Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 37
Текст из файла (страница 37)
необходимо привести их к одному какому-либо выражению. В данном случае выразим их все через ЕУ„. й Как указано в условии, 6=0,4 Е и — =2. ь Главные оси сечения показаны на рис. !8.!,б. Осевые моменты инерции запишутся так: ьйк йк йьк л4 у,= — = —; у 12 24 " 12 96 По теории кручения стержней прямоугольного сечения ӄ𠆆аькй, При й/Ь=2; а=0,229, тогда У„р — — 0,2291 — ! л = 0,02888'.
!21 Выражая все жесткости через ЕУ„, получим: ЕУ =Š— =Е "=0,25ЕУк; 96 96 6Укр = 0,4Е. 0,0286 24Ук = 0 274ЕУк. Вычисление коэффициента и свободных членов: ЗЗ 2 1 18 б„,= 2 — — 3 — = —; 2 3 ЕУк ЕУк 33 1' 9 б„— — 2 — 1 — — — —; 2 ЕУк ЕХк ' 3 3 1 18 бм —— — 2 — 2 — = — —; 2 ЕУк ЕУк бы = 0; 1 3 1 + 1.3 1 12 ЕУк ЕУк ' 2 1.3 2 + 0.5 2 2 1 16 ~кз = Е'к бкк= 0; йзе = 2~ — ' — 3 — + — — 2 — + 2'3'2 + ГРЗ3 2 1 22 2 1 1 2 3 ЕУ» 2 3 ЕУк ЕУк Рис.
!8.3 ааг Ю) 1 ага~ а,га ~ са~ гаи г,аг 4~ 4г1 г/ ааг уи ага '~ ах п 1-" а,п а,га а,гю ггпу~ ага а,га о гга 11аа !г' 1аг Рис. 18.4 Лвр — — — + — ( — — 4,5. 3 — 3- — — — 2+ 833 ! в 1 3 82 2 2Е1в Е7„( 3 4 2 3 + — 0,5 2 1 — 8 3 2)в 3 ' / ОУир ЕУ» Проверка коэффициентов и свободных членов производится, как и в плоских системах, через умножение суммарно-единичной эпюры самой на себя и на грузовую эпюру с учетом крутящих моментов.
Рис. 18.8 Ь. Рис. 18.5 Системы уравнений в численном виде: 18Х, — 9Х, — 18Х, + 36 = 0; — 9Х, + 12Хв+ 16Х вЂ” 31,3 = 0; — 18Хв+ 16Х + 394,6Хв 274 7=0; 45,9Х4 + 59,8 = 0; 72Хв+ 45 ЗХв 89 3 = 0' 341 2Хв 36Хв — 108Хв 240 8 =- 0' 36Хв + 45 9Хв +115 8Хв + 3,1 = 0; 45,3Х,— 108Х,+115,8Х,+394,6Х,— 58,7 = О. Из этих уравнений найдем численные значения лишних неизвестных Х (рекомендуется решать систему уравнений, пользуясь способом Гаусса); Хв = — 0,79; Х, = 1,04; Хи=120! Хв=0781 Х =061; Х, = — 0,26; Хв= — 130' Хи=032. После вычисления лишних неизвестных строим эпюры внутренних сил (рис.
18.3). Проверка эпюр изгибающих и крутя- 310 щих моментов производится так же, как и в плоских системах, умножением их на единичные эпюры моментов, построенные в любой основной системе метода сил. Результат должен быть равен нулю. Кроме того, можно рассмотреть равновесие любой отсеченной части рамы. Так, на рис.
18.4 показаны вырезанные узлы рамы со всеми внутренними силами. Нетрудно убедиться, что эти узлы находятся в равновесии. Пример 18.2. В раме, показанной на рис. 18.5, от заданной нагрузки построить эпюры внутренних сил, пользуясь методом перемещений. Поперечные сечения стержней — круг. Относительные величины осевых моментов инерции сечения указаны на чертеже; Е=2 !О' кг/см'! 6=8 ° 1Оз кг/смз. Решение Заданная система шесть раз статически неопределима. Чтобы получить основную систему метода перемещений, вводим в жесткий узел моментную связь, устраняющую возможность поворотов этого узла относительно трех осей декартовой системы координат, и две линейные связи, устраняющие возможность горизонтального смещения вправо концов горизонтальных стержней.
Связ~ № 2 можно было бы не вводить, так как в горизонтальной плоскости этот стержень является консолью, т. е. статически определимой частью системы. Здесь эта связь введена в методических целях. В качестве лишних неизвестных приняты поступательные перемещения вправо концов горизонтальных стержней Л! и Лз и углы поворота жесткого узла относительно трех взаимно перпендикулярных направлений: Лз — в горизонтальной плоскости, 24 — в вертикальной плоскости чертежа и Лз — в вертикальной же плоскости, перпендикулярной .плоскости чертежа.
Основная система с лишними неизвестными показана на рис. 18.6. Смешения в пространственных системах вотличие от плоских могут вызывать не только изгибающие, но и крутящие моменты в стержнях. При построении эпюр крутящих моментов надо иметь в виду, что угол закручивания ф = ", откуда М„= ф †. Если ф = 1, то М„= М„р! ау„, — ау„р ау„р ' Кр кр Если сечение круг, как в нашем случае, то У„р — — 2У„.
Тогда ау„з !О'2у — ' =0,8, где ӄ— момент инерции при изгибе. ЕУи 2,10в,Ув В последующем при расчете везде принято ЕУ„=1; бУ„р — — 0,8. На рис. 18.7,а — д показаны единичные эпюры моментов— изгибах>щих и крутящих от единичных смещений. На рис. 18.7, е дана эпюра изгибающих моментов в основной системе от нагрузки. Пунктирными линиями показаны оси стержней в дефор- 3!1 мированном состоянии от смешения. Эпюры изгибающих мо-. ментов построены со стороны растянутого волокна. Эпюры крутящих моментов очерчены пунктирной линией на тех же чертежах. Коэффициенты и свободные члены, являющиеся реакциями ао введенных связях, найдены из равновесия отсеченных частей рамы (рис. 18.8). Поперечные силы вычислены по формуле Я= — '.
Направление их принято,как и в плоской системе. Мпр Млзз По эпюре М, (рис. 18.8,а): 5 г„= О 5; г„=-- — —; г„= 1,25; гм = — О 25; гз, = О. 12 ' По эпюре Мз (рис. 18.8,б); 5 5 гы ---- — —, г„= —; г„=- — 1,25; г,з = 0; г,з = О. 12 ' 12 По эпюре М, (рис. 18.8, в): г,з = — 1,25; гзз = 5,75; г„=- 0; гзз — — О г|з = 1,25; По эпюре,Ч, (рис.
18.8,г): гм = -- 0,25; гзз = 0; гзз =- 0; гзз — — — 3,8; гз4 .— — О. По эпюре Мз (рис. 18.8, д): г„=О; г„=О; г„=.-О; г„=.О; гз,=б. По эпюре М, '(рис.!8.8,в): 17, р —— — — 7,5; 172 р — — — 4,5; йзр —— — 4,5; Азр — — 5,5; 1сзр = 12. П роверки коэффициентов и свободных членов производятся так же, как и в плоских системах, но только с учетом крутящих моментов, Составим систему канонических уравнений в общем щшс и в числах: ч Я р г, Е + г 2 + г У + г 7' + 12 р 0 1г ~ + гизз т гсзУз+ гч24+ гзЛз+ )7р = 0; ~ г„л,-г гт.г,— гД,+г„л,+г„г,+)7,„=-0; гиЛ, +г, Х,-1-г„Е,+г„,Е,+гмЕ,+И, =0; гз1 21 + г Е + гззЛз + г 4 2з + г з Ез р йз 0 ща 5 0,524 — — 2, + 1,2524 — 0,2524 — 7,5 = 0; !2 — 2, + — 2 — 1,252, — 4,5 =- 0; 12 12 1,252, — 1,252, + 5,752, — 4,5 =.
0; — 0,252, + 3,824 + 5,5 = 0; 52, + 12 = О. Целесообразнее всего решать данную систему уравнений по способу Гаусса. Решив систему уравнений, получим численные значения неизвестных: 2,=174; 2 =-21!8; 2,=9; 2,=10; 2,= — 2. Умножая единичные эпюры на вычисленные значения и складывая их с грузовой эпюрой в основной системе, получим эпюры изгибающих и крутящих моментов в заданной системе (рис. 18.9,а и б).
а 414 Используя эпюру изгибающих моментов н формулу О= —. а'г вычислим значения поперечных сил в стержнях и построим эпюру Я (рис. 18.9, в). Численные значения продольных сил в стержнях могут быть вычислены из равновесия жесткого узла; эпюра Ж показана на рис. 18.9,г. Для проверки полученных эпюр можно рассмотреть равновесие любой отсеченной части рамы с приложенными в сечениях внутренними силами М„Мир, Я и Л' (см. например, рис. !8.!0).
Кроме того, можно выбрать основную систему метода сил, построить в ней эпюры изгибающих и крутящих моментов и перемножить с соответствующими эпюрами М„и Мкр в заданной системе. В результате перемножения эпюр мы должны получить нуль. Глава 19 МАТРИЧНАЯ ФОРМА РАСЧЕТОВ В СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ Матричная форма расчетов приводит к однообразным операциям с матрицами, что создает известные удобства для программирования вычислений на электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ). 316 !. МАТРИЦЫ ВЛИЯНИЯ Назначспке матрицы влияния величины 5 (реакций, изгибающих моментов, поперечных сил и т.
д.) состоит в том, чтобы преобразовать матрицу столбец (вектор) нагрузок в вектор величины 5. Предполагаем, что силы Рм Р!, Ро,, Рл приложспы в точках О, 1, ..., и системы. Матрица влияния 5»~ 5оо 5м 5»о 5п 5ол 5„ . 5»„ (19. 1) 5,0 5,! . ,5;л 5ло 5л! , 5л, . Здесь !-й столбец — значения величины 5 от Р,=1, прплоьсппой в точке ! системы. Если матрица составляется для изгибающих моментов, продольных игп! поперечных спл, то »-й столбец матрицы легко получается из соответствую»цей эпюры от Р»=1. Если действующие па систему силы одного направления (например, вертикального), то !'-я строка матрицы может быть записана по линии влияния 5,.
В тех случаях когда величина 5 при сосредоточенных силах может иметь два значения, как, например, продольпая или поперечная сила, то 5 . 5о 5нрл ! !! (1 9.2) !)4», ==- — ! (и —. /г) при Й: !. л' (19.5) В пашем случае п=б. Составим 4-9 столбец матрицы: — ! при я ..4 !И»4= — -7 (6 — 4); !!о 317 Прсобрпюваппс вектора нагрузки Р в вектор величины 5 производится на основе выражения 5=- В. Р. (1 9.3) Пример 19.1. Составить матрицу влияния изгиба!ощпх моментов и определить пх вектор от нагрузки (рпс. 19.1). В об!цел! случае, когда балка разделена иа л равных частей, !-и столбец матрицы влияния изгибающих моментов прп вертикальных силах определится по Формулам: 7)4», =- -- Й(п — !') прп /г (19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
