Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 16
Текст из файла (страница 16)
8.8, б). Задача 8.10. Для рамы предыдущего примера определить изменение прямого угла между горизонтальным сечением стойки в точке А (сечение ! — 1 на рис. 8.8,а) и вертикальным сечением ригеля в точке Е (сечение 2 — 2). Ответ: Лге= ' рад. !2,25 г' Пример 8.1!. Рама с зашел)ленныхн! опорами имеет разрез по оси симметрии. В разрезе приложены групповые (парные) силы Х=1, У=1 и 2=1 (рис. 89,а). Найти расхождение по горизонтали концов рамы у разреза от каждой групповой силы в отдельности 3!О б) Х=г «=1 Оигг 4м 4м Рис. 8.9 Решение Перемещения от единичных сил принято обозначать через 6. Искомые расхождения (перемещения в направлении Х) от единичных групповых сил Х, У и Х соответственно будут бхх, бхт и бгг. Действительные состояния от каждой групповой силы изображены на рис. 8.9, б, в и г.
Они дают эпюры Мх, М; и М,. Для всех трех перемещений нужно взять одно вспомогательное состояние. В данном случае оно совпадает с действительным состоянием от Х=1 (рис. 8.9, б). Таким образом, для нахождения требуемых перемещений нужно эпюры действительных состояний Мх, М„и Мг поочередно умножить на эпюру Мх вспомогательного состояния. Используя симметрию системы, получаем: б,„=(М„) (М,) =О, так как произведение эпюр левой части равно произведению эпюр правой части, но с обратным знаком: 2 г4.5 1 44 бхг (Мг) (Мх) = ег ( — '+ 4 31' 1 =-— Задача 8.12.
Найти перемещения бит, бтг, бтг, бгъ бгт и бгх рамы, изображенной на рис. 8.9. 111 Ответ: Пример 8.13. Вычислить площадь эпюры прогибов простой балки от равномерной нагрузки д (рис. 8.10,а). Решение ! Площадь эпюры прогибов й„= )' рс(г можно представить о как работу равномерной нагрузки а=1 вспомогательного состояния (рис. 8.10, б) на прогибах действительного состояния, выраженную через внутренние силы: 1 й„=- ~ ~фг у = ~ — Мс)г. а) и=! Рис.
8.10 Рис. 8.11 Так как обе эпюры М и М криволинейные, то подставляем Ч! дги — ! ги значения ординат М= — г — — иМ = — г — — и интегрируем: 2 2 2 2 ! й„= ~ (!г — г')' с(г = д!" 4Е/ 120Е2 о Пример 8.!4. Кривой брус малой кривизны очерчен по дуге четверти окружности радиуса г и нагружен вертикальной силой Р на конце (рис. 8.11).
Определить перемещения по вертикали бее, по горизонтали Л.те и угол поворота Лги конца бруса. Оценить влияние продольной и поперечной сил на величину перемещений, если сечение бруса — прямоугольник с высотой Ь =— !О 1!2 коэффициент неравномерности касательных напряжений м=1,2; модуль упругости 6=0,4Е.
Решен не Внутренние силы действительного состояния Мр — — Рг(! — сова); Яр — — — Ряпа; Ир = Рсова. Для определения вертикального перемещения берем вспомогательное состояние с вертикальной силой Р=! и находим; Мр = т(1 — сова); Яр = — 51па; Ир —— сова. По формуле (8.1), полагая г(в=г1!а, получаем -,./2 мв Рт' 2 Рг Ь = — ~ (1 — сова) г(а+р — ) в!и'а1(а+ Е.г,) бР „~ Рг + — ) сов а11а. ЕР,) И После интегрирования находим: Вынося за скобки общий множитсль ,г' ав и подставляя в=1,2, т= !Ой и Р= — = — (для прямоугольнн- Р 12 ка), получаем: Лрр — — (544 + 3 + 1).
Отсюда видно, что влияние Я и У на величину Арр составляет — 100(1% по сравнению с М. 3-1-1 544 Для нахождения Лхр и Лзр берем раздельно два вспомогательных состоянии: с горизонтальной силой Х=! и с моментом 2=1. Соответственно имеем: Мх = гяпа; Я = — сова; У = — япа; Ма=1; !',! =0; о' =0. Подставляя эти результаты в формулу перемещений и интегрируя, получаем: Ргэ Рт Рг Рг' ! н Ь = — +)1 — —;Л = — ' — — 1). х' 2Е,Г 20Р 2ЕР ' ~~ Е! (, 2 113 Учитывая заданные значения О„р и г, находим: Лх = (1200+ 3 1). Влияние (,! и Ж на величину перемещений незначительно.
Задача 8.15. Бесшарнирная полуциркульная арка имеет р рез посередине, в котором приложены групповые силы Х: У=! и Л=! (рис. 8.12). Найти перемещения Ьхз, Лте и Лх~ равномерной нагрузки д на всей арке. Влияние Я и й! не у тывать. (~~! шП~14 )шш' ~2с —— ? Рас, 8.13 Рис. 8,12 Ответ: Л =0;Л 4Е3 Задача 8.16. В арке предыдущей задачи (рис. 8.!2) спя нагрузку и найти перемещения бхх, бгг, 6хх, 6х,,бхх и 6, г ~ изгиба парными силами Х=1, У=1 и 2=1.
Ответ: 2гс г я 6 =6 = — — ( — — 1); 6 =6 =О. хх Лх Еу ~ 2 ) ' га ху Пример 8.17. Кривой брус малой кривизны на двух опора нагружен равномерной нагрузкой д, очерчен по параболе, опрс 47 деляемой уравнением у= — г(! — г), и имеет переменное сече 12 гю нис с моментом инеРции 4'=, где 44 — момент инеРции сРед соя а него сечения; а — угол наклона касательной к оси брус; !!4 (рис. 8.13). Найти горизонтальное перемещение правой опоры бруса без учета влияния О и У. Решение Берем вспомогательное состояние с горизонтальной силой Х=! на правой опоре.
Горизонтальное перемещение правой опоры вычисляем по формуле (8.1): хР ! ЕУ о Подставляем сюда з(! — 2); 'Их =- )у =- — з(( — г); 4! 2 1г дг дг или — =— е,г е.г, сЬ =- с!г сог а и интегрируем Л = ) 3 (1 — 2) с(з=- 24( Г г г 41гг 1'ЕД~,) 15Еуо Задача 8.18. Найти прогиб посередине Лгп и угол поворота на левой опоре Лг, от нагрузки д в кривом брусс, изображенном на рис. 8.13.
5414 41г Ответ: Л = и Л .= (по ходу часовой стрел584ЕГг г~ 2452, ки), получаются, как в простой балке. Пример 8.19. Ферма (рис. 8.14,а) нагружена тремя равными силами Р. Жесткость ЕЕ всех стержней фермы одинаковая. Опредслитгп !) Лгн -- вертикальное перемещение узла 1; 2) Лгр — угол поворота стсржня 2-3; 3) Лг„— изменение угла между стержнями!-2 и 3-4. Решение 115 Перемещения в ферме от нагрузки согласно (8.4) определяются по формуле Для этого во всех стержнях фермы находим продольные силы Лср действительного состояния и продольные силы Ух вспомогательных состояний.
Вспомогательные состояния, соответствующие трем искомым перемещениям, изображены на рис. 8.14,б — ьч !) в направлении перемещения Л~р приложена сила К~=1; 2) в направлении угла поворота стержня (Лги) при- Р е) Рне 8.14 1 ло'кен момент Мг=-!, реализованный парой сил К,== — на )г.з концах стержня; 3) в направлении изменения угла между стержнями (Лге) приложены два взаимно противоположных сномента 1 Мз=1, реализованные парами Кз= — и Кз =— 1ьг ' 13.4 Найденные от нагрузок каждого состояния продольные силы ~Ар, )))и Уг н Лз записаны в табл.
8.1. Беря для каждого стержня произведения Л) ' 1 и суммируя их по всем стержням фермы, ЕР' получаем соответствующие перемещения. Выполнять это удобно в форме таблицы. Знаки плюс в Л~е и Лгя обозначают, что узел 1 (рис. 8.14, а) переместился вниз, а угол 3-4-4 увеличился, что совпадает с направлением сил К1 и Кз. Знак минус в Лге обозначает, что стержень 2-3 повернулся не против, а по ходу часовой стрелки, т. е. Лгн не совпадает с направлением сил Кг. Задача 8.20. Определить угол поворота стержня 2-4 (Л|е) и изменение угла 1-3-4 (Лг„) в ферме предыдущего примера (рис.
8.14, а). Ответ: 7! Р Л =- — —, по ходу часовой стрелки; 36 ЕГ 14 Р Л = — . —, в сторону уменьшения. 3 ЕР 116 Таблица 8.1 ! Ф, ~ ! , Ф, !в Ф,— — Р! ар Ф !и, 1 22 стер- жевь 7вм о ( о 4 ' 64 Р 3 9 ЕР !6 Р 9 ЕР 3 4 — — Р 3 !25 Р 36 ЕЕ 5 12 5 — Р 3 125 Р 9 ЕР 5 3 1-3 о 1 о 1 0 4 16Р!1 3 Р 2-3 4 ЕР 16 Р 9 ЕР 4 64 Р 3 9ЕР 4 — — Р 3 3 9 ЕГ~ 125 Р 4 15 5 — — Р б 5 24 100 Р 144 ЕГ 90 ЕР 5,7~ 125 Р 3 ~6ЕР р — Р 2 125 Р 5 24 48 ЕР 18 Р 16 ЕР 3 — Р 2 43 Р!~ 3! Р Лв Лз ° = 18 ЕР~~ ! 6 ЕР— !27т 881 атр =ать ~!='— ЕЕ 18 51 в 2) 1=1 г Т в!, О~ ! 2Р 5Р 2Р сь 43 а еъ!"ь .о в' е,~ ! ее!ее ер в!'ъ ,О' Рис. 8.15 Пример 8.21.
Нагрузка фермы и длины ее стер!иней постоянного сечения даны на рис. 8.15,а. Найти полное перемещение узла А. 117 Р е шеи ие Полное перемещение точки А дает проекции на горизонтальное Л,Р и на вертикальное Л,Р направления. Определяем сначала эти составляющие полного перемещения. Вычисляем продольные силы действительного и двух вспомогательных состояний и надписываем их на схемах фермы (рис. 1 8.15,б — г).
Составляя суммы произведений — Юр ЛЧ по всем ЕР стержням с учетом знаков, получаем: Л =- — (4Р— 4+5Р— 5+ 5Р 1 8+ — Р— 4 т 1 / 4 8 32 8 1Р ЕЕ~ 3 3 3 3 3 3 3 / 9 ЕР Л = ~( 4Р 1 4 + — Р 1 4) = — ° — . 1 г 32 1 !76 Р ЕР (, 3 ) 3 ЕР Полное перемещение узла А Л = ~~' Лт + Л' = )7 2543'+ 528' = Задача 8.22. Найти угол поворота Лхр стержня АВ фермы, изображенной на рис. 8.15, а. 284 Р Ответ: Л = — —, по ходу часовой стрелки.
9 ЕР Задача 8.23. Ферма нагружена силой 5Р по направлению диагонали С0 (пунктир на рис. 8.15,а). Определить горизонтальное перемещение узла С. Р Ответ: Лся=208 —, вправо. ЕР Пример 8.24. В полураскосной ферме вычислены напряжеУр ния ар= ' кг/см' от нагрузки и надписаны на стержнях (рис, Р 8.16,а). Определить взаимный угол поворота стержней 1-2 н расхождение точек 3. Решение Вычисляем усилия в стержнях от единичных сил вспомогательных состояний и выписываем их на схемах (рис. 8.16,б, в).
Стержни с нулевыми значениями усилий изображены пунктиром. — 81р — ор Составляя суммы ХУх Р1= Хйг» Р ! и используя симмет- ЕР Е рию системы, получаем: Л,р — — 2 ~1 1000 — + — (1200+ 600) 118 — 1 500— ! 61 1 4500 2 4)Е Е Л.,р — — 2 [ — (1600 — 1200) — + — (1000 + 600) — + + — (1600 — 1000)1— 2 !Е Е Задача 8.25. Определить вертикальное перемещение опоры В в раме, если температура изменилась от 0 до +20'С внутри и до — 40'С снаружи рамы; коэффипиент линейного расширения (1=12 !0- Сечение и размеры рамы даны па рис. 8.17,а. Решение Перемещение от температуры согласно (8.2) при постоянной высоте Ь сечения стержней л. =Х-„-~~(1, й + 1,й,)-.+ (! -1,)-я! р и 1 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
