Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Реакции гм могут быть определены из условий равновесия, так же как в методе перемещений. Перемещения 6;„определяются по геометрическим соображениям или иа основании теоремы взаимности боя = — гм. Грузовые члены Л;в и >т,г опрсделяются так жс, как в методах сил и перемещений. Эпюра моментов в заданной системе строится иа основании следующего выражения: 268 М=М,Х,+МаХэ+ +М,.г,.+" +М„7„+М, Правильность вычисления величии перемещений б,х и реакций г„, при прямых стержнях контролируется перемножением самих иа себя суммарных единичных эпюр изгибающих моментов, построенных отдельно для иепзвестиых метода сил и метода перемещений, входящих в канонические уравнения смешанного метода. Правильность вычисления величии перемещений б,>, и реакции г,~, не может быть проверена перемножением эпюр, поэтому необходимо б», определять из геометрических соображений и проверять по теореме взаимности.
Эпюра изгибающих моментов в заданной системс может быть проверена путем умножения сс па суммарную единичную эпюру моментов любой основной систсмы метода сил. Результат перемножения при расчете па нагрузку должен быть равен нулю, Вообще показателем правильности расчета является отсутствие перемещений в направлении неизвестных реакций Х; и равенство иул>о реакций в местах приложения неизвестных перемещений 7, Примеп 15.1. Построить анзору изгибающих моментов для рамы, изображенной иа рис. 15.1,а. Решение Рассматриваемая система при расчете ее по методу сил является восемь раз статически неопределимой. Степень подви>кности узлов при расчете по методу перемещений равна шести. Из рассмотрения основных систем методов сил и перемещений (рис.
15.1, б, и) можно видеть, что нижний контур содер>кит шесть неизвестных метода сил, а верхний только два. Основная система метода перемещений в иижисм контуре имеет два неизвестных, а в верхнем четыре. При расчете жс этой рамы по смешанному методу целесообразно основную систему принять такой, чтобы в верхнем контуре за неизвестные были приняты иеизвсс>п>ыс метода сил, а в нижнем — исизвсстпыс метода перемещений (рис. ! 5.2, а). В общем виде система канонических уравнений смешанного метода для данной рамы будет: б Х +5.,Х.,+б, 7,+бм74+Лр=О; бл Х|+ б>„Х., -г б.,~7>+ бм74+ Л„р = О; г„, Х, + г„хэ + гго Ез + г„7, + Р„„= О.
зб9 Первое и второе уравнения — уравнсиия перемещений — вы ражают условия, что сумма перемещений в иаправлспиях Х, ~ Кз от действия Хь Хз, Лз, Лз и нагрузки равны пулю, поскольк) такие перемещения в заданной системе невозможны. Третье и четвертое уравнения — уравнения псакций — выраязают условия, что реакции в наложенных связях от действия Хп Хз, 7,, 7, и нагрузки равны пулю, так как в действитсльпости связи от. сутствуют. Для определения сдиии шых и грузовых перемещений и реакций построены едииичиые и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной системе (рис. 15,2, б — е). Перемещения 6и, Ь,з, Ьзз определяем псвсмножсиисм соответствующих эпюр изгибающих моментов Еубзз = 2( — — — 5 4 — 4 .'- 4 3 41 - 128; Ез'Ьзз: 144; ЕИзз = Еубзз = О.
реакции гзз, гев гзо а также гзь г„ь гзз, гм определены из рассмотрения равновесия соответств)чогцих узлов: гзз — — — + — '- — - 2ЕУ .—.. 4,25ЕУ; зел, зед 2 4 гзз =- 5ЕУ' гзз = гзз ЕУ; гзз - - — 1; гзз — — 4: гзз -= б; г,з —.- — б, Перемещения 6|з, Ьм, Ьзз бзз определены по теореме взаимности ~бзз= — гм): Ьзз='', Ьы Ьзз — — б; Ьзз Те же значения этих перемещсиий получаются и из геометрических соображений.
Грузовые перемещения и реакции равны: Лы,=О; Л,„=О; Рзв=9,0 т ° м; Ям =-О. Правильность вы шслсиия значений единичных перемещений и реакций проверяется перемножением суммарных единичных эпюр изгибающих моментов (рис. 15.2,ж, з). Проверка ие приводится. Система канонических уравнений в численном виде записывается так: Х, + О,ОХз + 4,Оказ-) 4,Оказ =- 0; 272 О,ОХт+ ' Х, + ( — 6,0)Лз+ 6,0Лч = 0; Е3 ( — 4 О) Х, — 6,0Х,, —,«,25Е3~, + Е37., — 9 0 = 0; ( — 4,0) Х, —; ( 6,0) Х, —,'- Е32, + 5,0Е37., == О. Эту систсму удобно рсшить, примсиив сокращсииыи алто рифм Гаусса.
Необходимо в первом и втором или в трсгьсм и четвсртом уравпсииях смсиить знаки у вссх слагаемых, чтобы козффи. Рис. Ю 3 циепты, расположсииыс симмстри шо отиоситсльио главной диа. гоиали, были равны. Решшшс системы урависиий по Гауссу дает слсдуюшис значения исизвсстиых (подрогшое решсиие опушсио): Х, -- 0,05253 т; Лв = — 0,09728 т; 2, -=. — 2,00775 —; Я, =- 0,32688 Е3 Е3 Подстановка полученных значений неизвестных в исходиыс уравнения дает тождества, что свидстсльстпугт о правильности решения системы уравнений. Эпюра изгибающих момситов в заданной систсмс (рис.
15.8) построена по выражению М = М, Х, + М, Ха+ М,У, + М37, + Мг. Все узлы рамы находятся в равновесии, а ~ ) г(а=О. Мз М Е3 27З Здесь Мз — суммарный единичный момент в любой основ ной системе метода сил (эпюра Мэ дана на рис. 15.2, и). Задача 15.2. Построить эпюру моментов для рамы, изображенной на рис. 15.4, а. У к а з а н и е. Следует рассмотреть основные системы методов сил и перемещений, а также смешанного метода.
Убедившись, что из всех рассмотренных основных систем основная система смешанного метода содержит наименьшее число неизвестных, применить ее для решения рамы. В качестве ответа на рис. 15.4,6, в даны основная системз смешанного метода и эпюра изгибающих моментов в заданной системе. ф 1В 2. КОМ ВИН И РОВАН НЫИ МЕТОД (НРИМЕНИТЕЛЬНО К РАСЧЕТУ СИММЕТРИЧНЫХ РАМ) В симметричных системах нагрузка всегда может быть разложена на симметричную и кососимметричную. Комбинированный метод расчета симметричных систем состоит в раздельном применении методов сил и перемещений к расчету рам на эти виды нагрузок. На симметричную нагрузку расчет производится по методу перемещений, а на кососимметричную — по методу спл.
Общее число неизвестных комбинированного метода обы шо меньше числа неизвестных при расчете системы только методом сил плп методом перемещений, а также смешанным методом. При расчете комбинированным методом сохраняются все особенности и методы контроля, которые свойственны методам снл и перемещений. Пример !5.3. Требуется построить эпюру изгибающих моментов для симметричной рамы (рис. 15 5, а).
Решение Рассматриваемая рама симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через середины рпгелей. Разложение нагрузки на симметричную и кососиммстрпчпую показано на рис. 15.5, б, и. При расчете заданной рамы по методу перемещений число неизвестных в общем случае равно шести (см. основную систему метода перемещений, рис. 15.5, г). Если нагрузка только симметричная, то кососимметричные неизвестные обращаются в нуль и число неизвестных будет равно двум (Яь л4), При расчете по методу сил число неизвестных равно восьми (см. основную систему метода сил, рис. 15.5, д). В случае косо- симметричной нагрузки все симметричные неизвестные обращаются в нуль и число неизвестных будет равно трем (Хь Х„, Х7) .
По смешанному методу общее число неизвестных равно ше. сти — по три при расчете на симметричную и кососимметричную нагрузки. Таким образом, расчет заданной системы на симметричную нагрузку наиболее просто производится по методу перемещений, а на кососимметричную — по методу снл. 2 3 52 9м 1- — 1з б"' хг Рчс. 15.5 Расчет на симметричную нагрузку. Основнаясистема для этого случая дана на рис. 15.6, а. Система канонических уравнений в общем виде будет; г Яз+ гэ„2, + йэ — -- О; г„Е.„+ гээ2 + К4, — О.
На рис. 15.6,б, в, д даны эпюры изгибающих моментов от парных смещений и нагрузки. Определение единичных и грузовых реакций производится исходя из единичных и грузовых эпюр изгибающих моментов путем рассмотрения равновесия узлов. Если принять ЕУ=1, получим следующие значения реакций: 275 Г22 = 4 8 8 4 3 ' 9 9 3 40 9 аз Г44 = 9 4 Г24 = Г42 = з г„=О; )7„=— 27 Система уравнений в численном виде: 47 3 9 2 Решая снстс;>у, будем иметь 72=0,46; Е4= 1,53. Пращ>льность решения системы уравнений должна проверяться подстановкой найденных значений неизвестных в походные уравнения и обращс д>' нием пх в тождества. Эпюра изгибающих момен- 7' 77 77 тов в заданной системе от дей- -- ч, ч -- !ч ствия симметричной нагрузки построена по выра>кению МР= =М'.22+М4Р4+М',, и дана па рис.
15.6, р. Равновесие узлов,> а за рамы свидетельствует о пра- ,ччтг >742 ' ',747 вильности построения эпюры. а У Возможна также проверка по >74» ч выражсни>о 7 К~; (эпюру Мз см. рис. 15.6,г). Расчет на кососиммстричную нагрузку. Основная система приведена на рис. 15.7, а, Система канонических уравнении в общем виде запишется; 6„Х, + бси Х„+ 62, Х, + Лзр — — 0; м' Р 277 Ьг, Х. + Ь-„Х, + Ь, Х, + Л р -= 0.
Определение единичных и грузовых псрсмешений произведено путем перемножения единичных и грузовых эпгор изгибввзигих моментов (рис. !5.?, б — г, е): Е?Ьее = 2 ! — — 6,0 6,0 — 6,0 —,' 4,5 6,0. 6,0) =- 372,00; 2 3 3 ЕУЬы -— --- 318,00; Е/Ьег = 19?,44; Е?Ьеь = Е?Ьае =- 243,00; Е?Ь, = Е?Ь„= 243,00; Е?Ь„= Е/Ь„= 182,25; Е,IЛ., =- — 1620,00; ЕХЛ гр — — — 1 093,50; Е,УЛ ' — 1093,50.
е! и7 П,егг Рвс, !5.7 2?8 Проверка этой эпюры выполнена принятым в методе сил Ч Г Ма Ма способом ~,~ ~ 5 с»э=О. Из эпюры также видно, что все Ел узлы рамы находятся в равновесии. Эпюра изгибающих моментов в заданной системе (рис. !5.8) получается суммированием Мс и Мн'. Глава 1и РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ ПО МЕТОДУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОМЕНТОВ (МЕТОД Г. КАНИ) Методы распределения основаны на том, по после определения начальных моментов н основной системс и установления, что условия равновесия или непрерывности деформаций ие выполняются, производится распределение неуравновешенных сил или деформаций и передача их иа соседние узлы.
Это распределение выполняется в определенном порядке последовательными приближениями, как правило, без составления и решения уравнений. Методом последовательных приближений (итерации) можно получить результаты с любой желаемой степенью точности. К итерационным методам относятся методы И.
М. Вернадского, Х. Кросса, 1. Кани и др. Метод Г. Кани ' является наиболее удобным при расчете на вертикальпучо и горизонтальную нагрузки многоэтажных рам с неподвижными и смещающимися узлами, так как оп дает возможность легко контролировать правильность расчета. Целью статического расчета рнм является определение опорных моментов, т. с. момситон по копнам стержней. Если опорный момент действует по направлсии1о движения часовой стрелки, то считаем сго положительным. Аналопшцое правило знаков принимаем для узловых моментов и углов поворота.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
