Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(13. 21) Закон изменения моментов инерции задан формулой ~ — ~о+ (')и '~0) ~ Требуется в сечении с абсциссой ах построить линии влияния М, У, Я, а также линии влияния ядровых моментов. (13.22) О-О 1; 3 Ряс. !3 7 П р и м е ч а н и е. Приведенный ниже метод решения годится для любой формы оси арки и для любого закона изменения моментов инерции. Решение Коэффициент й для уравнения оси находим по одной пз формул; й = — !и (пг + ~/пР— 1 ) (13.23) А или Результаты даны в табл. 13.1.
й = — Агсй т. 1 (13.24) А В формуле (13.23) можно брать как знак плюс, так и минус. Вследствие симметрии гиперболического косинуса оба варианта в конечном итоге приводят к одному результату. При гп=35 по формулам (!3.23) или (!3.24) находим й= =0,19248. По формуле (!3.2!) вычисляем отдельные ордииаты точек оси. Полуарку разбиваем на 10 частей. Высоты поперечных сечений определяем по формуле — ~У ','. Таблица 13.1 ввм увм О,60000 О,ВО!58 4,00000 Вычисляем положение упругого центра, Основная система изображена на рис.
13.8. ! — тв — ! Рис. 13.8 Общая формула для вычисления упругого центра имеет вид: Я с= !! 3.281 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 0,00000 О, 02973 0,12002 0,27424 0,49811 0,79995 1,19088 1,68560 2,30250 3,06448 0,042667 0,042920 0,044947 О,049000 О,О55080 0,063!86 0,073319 0,085479 0,099665 0,115878 0,134117 0,144000 0,81401 0,83773 0,87108 0,91187 0,95826 1,00858 1,06147 1,11616 1,!7188 1,20000 Приближенно ее можно заменить следующей и Е д(.в"' (ь О с= Л (и 1 (с я (13.
26) Здесь у( — ордината ~очки оси на границе участков; (з> и() -- упругий груз для точки на границе участков от ЛЗ-- п — тюле участков. а ( рнс, (зя (((3) а5 2Ет( 2ЕУ(, ( Результаты вычислений упругих грузов даны в табл. 13.2. 2З( Мы рассматриваем только одну (разую полуарку. Кривую ось заменяем ломаной с и участками (рнс. 13.9). Граничные точки участков совпадают с осью.
11омер участка совпадает с номером правой граничной точки. !!роскцпн длин всех участков на ось г приняты равными. Общая формула для вычисления упругих грузов без учета продольных и поперечных сил имеет вид: и(!го = — — ' (2М,'" + М,' '() — " ' (2М' '+ М(2() . (13.27) БЕЗ( 6Е2., ( Здесь Š— модуль упругости; Лз,.— длина участка (; l,— момент инерции среднего сечения (хго участка; М; — изгибающий момент в точке ( от ((,=1. (Ф) Изгибающие моменты от Хз=! для всех точек одинаковы и равны !. Поэтому формула (13.27) упрощается: Тзблиав !32 , з!с , !з! вв.вм ! 0 0,0000 ! 1,0004 о,ооо Е 'эу!3! = — !61 97 вм ' у вр(з! = — !46,03 Находим суммы: !в !\ Е ~м цз!з! 161 97 Е ~ у! и!!з! 146 03 !4 а з=а Наконец, получаем положение упругого центра с= ' =090159м. 146,03 !61,97 Расчет с применением упругого центра позволяет общую систему канонических уравнений свести к системе бпЛз+Л„=0; б,,Хз+ Лз =в 0; бзз Лз Лзр 13.28) где .т.
в. Л,р †-- эи. бр!, л. н. Лвр -- эп. бр„ л. н. Лзр — — эп, б Будем строить эпюру бр, на горизонтальном базисе и рассматривать ее как фиктивную эпюру изгибающих моментов в фиктивной балке от упругих грузов пз!и. Рассматриваем только правую полуарку. На левой стороне эпюру строим по симметрии. Определяем изгибающие моменты в основной системе от Х!=1: М';и = у — с = у — 0,90159. Далее по формуле (13.27) находим упругие грузы (табл. 13.3). 2З2 2 1,0041 3 1,0!18 4 1,0247 5 1,0446 б 1,0737 7 1,!156 8 1,1750 9 1,2572 1О 1,3694 О, 000 23,309 22,339 20,649 18,605 16,53! 14,644 13,051 11,790 10,849 !0,209 23,309 22,339 20,649 18,605 !6,531 14,644 !3,05! !1,790 !0,849 !0,209 — 11,654 — 22,824 — 21,494 — 19,627 — 17,568 †!5,587 †!3,847 †!2,420 -!1,319 — ! 0,529 — 5,104 — 0,000 — О, 679 — 2,580 — 5,382 — 8,75! — 12,469 — 16,490 — 20,935 — 26,062 — 32,266 — 20,416 Таблица 13.3 ь ° м! ~! а и! — 0) и! Ми ! ! 47,.+, 10 м,+, 01 х!! ! — 0,90159 — 0,90159 — 0,87!86 — 0,87186 — 0,78157 — 0,78157 — 0,62735 — 0,62?35 — 0,40348 — 0 40348 — 0 10164 — 0,87186 ' — 0,78157 — 0,62735 — 0,40348 — 0,10164 ~ 0,28929 10,392 ) — 9,369 19,678 ! — 17,157 16,604 — 12,977 12,150 — 7,622 6,951 — 2,804 3,8847 3,7233 3,4415 3,1006 2,7553 2,4407 2,1752 1,9649 1,8082 1,70!8 0 0 3,8847 3,7233 3,4415 3,!006 2,7553 2,4407 2,1752 1,9649 1 — 0,10164 0,28929 0,28929 0,78101 0,78401 1,40091 ! 1,40091 ! 2,16289 2,16289 3,09841 — Х.111~! и!;1д= 175,25 1,462 ~ — 4,129 — 9,875 ~ — 16,023 ! — 22,986 ~ — 0,148 — 1,194 — 7,742 — 22,447 -49,716 — 44,078 0,78401 1,40091 2,!6289 3,09841 9 1,8082 1О ~ 1,70!8 — 14,226 С помощью упруп1х грузов стропи юпору 0~ ~ (р!к, 13.10,6).
как эпюру фиктивных изгибающих моментов в фиктивной балке (рис. !4.10,а). Положительные упругие грузы направляем вверх. При вычислении й,! необходимо учитывать влияние продольной силы. Таким образом, ~ ~" Мц а' ! 5' ~'7уц '!' Рассмотрим ~ ~М вЂ” ' как произведение эпюры М самой на чп!' и "' l себя (рис.
13.11); '(> + '"' (2М,. +М,„,) = — ~)~~М,, га,.Е. 1-1- 1 (13.29) Итак, ~ Мц ~~ — ч~ Ми> !в!4! Š— с— А 7 .4! йналогично для продольных сил получим: ~ й72 ~ ~ й!141 гвпц! Е (13.30) (13.31) где 233 16 †12 АЙ!1~! = — — (2 й7, + й7! !)+ (2 й7! + й7с,„!) . (13.32) ! с *. о о! В со Зп (барс Е) лвк, со ос с:5 г- съ сс с Рос, !3.!О !с! Вычисления а,'ло показаны в табл. !3.4. Находим Ебо. и и Š— Ь„= — ~~ Мп) сео1 — ~„б(о) св<м — 175,25 + 9,80 = 185,05 Г О ', !=и Ебы = 2. 185,05 =- 370,10. а ь р— ) а) ' '" - 'р ( р (др„Е/ ив рз з„ср сь ~с:" с,. съ , ср а Рис.
!Зл2 Линия влияния Х, (рис. 13.10,в) строится по формуле Х, =— (13.33) бп' От Хз=! находим изгибающие моменты Мз=М12>=1 ° з. Упрутие грузы св,"> вычисляем по формуле (13.27).-Результаты да- ны на рис. 13.!2, а. Эпюра Ебену (рнс. 13.12, б) строится, как эпю. ра фиктивных изгибающих моментов от гв~'~Е. Коэффициент Ьтт определяем следующим образом: м Ь, = ~~~„~М~ — = — 2~~~~ ~М'," гв)"-'. (!3.34) ьа В настоящем примере получается Ебтз=8248,4.
Для контроля можно определить Ебт, еще как удвоенную нулевую ординату эпюры Ебгг.' ЕЬ а= 2 4124,2 = 8248,4. Эпюра Ебгз (рис. 13.13,б) строится по упругим грузам в',з' Е Для контроля найдем: м ЕЬ, „,„, = ~, га,'и Е = 679,3. ~ а Ебм находим по формуле м ЕЬ„= — 2 ~' сг<м Е. (13.35т к=н В настоящем примере получается ЕЬм=323,94. Линии влияния Хт (рис. 13.12, в) и Х~ (рнс. !3.13,в) строятся по формуле (13.33). Линия влияния внутренней силы в любом сечении строится по формуле л. в.
5 = Я,(л. в. Х ) + 5,(л. в. Х,) + За(л. в. Х,) + + (л. в. Ер), (13.36! где 8 — изгибающий момент М, поперечная сила 9 или продольная сила ЬГ в заданном сечении; 5,— внутренняя сила в том же сечении в основной системе от Х;= 1 (постоянная величина); л. в, Яр' — линия влияния соответствующей внутренней силы а том же сечении и основной системе. На рис. !3.!4 даны линии влияния М,'„ ф, Л~' в основной системе для четверти пролета, а на рис. 13.15 — линии влияние М, Я, ЬГ в заданной системе в том же сечении. Для примера найдем одну ординату линии влияния.
Пусть груз Р= 1 находится на бесконечно малую величину правее середины пролета. Тогда Мп — — (у — с) Х, + г Х, + Хз + Мр' — — (0,79995 — 0,90159)1,2071+ + 5 0,50000 + 2,0963 — 5,0000 = — 0,5264. см Рис. 13.15 где Линии влияния в других сечениях могут быть построены по общему методу с помощью формулы (!3.36). На рис. 13.1б даны линии влияния изгибающих моментов в замке и пяте.
Ядровый изгибающий момент для плоской задачи равен сумме моментов сил, расположенных по одну сторону сечения, относительно ядровой точки, расположенной в этом сечении. Рассмотрим поперечное сечение в четверти пролета прп гл=- =5 и (рис. 13.17,а). При прямоугольном поперечном сечении ядровые точки й, и Ат расположены на нормали на расстоянии е от оси. Формулы для расчета ординат линий влияния ядровых моментов имеют вид: л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
