Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 39
Текст из файла (страница 39)
'(еп тп е' е о л прав Мпрнв 7' Д, лпрвв Д СОЗОпрвн. тет ьп . в+1' е о в (19.32) 32$ «)««+11~ = ))4«Д!1 ') «)а+1''та+1 «)рсоа п~+! (19.34) (19.35) где О 0 0 0 0 0 2оправ алев о Оправ 2олев о О 0 2пправ паев О О О О 1 2 оправ 2лалсв бивав плес О О ! .~ 2 З )4(«м1 на бЕХс О О ппРав 2плев 2апрас пле» и — 2 и — ! и — ! л О О апр'с 2а"л л — 1 и 0 0 0 0 О 0 (19.36) Здесь: Оправ — «) ) )пикав «1 СОа (!прав . р — ! ! ° а — ! о цлев «1 / ° /лев «1 соа «хлев. а «1 р Р Р Р Х«прав = () .) рЧав «1 СОЗ«(прав. 2+1 , а о 32б 2) Крайние упругие грузы: а) крайний левый БЕЗ / улев )«)прав 2 Ерлев Ерправ 1 р «)лев ~прав (19. 3 2 1 Бареев ларправ 1 Р 6) крайний правый а < бпРвв 1 2члев ) управ 2 Ерврав ~~ Ерлев и — 1 а лавра в Олев 1)' «. ! 2~"- пр и — 1 и В выражениях (19.31) — (19.34) и далее индекс у буквы (1 соответствует номеру участка, а у остальных величин — номеру точки (рис.
19.6). Выражение упругих грузов в матричной форме: Иг = ВГ1+ И~"1+ ИФ) = Ф"1Л4,„+ + )р'"1))( + 1!р'"! Я-, алев (( ) ° /лсв О( СОЗ алсв . пра» лсв прав лс в прав лов 1 Мт = ~(МОт М1т М1т ° ° ° М(и — 1)спм(и — 11т Мит 1~ (матрица столбец из моментов М ): гс 2ЕЕ (19. 37) 2) Ьправ о Ь.асс 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Ьол 0 бар*в Ьасв О ! о Ьпрлп Ьлса Ьпрлв ! г Ьправ Ьлсв о о 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О Ьпр*в Ьлсп Ьправ Ьлсв и — 'г п — ! и — 1 и о о о — ь"; — ь~ (19.38) матрицы будут 12а, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 а! 4а, а, а, 4а, ао 0 1)Р(м) 6Егв аа (19.
40) 0 0 0 0 0 аи и 4аи, а„' 0 0 0 0 0 0 аи , 2аи ( ао =,7а 1,/„соз ао, М.=(!Мп М,„Ма . Мо, о.М„„,).; (19.41) ь, ь, ь, о 0 0 0 0 0 0 Ь, 0 0 0 0 0 а, 0 (! 0 )~а(Ф) 2ЕЕа (19. 42) 0 0 0 0 ОЬи, 0 О О 0 О Ь„ Ь„ Ь„ 0 0 иа = (1 От 1т От (и — 1)т ит((' (! 9.43) 327 Ь; = ЕГа !да()Е; Р,; Л( = ((Ли!рва Л("в Л)прав ° . Л(лса Лпчп" Л(лса (/ . (19 39) т 11 От 1т !т (и-1)т (и — 1] т ит 1 3) Матрицы Иг~~) и (1 получаются из матриц йг(~) и Л7 путем замены: в матрице (19.38) Ь( на с(=)гав: 6(Р(; в матрице-столбце (19.39) Л)( на ()(. В тех случаях когда Млсв УпРав.
Л)лсв )ЧпРлв. Г)лс!а Г)пола. а ~св — апРав. 7 ~св (пРав. Елса Еправ. О( О( О(. О " О Р ОЧ)' Если в этих же случаях нагрузку ()в аппроксимировать па- раболой, то матрица У' ' будет иметь такой вид: (м> >3, 0 0 0 5а,За, — 05а, 0 0 ав 10и, и 0 0 0 а, 10 а, и, 0 0 0 0 0 0 0 ура(м > >2Е7 0 и„, !Оа„, а„ 0 — 0,5 а„, За„, 3,5а„ (! 9.44) 0 0 0 0 о о о о Отметим, что если >агрузка ()а, вычисленная по (!929) с учетом только изгибаю цих моментов, иа всем протяжении бруса описывается параболой или прямой, то матрица (19.44) в этих условиях определит точные и-1 значения упругих грузов, а матрица (19.40) дает точные значения упругих грузов лишь тогда, когда (7 описывается прямой. к с( (и ° >1 па Рис.
>9.8 Рис. >9.7 Если брус ломаный (рис. !9.7) пли кривой приближенно заменяется ломаным, то упругие грузы обычно записываются в таком виде. !. Промежуточные грузы [когда й= 1, 2,, (п= !)] ла-р> (' — (Япьав + 2 (!лев) (2Мпран б сов и. Е7с ' " " ' б соа иа.р>Егьр> Л>прав + Л>лев >(>лев + Марап Маса л а"а (а+> "л ! ~св (е — паае 1 ° + (с р»в,) т 2ЕГ 2ЕЕрл > а прав лев аев прав О,'+0(ап»„0,. +0(а „.
+9 (! 9.45 26Е Р 26Га 2. Крайние грузы: Ззб а) крайний левый >>евра» + >улав )р а (2Мправ 1 Млев) ( пап ~~ !д и д»Р»В 1 члеа + ~ 20Р (19.46) > б) крайний правый >>>лев + >>рарав ~п >М»Ра» 1 2М»ев> "'" !" > !ьп б соа пп Егп пп ! 2ЕГ» >7»„"+ 4)р„"'» 26Р и Матрицы (19.36) — (19.43) легко могут быть приспособлены и для упругих грузов (19.45) — (19.47). Пере>мощения Ь по направлению упругих грузов определяются на основе матричного равенства Л=В )(Г„=В 1)(Г.
+)4„+)4>о>~ = = Вм ()(г>~~ М„+ Ь"~' !У,„+ Ю'~®(>,„), (19.48) где Вм — матрица влияния изгибающих моментов в условной балке. В тех случаях когда эпк>ра (М!) от силы Р;=1 многоуголь- ник с вершинами на границах участков с! (цли приближенно аппроксимпрована таким многоугольником), перемещение по направлению силы Рь при учете только дсформаций изгиба, определяется по формуле (19. 49) где Мы — момент от силы Р,=1 в точке и.
Пример 19.6. Построить эпюру прогибов балки переменного сечения (рис. 19.8) по упругим грузам, если ее момент инерции изменяется по закону 7 е У(г) = У» > ~и + 4(1 — и) — — 4(1 — и) — ~, (а) ! >е >а где Уп — момент инерции среднего сечения балки, а и=— ~>о> Точное решение такой задачи путем интегрирования урав.
ненни (19.29) без учета (г дало Рл гв 2Е!. 3! >2Р га + — (1 — и) —. Рег, б! 4Р(! — и> га >Е! 4! (б) 329 22 †12 РР !!>л о(г) = — (5+ и) г !бЕ>в Разделим балку на четыре части. За 7 примем Уо. Тогда а; пр го. 7! 1 42о, 3+и I!о!= —, 7( — »= —: а,=л; а,= —; а,=1. и (,4/ 3+и 4 Составим матрицу упругих грузов по (19.35) и (19.40). ~2л — 0 0 0 и о 3+а '0 )20+ 4п 38+ 2п л (3+л) ! О О 4 О О 1 (3+л) л )4г(м! 24 Е/о~ Р! в 70ВЕ7о '20+ 4л ~ 0 О О 3+л 4 4. МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДА СИЛ Канонические уравнения метода снл ВХ+,0„= О, (19.50) где ди боо' ' 'боо дм дмр ° доо (! 9.51) 1)»9=(д, »= бо! доо доо — квадратная матрица коэффициентов канонических уравнений.
330 Условная балка в нашем случае будет также балкон на двух опорах. Составим выражение (19.48), исключая упругие грузы на опорах н учитывая положительное направление упругих грузов вверх: А = Вм )47' 3 2 1 ! Ри 20+4л р!о»39+5л! — — 2 4 2 . ~ — ) 38+2л = — ~58+ба!. 3 20+4п 0 о,39-» 5а(' Точные значения по (б) рр 38,3+5,7 л 3072 Е7 57,6+6,4 л 38,3-» 5,7 п Опорная реакция условной балки, равная — ХВ!и>: 2, определяет угол наклона касательной к упругой линии на опоре. Е В'„, РН Р!о — — (42+ бл)»точное значение по (б) х 2 7бб Е.7„ 7бб Е7о Х (40+8п)», Заметим, что прн п=1, когда упругие грузы становятся точными, прогибы балки, получаемые по упругим грузам, совпадают с точнымн значениями.
2) Х= (!ХгХг Х„!) — матрица столбец (вектор) неизвестных; 8) 19 = ~(Л„)~ = ~~Л, Д, Л„~~ (19.58) — матрица столбец свободных членов б„= б„+ йм+ Ла,. (19. 54) Если основная система разбита на ! участков (для рам-стержней) и перемещения определяются только прн учете изгибающих моментов, то (19.52) 47 = М'.А М, (19.55) Мы Маг' ' ' Мгл М„М„М,л (19.56) 1) М= где М!1 М!г ' ' Мгл — прямоугольная матрица из г строк н л столбцов, столбцы ко- торой состоят из столбцов единичных моментов Мм от Хд= ! (й=1, 2, ..., а) на 1-м участке (1=1, 2, ..., !), определяемых в за- висимости от условий по (!9.11) или по (19.16); А, О О О О О О А, О О О О 2) А= (19.57) О О О О О А, (19.59) где 1) М,=/(МмМ„" М„!! (19.60) — матрица столбец из матриц столбцов суммарно-единичных 22а †!284 зз! — диагональная блочная матрица податливости из матриц податливостей на отдельных участках, записываемых в зависимости от условий по (19.12), или по (19.!7), или по (19.!9); 3) М' — транспонированная матрицаМ [см.
(!9.56)). (19.58) Поскольку Ьг =б ь, то для сокращения вычислений вторая строка матрицы (19.58) может умножаться только на столбцы матрицы (19.56) без первого; третья строка матрицы (!9.58) может умножаться на столбцы матрицы (19.56) без первого н второго и т. д. Заметим, однако, что полное перемножение упоминаемых матриц доставляет проверку взаимных коэффициентов. Проверка матрицы В производится по равенству (М,) (М,)=М, А.М„ моментов на отдельных участках, определяемых в зависимости от принимаемого вида матрицы А (19.57) по формулам; М =~(М М М" )~ (19. 61) или ~(Млеы МпРав~) Рр — М' А Мр (19.62) (! 9.63) нм ()и' ' 'яйся 1ыбл" 6ь* !5. 1. р.. бд — коэффициенты влияния по (10.13) — (10.15).
Изгибающие моменты в заданной системе от нагрузки опре- деляются по матричному равенству =М Х+М„, где М вЂ” матрица по (19.56); Х вЂ” матрица столбец по (19.66); М~~~ — матрица столбец по (19.64). Проверка полученной эпюры в матричной форме: (М,) (М,) =М; А М,, где М,' — транспоиированная матрица (19.60); А — матрица по (19.57); Мр — — ((М,рМтр М, )( (19.69) — матрица столбец из матриц столбцов моментов Мг на 1-м участке, записываемых, как (!9.61) или (19.62) с заменой там Мм на Мо.
332 (19.67) (19.68) где М и А соответственно по (19.56) и (!9.57), а М = ((М, М .М, ~! (19.64) — матрица столбец из матриц столбцов моментов Л4",, на отдельных участках основной системы, определяемых по формулам, аналогичным (19.61) или (19.62), с заменой там Мо на М;р. Проверка матрицы Рр. (Мр) (М,) = М, А ° Мр, (19.65) где М„А н Мр соответственно по (19.60), (19.57) и (19.64).
В соответствии с (!9.50), (!9.55) и (19.58) Х= — Р-'Р,= (М А М)-'. (М А М',). (19,66) Обратная матрица с переменой знака: Если расчет производится на несколько раздельных нагрузок, то матрица столбец Мрс (!9.64) превращается в прямоугольную матрицу с числом столбцов, равным числу нагрузок. Пример 19.7. Построить эпюру изгибающих моментов в раме (рис. 19.9). Основная система и необходимые для расчета эпюры при 19 л + .0 = О. (Й,/ хчо ' е у/ч з! Ур ! (м,! дч Рис. !9.!О Рис. !9.9 Составляем матрицу,0 по (19.55), считая каждый стержень рамы за участок и применяя для матрицы А, формулу (19.19): !9Е.!~! 2~~ 24ЕЛ !! 1 2!! ОЕ~ '11 2)! '1 0 0 0 0 и' 19=10! 100 — (, )00011 1 После упрощения записи !Оооо 0= — 01100 — ~' 00011 1 (а) ззз учете только деформаций изгиба показаны на рис.
19.10. Канонические уравнения по (19.50) 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 !4 ~4 1!! 8 4 0 0 ~0 4800 0 0063 0 0036 0 0 0 0 0 12 0000 6 0 0 0 0 6 12 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 '4 4 Раскрываем матричное равенство, производя умножение слез направо: 8400 45 91 19= — 48 63 — 4,5 — 9 0036 18 18 59 — 11 54! — — 11 83 — 42~. 4ЗЕ2 54 — 42 168 (б Поскольку изгибающие моменты в эпюрах непрерывны, то мож- но матрицы А; в (а) наложить углами, а моменты на границах участков записывать один раз.
1 0 0 0 1 0 0 0 1 /э /4 8 4 0 0 414 3 0 0 318 6 0 0 612 100 Р = — 0 1 Π— з/~~. "Е'О 01 (в) 59 — 11 54 = — ~ — 11 83 — 42 совпадает с (6). 43 е1 54 — 42 168 Матрицу !9е составим по (19.63). Поскольку эпюра Мр имеется только на стержне (2-3), то мат- рицу Рр составим только по этому стержню, разбивая его на три участка: А,=А,=Аз=.— 000000 322!10 011223 1 !2Е2 Э =— ! 3 334 1 0 0 О 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 /4 -/41 О 4 О 4 0 0 !2 = — 4 14 — 1,5 — 9 ° 48ЕУ ~0 3 24 И 0 0 4 3 — 3 4 210000 120000 002100 00!200 000021 0000!2 0 2Р 2Р 2Р 2Р 0 о !~ 36Р ~. 36Р 000000 875421 124578 ! ЗбЕЗ 1 36Е./ Канонические уравнения в числах х, х, х, 59 — 11 54 — 11 83 — 42 54 — 42 168 о 48Р 48Р Обратная матрица — О-', найденная по (!0.13), будст — 12180 420 -4020 420 †69 †18 †40 †69 †47 0,0008297 0,007942 — 0,01382! — 0,003722 — 0,003722 — 0,0094357 — О 1 606 !60 — 0,024063 0,0008297 0,00?942 Значения неизвестных: — 0,024063 0,0008297 0,007942 0,0008297 — 0,013821 — 0,003722 0,007942 — 0,003722 — 0,0094357 0 48Р 48Р 0,4210416Р— 0,842064Р— 0,06315696Р Вычисляем моменты Мр в точках 1, 2, а, Ь, 3, 4 по (19.671! 0,42! 04Р— 0 84206Р + — 0,63157Р Эпюра построена на рис.
19.11. 1 0 0 О 1 0 О !з ~1з !з !з 0 0 1 зу з7 о 2Р 2Р 2Р 2Р о 0 0 2Р 2Р 0 0 0,42104 — 0,84206Р 1,2281!Р 1,29826Р— 0,63157Р 0,31 580Р (М,).(М,)=!(! !1! ! ! ! !1!!!Х Ъ2Е3 !!1 2!! —.'.!Л И З )(2 1 ! (нули) (нули) 24ег ~! 1 2)! бе.г !! 1 2(! Рас !9.! ! После наложения угловых значений матриц А; и исключения цвойной записи моментов Мл на границах участков (м,) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
