О.
3 Решая их, например, при помощи определителей, находим ! — 1 1 3 ! о 3 19 19 ' 3 22 — ! ! — 1 3 — о ()г> =— 19 3 ! !9 Для контроля полученные числа влияния подставляем а канонические уравнения: 22( — — ) — 1( — — )+ 1 = 0; — 1( — — )+ — ( — — ) = О При этом ()г!=(>!г уже вычислено. и убеждаемся в правильности их вычисления. Аналогично можно найти ()гг и р!г, приняв г,р=! и г р=О Но в нашем примере это делать не нужно, так как входящая в уравнения (!4.5) силовая реакция ггр при вертикальной нагрузке равна нулю и неизвестные здесь выражаются только через. моментную реакцию г,р.
Я>=Рпг>р; гг=()г>г>р. Составляем уравнения ординат линий влияния неизвестных в 7 функции от безразмерной координаты и = †, определяюшеп положение груза Р=1 в пролете. Груз в нервов! пролете Так как этот пролет является балкой с защемленными концами, то для грузовой реакции г!р=гв пользуемся формулой (!4.2) и получаем уравнения линий влия!'шя неизвестных !2 36 2т .— ()тт !т(в(и) = — тв(и); 24 '=- ()в!(т!вв(и) "14(и). !9 !9 ! Руз во втором пролете.
В этом пролете левая опора зашемленная, правая — шарнирная, поэтому для грузовой реакции г,„=г, нужно воспользоваться формулой (!4.4) и тогда уравнения для неизвестных будут !О 30 2т = — ()тт !в)в(п) = —,~ Рв (и); ~т - — Рвт (в)в(н) — -,— Рв(™) Значения функций !4(и) и !4(п) берем из табл. 14.1 и вычис.!яем ординаты линий влияния псизвестных для выбранных се!сний в пролетах. Порядок вычисления ясен из табл. 14.2. Таблица !12 г !я,, ив а,! ив ~ ад ) и т ,) (в(и)=(! — и) ив О, 009 0,063 ~ 0,12 О,!47 0,08! 12 иро- Ет= — — )еи) лете — О, 0057 — 0,0398 — 0,017 — 0,119 36 хв= — !4(и! 19 — 0,278 — 0,153 — 0,237 и / гв(и)= — (! — и)(2 — и) 0,0855 2 Ьо 0,1785 О,!875 О,!365 0,0495 2-и хт =- — )ври) и!'о ! 19 лете 0,0940 ~ 0,0987 0,07!8 0,0260 0,0450 г, ),(и) ( 0,135 0,284 0,296 !9 0,2!5 0,078 ! Груз на консоли.
Линия влияния нснзвсстного на участке консоли изображается прямой, касательной в опорном сечении (началс консоли) к его лпнпп влияния на участке пролета перед консолью. Угол наклона касательной определяется как производная от неизвестного на участке пролета, взятая в сечении на опоре. На конце консоли длиной 1» ордината линии влияния неизвестного равна: 7Ы,~ Е»» = 1» ~ — ) при г = 1». ~ аг) Пользуясь этой формулой, получаем: г — — ! Р 1 — 1Р 1 ' (1 и)Х гл1, (и)! а ги иг "прн г=п Ии ( 2 2 Ии ( 1 ! .
! ! Х(2 — и)! — = — 1»р 1 ~ — — ) '4 —.— = — 0,105; 2! ! !9 2 2»» = — 1» р»» 1» ~ ~ = — 4 — ° — = — 0,3!6. ГФ»(и)! 3 1 ас при г=и !9 2 ЛВ В) ВВ»г ь с~;сг~~ ЛВ ас Рис, !4.!! По найденным ординатам построена линия влияния неизвестного Е! (рис, 14.11,а). Линия влияния неизвестного Я, имеет такой же вид с другими значениями ординат (табл. 14.2). Теперь переходим к построению линий влияния внутренних сил по формулам (14.7).
Для линии влияния изгибающего момента сначала составляем уравнение л. в. Мсс только для первого пролета, в котором находится сечение С, пользуясь формулами (14.8) и (!4.2) как для балки с обоими защемленными концами: при грузе слева от сечения С л. в. Мсс = — 1 1» (и) + а~р» (и) — 1 (а — и1») = = — 121» (и) + б~р» (и) — (6 — 12 и); !7 †!284 при грузе справа от сечения С л в Мс = — 12),(и)+бгг,(и). Вычисление ординат выполняем в табл.
14.3. За~ем нз единичных эпюр М~ и М, берем в сечении С ординаты Мс~ — — — 3 и я Исг=О и выписываем в табл. 143 значения — 3 (Л,), Складыная ч с л. в, Мс, получаем ординаты л. в. Мс (табл. 14.3). Аналогично по формуле (14.7) с учетом значений (14.8) н (14.2) составляем уравнение ординат линии влияния поперечной силы в сечении С: з прн грузс слева л. в, 1;! = <р (и) — 1 — — (л. в. 2,); с 2 3 при грузе справа л. в. () =- <р, (и) — — (л. в. 2,).
— л1Н вЂ” 12 — 6 3 Здесь (1с, определено по эпюре М, как — = Ж 12 2 а Яс,=О. По найденным ординатам (табл. 14.3) построены линни влияния Мс и Яс (рис. 14.11, б, в). Пример 14.7. Произвести статический расчет рамы, изображенной на рис. 14.12,а, на подвижную нагрузку методом перемещений с построением линий влияния неизвестных и внутренних сил в сечении С.
Решение Основная система изображена на рис. 14.12,б; неизвестнымн прпнягы угловые перемешения узлов Е, и Л, и нх горизонтальное смешение 2м Учитывая погонные жесткости (показаны в кружках) и пользуясь эпюрамн рнс. 14.1, стропы единичные эпюры М„Ме и Мз (рис. 14.12,в — д). По этим эпюрам определяем единичные реакции (коэффициенты при неизвестных канонических уравнениях). Из равновесия узла 7 в состояниях Мь Мз и Мз находим г„=5+3+2=10; г„=ты=25; г~з=гм= — 1,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
