Киселёв В.А. и др. - Строительная механика в примерах и задачах (1061790), страница 10
Текст из файла (страница 10)
У к а з а н и е. Составить аналитическое 'выражение для изгибающего' момента в поперечном сечении арки с абсциссой х и б4 приравнять его нулю. Тогда уравнение рациональной оси арки будет: у = [4хг (а — а,) — бха(+ 3(г(а+ а,)). б~ (д+ юг) Положив д=а„=сопз1, получим уравнение рациональной оси арки для сплошной равномерно распределенной нагрузки: у = — х(! — х). 4/ Р Задача 5.10. Построить линии влияния усилий в затяжке Н и подвесках 5! и Зг.
Построить линию влияния изгибающего момента в сечении А полуциркульной арки (рис. с 5.!О,а). а! Ответы даны на рис. 5,!О,б — г. Пример 5.11. Для заданного сечения гг трехшарнирной арки (рис. 5.! 1,а) требуется: б! бб, г) б Мбгм! !(Ъ ! г Рнс. 5.9 Рис. 5.!О а) определить все внутренние силовые факторы (равнодействующие внутренних сил) М, Я, У и М""', реакции опор и краевые нормальные напряжения аналитически и графически; б) построить линии влияния реакций опоры А в косоугольных и прямоугольных составляющих )гл, Лл, У*„и Н, а также линии влияния М, )У, Я и Мма в сечении А; в) определить по линиям влияния величины )гл, ЕА, )г", Н, МА, Мм Яь и М~ г) сопоставить значения величин реакций, внутренних сил и напряжений, полученных аналитически, графически и по линиям влияния.
Расчет произвести по следующим данным: 1) ось арки очерчена по параболе, уравнение которой т у= — х; 1~ 2) основные размеры: 1~=8 лц !т=б м; а=2 м; г=б лк с= =4 лц хь= — 2 лц 3) поперечное сечение й прямоугольное, с размерами йц= = 0,9 .и и Ьл = 0,45 м; 4) внешнис силы вертикальные Р=16 т и а=!1 т)л~ (рис.
5.11, а) . Решение !. ГЕОМЕТРИЯ ОСИ АРКИ Пользуясь уравнением оси арки, вычисляем ординаты для различных значений абсцисс и результаты сводим в таблицу координат (см. табл. 5.1). Таблица 51 — 8,Π— 6,0 +6,0 — 4,0 — 2,0 +2,0 +4,0 6,0 3,38 3,38 0,375 0,375 1,5 и, и По данным табл.
5.1 вычерчиваем ось арки (обы шо в масштабе 1: 100 или 1: 150) с нанесением пятовых и среднего шарниров и заданными силами (рис. 5.1!,б). Находим геометрические параметры заданного сечения хц= — 2 лц ух=0,38 л~ и тангенс угла наклона касательной к оси арки в точке Й с осью х по формуле ц'у 2т 2г 26 1я а = — = — х или 1я ал =-- — хл = — 2 = — 0,375. ах 1 8 1 Площадь поперечного сечения Рл = йл Ьх — — 0,9 0,45 = 0,405 мц; момент сопротивления л 6 6 2. АНАЛИТИЧЕСКИИ РАСЧЕТ АРКИ Определение опорных реакций в прял1оуго.льных и косоуго льных составляющих. Заменим равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей О=а(!л — а) =11(6 — 2) =44 т с точкой приложения в Р с абсциссой хо=-4 м (рис.
5,11,а). 68 Разложив реакции в пятах А и В на вертикальные составляющие (балочные вертикальные реакции) и по направлению линии пят (арочные силы), составим для определения У, и Уа уравнения равновесия: Х Мв = О; ХМ„= О; Хмв = Ул'14 Р'10 Р'6 б'2 = 0 Хмл —— Ув 14 — Р 4 — Р 8 — 0 12 = О, откуда Ул = 24,6т и Ув — — 51„4 г. Делаем проверку, составляя сумму проекций всех сил на ось у: ХУ = 0; — 51,4 — 24,6 + 16 + 16 + 44 = О. Разложив реакции в пятах на вертикальные и горизонтальные составляющие (рис. 5.11,б) (прямоугольные составляющие Ул и У* — арочные вертикальные реакции н Н, =Н,=Н— распор), определим распор Н по формуле Н= = =31,4 т, 3,75 где М","- — балочный момент, равный изгибающему моменту в сечении С простой горизонтальной балки с пролетом, равным пролету арки: 1=1,+16 М~а" = Уд ( 1, + а) — Р(с + а) — Ра = 24,6 (8 + 2)— — 16 (4 + 2) — 16 2 = 118 г м; 7 = г — Ус — ( 1, + а) !д Р = 6 — 0,375 — (8 + 2) 0,187 = 3,75 м, здесь !Я()= = ' = 0,187, В+!а 8+8 Арочные силы Ял=_#_а=Е определим по формуле Я= = ' =321 т.
сох(1 0,98 Арочные вертикальные реакции Уд и У' находим по формулам: Ул = У„+ Я„з!п р = У„+ Н !и р = 24,6 + 31,4 0,187 = 30,5 г; У' = Ув — Яв з!п р = Ув — Н !8 ~ = 51,4 — 31,4 0,187 = 45,5 г. Проверка: Х у = 0; — 30 5 — 455+ 16+ 16+ 44 = О. 69 Величины реакций в пятовых шарнирах находим по формулам: )7д — — У У'„'+ На = У 30,5'+ 31,4' = 43,8т; !св = ~/ Ув~+ Нг = ), 45 5» 1 31 4г 55,1 т. Определение внутренних сид в сечении й (рис.
5.11, б). Изги- баюгций момент в сечении А определяется по формуле М„ = М~"' — Н1» — — 115,6 — 31,4 4,503 = — 25,5 т м, где М»Я' — балочный изгибающий момент для сечения и; определяется из соотношения М~~'" = Уд( 1,— х ) — Р( х — х») = 24,6(8 — 2)— — 16(4 — 2) = 115,6 т м! 1» — расстояние по вертикали от центра тяжести сечения А до опорной линии (линия пят); 7» — — т — у» — ((г — х») 1и )! = 6 — 0,375 — (8 — 2) 0,187 = 4,503 м. Поперечная сила в сечении й = (Ягг + Н (ц р) соз а — Н яп а = (8,6 + 31,4 0,187) 0,934— — 31,4.0,354 = 2,5 т, где Я~~" — балочная поперечная сила в сечении и; Яггг = Уд — Р = 24,6 — 16 = 8,6 т; соз ив 1 1 — — 0,934; »т+ Ф'.— гтд;Э~г япив 1е а 0,373 — — 0,354. У 1-1- 1ег а )' 1+ 0,373» Продольная сила в сечении й 7»1 = (Яв»" + Н18~) япа+ Нсоза = (8,6+ 31,4 О,!87) 0,354+ + 31,4 0,934 = 34,53 т.
Следует обратить внимание на знак яп а и сова. Чтобы получить правильное значение № и О» для левой части арки, 3!па и сова надо брать со знаком плюс. Для правой части арки сова принимается со знаком плюс, а 3!па берется отрицательным. За угол а принимается острый угол между касательной к оси арки и горизонталью. При атом сжимающая продольная сила для арки считается положительной. Для определения ядровых моментов М"гг и М"гг найдем положение ядровых точек А, и йг, для чего построим ядро сечения поперечного сечения арки (рис. 5.11, в).
70 Размеры ядра сечения для прямоугольника составляют по А Ь главным осям — и —, откуда з з ' Ьйг=йй,= — ~= — '=0,15 м. б 6 На рис. 5.!!,б показаны ядровые точки й~ и йэ с искажением масштаба. Алгебраические суммы моментов относительно этих точек левых (или правых) сил, действующих на арку, и будут ядровыми моментами для сечения Ьл М,"'Р = (IАД1 — ОА (Ь1 Ь() — рь,; Здесь (й~й;) — длина отрезка й~й,' на рис. 5.!1, б; (А~А, ') — то же, отрезка Й,А,'; Л 0,9 а, = 1, — хл — — зш ал = 8 — 2 — — '0,354 = 5,947 и; 6 6 аз —— — а, + ( Ь,' Ь') = а, + — з!и а = 5,947+ — ' 0354 = 6,053 м; А 0,9 Ьг = х — хл — — япа = 4 — 2 — — '0,354 = 1,947 м; А 0,9 6 б Ьэ = Ь, +( Ь; Ь,') = 1,947+ — ' 0,354 = 2,053 м; 3 ( Ь Ь') = г — у + — соз а = 6 — 0,38 + — '0,934 = 5,76 м; А 0,9 б 6 (Ь й') = (Ь,й;) — — сока = 5,76 — — '0,934 = 5,48 м.
0,9 Подставляя числовые значения сил и плеч в формулы для ядровых моментов, получим: М'"г = 30,5.5,947 — 31,4 5,76 — 16 1,947 = — 30,67 т м; М„"а = 30,5 6,053 — 31,4 5,48--16 2,053 = — 20,32 т м. Ядровый момент можно определить и другим способом — через изгибающий момент и продольную силу (рис. 5.11,в): М"г = М вЂ” У вЂ” = — 25,5 — 34,53 — ' = — 30,67 т и; А 0,9 * б б М"'а = М + )У вЂ” = — 25,5+ 34,53 — ' = — 20,32 т м. Ь 0,9 б б 3.
ГРАФИЧЕСКИИ РАСЧЕТ АРКИ Определение реакций (рис. 5.12,а). Предварительно определяем равнодействующие нагрузок, приложенных к левой и правой частям арки )г'„, и Р„р. К левой части арки приложены две силы Р=16 т. На рис. 5.12,б построен силовой многоугольник 1-2-3 с полюсом О и веревочный многоугольник со сторонами а, 71 Ь и с. Из силового многоугольника определяется величина равнодействующей левых сил Йп„=Р+Р=16+!6=32 т и из веревочного многоугольника — направление Й„„которое должно пройти через точку пересечения крайних сторон веревочного мно- Влы лп На Рнс. 5 )2 гоугольника а и с, параллельных соответственно лучам 0-1 и 0-3 силового многоугольника. Равнодействуюшая правых сил Я,р — д 4=11 ° 4=44 т и приложена посередине загруженного участка.
72 При действии на арку только силы Вирр направление реакции В „должно пройти через шарнир С по линии ВСРь а реакция А „, — по линии АРь Построив силовой треугольник 1-2-4 (рис. 5.12,6), получим реакции А „, и В„„. Здесь 2-40ВР, и 1-411АРь При действии на арку силы 1с„р направление реакции Арр пройдет через шарнир С по линии АСРН а реакции В„р — по линии ВРь Отложив от конца силы 4(,,„,, на силовом многоугольнике Я„р, проведем через начало и конец силы В„р линни 3-ЯВР, и 2-51!АР„получим реакции А„р и В„р. Полные реакции А и В получим графическим сложением сил Арр и Авев и Вдр н Врер.
Наконец, разложив реакции А и В на вертикальные н горизонтальныс составляющие, определим )тд — — 30,7 т; Н,=Нв=Н =31,2 т. При разложении на косоугольные составляющие получим: 2 „= 32 т; 1~,, = 24,8 т. 4. ПОСТРОЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА РАВНОДЕЙСТВУЮЩИХ Вычерчивается ось арки в прежнем масштабе (рис. 5.12, в).
Равномерная нагрузка заменяется сосредоточенными силами 0=1! т (четыре силы). Затем строится силовой многоугольник, обходя арку по часовой стрелке, с полюсом О и полюсным расстоянием Н=3!,4 т. Это построение можно совместить с построением силового многоугольника на рис. 5.12,6. Лучи О-а, 0-1, 0-2 и т. д. силового многоугольника представляют равнодействующие левых (правых) сил для различных сечений арки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
