Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4) при й>4 М, = — 4(6 — й). 6и Четвертый столбец — ~~ 0 2 4 6 8 4 0 Д. 36 Аналогично составляются и остальные столбцы ба а и и и Рис. !9.! Рис. !9.2 По выражению (19.3) В Р=— ! 36 Задача 19.2. Составить матрицу влияния изгибающих моментов для балки при п=5. Ответ: 000000 043210 036420 024630 012340 000000 Задача 19.3. Составить матрицы влияния изгибающих моментов и поперечных сил (рис.
!9.2). Указание: столбцы матрицы получать из эпюр от сил Р;=1. Ответы: 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 — 1соз~ 0 0 3 — 2созб — 1 0 ! В 4 зге 0 0 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0 00000 432!О 86420 69630 46840 23450 00000 — ! сова — 2 сова — Зсоз а — 4 сова Р,=Р Р,=Р Р,=Р Р,=Р Р,=Р Р,=Р Ри=Р 0 15Р1: 36 24Р1:36 27Р1: 36 24Р1: 36 15Р1: 36 0 2. МАТРИЦЫ ПЕРЕМЕЩЕНИИ Приближенное вычисление интегралов, входящих в формулу перемещений, может быть проведено по формуле Симпсона„ при четном делении участка 1 проекции бруса на ось г (рис, 19.3), на и равных частей: л Лг —— ~ Чс(г = — ! Чи+ 4 (Ч, + Чг + + Ч.,) + 3 + 2(Ч2 + Ча+ ' ' '+Чи г) + Чи) (19. 6) 1 — Ъи где Ч,=, " ' = У '" ' з/1+( — "1; (19.7) В~ сиз а7 В~ и' (нг/7 ' 5,„и 5;и, — соответствующие усилия (изгибающие моменты, продольные или поперечные силы) в точке 1 от Ри=! и от нагрузки пц р р 7 7 и ' и Рис !93 Рис. !9Л В, — жесткость стержня в точке 1, соответствующая усилию 5,; р, — ордината оси стержня.
Если 1-й участок стержня, начало которого обозначено 1 — 1, а конец 1, с проекцией на ось а, равной 4, разбить только на два участка (рис. 19.4), то при учете только изгибающих моментов имеем формулу 3 па ! 07' — сова — соз а — соз а — соз а — соз а О О О О О(1 О О О 1 07 — совр О О 1 — совр О! — 1 О 1 — совр — 1 0,1 Млел Меев алев + Д~ с— 6ЕЗ ар'" 0 0 0 4а'.рел 0 а 0 0 ара е 2)А;= и; ье.г (19.
12) матрица податливости на 1-м участке; М;"'" — [ [М аев Мсрел Марав [1 3) Мп„= М,п, =- Мсрел !и Мерве пп (19.13) матрица-столбец моментов М; на бм участке от нагрузки. В (19.13) указано обозначение матрицы столбца в трех употребляемых здесь видах. Полное перемегцение, при л участках Л,. =;[М;,М.„.. М„',[[ А,(М,„,М.„.. М„.,[, (19.14) А, 0 О, 0 А,О. 0 ..0 ,0 где А = (19.15) 0 0 О. 0 А„ + 4 Марев Мсрел перел 1 Марав Мправ перев~ (19.8) С»»аа Л Ы»п где а, = Е,/е:Е,./,совок (19.9) ЕУ вЂ” жесткость какого-либо сечения стержня системы, принятая за основную.
Здесь ! — номер участка (а не точки). Для прямых стержней, когда ось г совпадает с осью стержня, а;=0 п сов ал=1. а!а пп Если Л!а» линейная функция, а ' — линейная или паЕа3иоаие рабола второго порядка, то формула (!9.8) дает точное значение интеграла. Формула (19.8) в матричной форме (! 9.10) Где 1) М' пМаев Марев Мпр ап[[ м=з 1» и' и (19.11) — матрица-строка единичных моментов Ма» от Р»=1 на 1-м участке (транспонированный столбец матрицы влияния В- на этом участке); — квазидиагональная матрица из матриц податливости стерж. пей или их участков.
Часто на прямых стержнях эпюры (Мм) и (Я„п) линейны, тогда для (!9,14) н ()9.15) имеем: )) М' = ('Я ссМ«р !ь (19. 16) 2) А; = — ' — ' ' )); (!9!7) БЕ7. аср ' уа',рс'; ап с ~!! ' Яисс 3) М, = ( рп — 1(Я с Язис ) Я)рсс Если, крол!е того, ссчснпс прямого стержня на участке и ь стоянно, то а',"=а,'рс'=а,".рс"=а; и матрица А, будет: А, = с1; 2ас а, л; 12 1 ! (19.!9) БЕ./,, а 2а, БЕ;.у; сор а; ! ! 2 ~ В тех случаях когда (19.18) Яира» Я ~сс С-и! ' матрица Асы левым верхним углом может быть наложена на нижний правый угол матрицы Аь где значения а„с,„п получа- ются суммированием а',,'рс' и а".+'„т. е.
а апрас + ассс (! 9.2!) Мисс С ссе и Лля прямых стержней, когда а=О, строки матрицы податливо- сти (19.19) могут быть составлены как углы поворота на опорах простой балки от моментов, равных единице, приложенных по очереди к левой и правой опорам. Учет деформапий удлинений и сдвигов проводится на основе тех же матриц, составленных для учета деформаций изгиба, путем соответствующей замены символов: Муж М, и а, соответственно на й7у„йл, и ЕР, Е; Е! сос а; (19.20) (19. 22) Мрм Моп и а, соответственно на ф,, ()у„и с;=р ЕЕ. (19.23) б! Е! соп а! ЕУ, на ЕРс. Если, как зто часто бывает для прямых стержней, Л/,л, 7у'; и Ьь или (,)ул, (е'; и с! — постоянны по длине стержня или его участка, то матрицы А; соответственно будут: (19. 24) ЕРс ' ЕГс 2!†!284 32! Формула перемещений для ферм в матричной записи » гле 1) У;.» =>~л/„Л>.„...
>(>„~" (19. 25) (19.26) — матрица строка единичных усилий Мт» от Р»= 1; ! 1,Ь, О О О . . . О О 1Ь,О О... О ...0 0 '0 0 0...1Ь„ 2) А== ЕГ (19.27) — матрица податливости; здесь Ь, = ЕЕ,,:Е>Е, (сова> == 1); Чэ . Л>„„,'! (19.28) З) й» =!15:м»Л>»,». м —— — - матрица столбец усилий >»>> . Пример 19.4. Определить вертикальное перемещение точки а (рис. 19.5) . Необходимые эп>оры лапы па рис. 19.5,6 и в.
Составляем матрицы податливостей. Для стержня аЬ, имсгошего эп>ору (5)ч) криьол>шейпу>о, матрицу А» составим по (19.!2), принимая за Е7, жесткость вертикального стержня Е.1. Для стержня Ьс, имевшего эп>оры (>11„) и (М») линейные, матрицу А>,„ составим по (19,19) д>1 -' — 1 Рис. >9.6 0 0 о > 6 Ааь= - 04 6ЕУ 0 3 2 1 А»с= 6Е/ (1 322 Но формуле (19.!4) с учетом (19.11), (19.!3), (19.16) и (19.18); — 'о о 4 01 О оо — ' о 4,5д 6 6Е,Г 184 !А )~ !! 1" Лрр — — ()О 3 б б 6!! 6Е,/ 1 После упрощений (А) Раскрываем матричное равенство по ходу слева направо: 4ЕЗЛь =!~0 12 6 36 36!! ° !! 0 4,54 18,04 18,0д 18,04)) = = 1458~1.
Поскольку в эпюрах (Мр) н (Мь) угловые ордннаты в точке Ь одинаковы, то для сокрашения вычислений матрицы А ь н Ар, можно наложить углами н применить формулу (19.21), записывая угловые ордннаты эпюр по одному разу; 0 4,5д 18,0д 18,0д = !~0 !2 42 36!(.((О 4,54 18о 18,04)~ = 14584. Пример 19.5.
Определить вертикальное перемещение в точке А от момента М=б т-зр в системе, рассмотренной в примере (8.4). Необходимые эпюры показаны на рис. 8.5. Условимся моменты, отложенные снаружи контура, брать со знаком плюс. Эпюры линейные, поэтому применяем матрицы А; по (!9.!9). По формуле (19.14) Л» = (!О 2 2 — 2 — 2 0(! Х 323 2! "' 1 0 0 0 0 0 4 0 0 О 4ЕРЬрд //03666(! 0 0 1 0 0 О 0 0 4 2 0 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0 5 2 4ЕЗЬрр = (! О 366 !!' О 0 2 4 1 2 6Е/ 1 2 6Е1 1 2 0 4,54 18,0д 18,04 ! 18,0д 0 0 0 — 5 — 5 — 5 ип = //4 ! 4 — 14 — 4(! ((9 0 — 5 — 5)! = 90. ЗС МАТРИЦЫ УПРУГИХ ГРУЗОВ Для построения эпюры перемещений одного направлении, как, например, эпюры прогибов балок и арок переменного сечения применяется условная нагрузка к1* (рнс.
!9.5), которой за- ко Рис. 19.6 гружается условная балка с граничными условиями (опорами), устанавливаемыми в зависимости от закреплений заданной системы (см. учебники). Выражение условной (фиктивной) нагрузки для плоских си- стем (!9.30) ' Си. В, А, Киселев. Строительыая механика. 1967, стр. 267. 324 После упрощения с наложением углов матр 4 2 0 0 5Е)Ь»,„= !)О 2 — 2 01! 2!О 3 О 9 0 2 4 Перемещения Л определяются из уравнения аад та ага 0 0 — 5 — 5 (19.3! ! где 1 — момент инерции какого-либо сечения стержня, Дв — длина какого-либо участка; Соответственно да — =яв (условная поперечная сила от нагрузи! (!*); Н7 Ь=Мп (условный изгибающий момент о( нагрузки (!').
Обычно вместо решения уравнения (!9.30) эпюру перемещений Ь получают как эпюру изгибаю(цих чочептов М* от условной нагрузки ()* в условной балке обычнымп средствами. Для этого криволинейную эпюру (1 разбивают на участки и заМЕННЮт СОСрЕдОтОЧЕННЫМИ ГруЗаМИ )(пп„КОтОрЫС ПО ЗаКОНу рЫ. чага раскладываются на силы )рд„„действующие на границе участков, называемые упругими грузами (рпс. !9.б), а моменты М* вычисляют для точек — границ участков В приближенных расчетах криволинейную эпюру ((„, аппрокснмируют пря. мой или параболой. Применяя (19.29) с учетом Ф и (;( надо иметь в виду, что нв «онцах условной балки помимо упругих грузов должны быть учтены еще дополнительные сосредоточенные силы: ()в (р) (нв (я "в ! (( ЕГ ар' (тп(аа. +„~„ Ерп БЕп (+ Ф вЂ” растяжение), При аппроксимации () прямыми линиями на основе (19.29) получаем формулу упругих грузов.
!) Промежуточные упругие грузы (я=!, 2, ..., (и — 1)]: ЦР в ~ 9ервн .( 2((лев ! 2, нр.в ! еев а(лев (упрев !лен (Р+ (т (йп1ев ! !К „пРлн Лт ! .ен Я арлен Е ппРнв Едлен р+! е прав л ен лпрнн чрт + !(л Ннп~ ' В ! + Х ЕЮ Пр- О„пр" р — ! 7-,-1 е велев 7ЛПРЕН ~ет ' '(7 — 1!т )(ли плен Орпрев л Л вЂ” 1 дерев — Мерве / Д '/прнв Д СОЭ Опрев ° й(Ф вЂ” 1)т (7 — 1(т ° *' е — ! и в — 1 ' .лев Млев / Д ° 7лев Д СОЗ Олен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
