Метод конечных элементов (1061787), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Если отрезок времени Л1 достаточно мал, то описанный процесс отражает истинное поведение материала и можно перейти к расчетам для следующего отрезка времени. Если изменения деформаций относительно велики, то можно повторить этапы «б» и «в», используя для определения (ЛвД~ уточненные средние значения напряжений. Осуществление таких итераций иногда желательно, но редко требуется более двух циклов.— Ясно, что устойчивость описанного процесса зависит от выбранной величины отрезков времени и для каждой задачи необходимо ее проверять. Здесь уместно сделать одно замечание относительно эффективности вычислений.
Если упругие мгновенные свойства мате-риала не изменяются во времени (и на них не влияет изменение во времени температуры), то очевидно, что многократно будет применяться один и тот же метод нахождения упругого решения. В таких случаях удобнее хотя бы частично обращать матрицы, встречающиеся при решении, чем использовать итерационные методы .решения. И наоборот, если упругие свойства меняются во времени и на каждом отрезке времени приходится решать существенно различные задачи теории упругости, то целесообразнее использовать итерационные методы решения, принимая за начальное приближение полученные ранее значения перемещений.
Основной проблемой, возникающей при использовании описанного метода, является построение алгоритма определения приращения деформации (Ьв.). Она рассматривается в последующих разделах, 1В.7.2. Ползучвсть зависящая от предыстории деформирован~я (вязкоупругость) (в,) =(О) '(а), где каждый элемент матрицы вязкоупругости Щ-' при использовании дифференциальных операторов имеет вид ао + а1 (й(Я + ~~г (дЧЖ~) + ° * ° ь,+ь,(~уз)+ь,(аЧае)+... ' Если эти разложения конечны, то„выделяя мгновенные упругие эффекты, соотношение (18.37) можно представить в виде суммы элементарных дробей А, А» гю др~+Н +,ц у+д + (18.38) Как известно, эта сумма характеризует поведение показанного на фиг, 18.14 набора элементов Кельвина (хотя физически Явления вязкоупругости характеризуются тем, что скорость деформации ползучести зависит не только от мгновенного напряженно-деформированного состояния, но и от всей его предыстории-.
Таким образом, для определения приращения деформации (Ле„.) на каком-либо отрезке времени надо знать напряжения и деформации во все предыдущие моменты времени. Поскольку в процессе решения задачи. они вычисляются, в принципе затруднений не возникает, Однако даже самые большие ЗВМ не в состоянии хранить всю историю в оперативной памяти, а многократное использование дополнительных запоминающих устройств требует много времени. Поэтому использование этого метода экономически невыгодно. Метод, описанный сенкевичем и др. 1311 для задач ликвйяой вязкоупругости, позволяет обойти эту трудность. Его можно обобщить и на случай решения задач нелинейной вязкоупругости. В линейной теории вязкоупругости соотношение между напряжениями и деформациями всегда можно записать в форме, сходной с используемой в теории упругости, например в виде (18.2), заменяя упругие постоянные в матрице (О) соответствующими дифференциальными или интегральными операторами 135).
Для изотропного материала вместо двух упругих постоянных можно использовать два оператора, а для анизотропных материалов может потребоваться 21 оператор. Таким образом, деформация ползучести может быть описана соотношением вида Глава 18 вязкоупругие явления. Вопрос о формулировке таких законов, согласующихся с экспериментальными результатами, еще не решен окончательно, Для иллюстрации применения описанного метода возьмем пример из работы [ЗЦ. Это задача о расчете скрепленного с металлической оболочкой цилиндра из вязкоупругого материала. Так как задача, по существу, одномерная, имеется точное решение [361.
Использовалась программа расчета двумерного состояния. Для получения решения, соответствующего 1 = 10, понадобилось 100 шагов при шаге по времени, равном 0,1 (фиг. 18.15 и 18.16). В работе [311 приведены и другие более сложные примеры. 18.7,8, Законы теории ползучести, учитывающие зависимость от напряженно-деформированноео состояния Хотя, несомненно, вся предыстория напряженно-деформированного состояния' влияет на ползучесть большинства материа- Фнг. 1815. Решение задачи о нагруженном внутренним давлением подкреп- ленном внзкоупругом цилиндре как двумерной задачи. Физически нелинейные задачи = що о, о, ~~ о, о 0,4 о, О,2 =о -О,1 -о -о, фиг, 18.16. Изменение во времени тангенциального напряжения в цилиндре, показанном на фиг.
18.15. Материал подкрепления упругий. Сдвиговые свойства внутреннего цилиндра вявкоуп-. ругве, а объемные — упругие [3Ь 361., Ревультаты совпадают с точными [36[. лов, сильно нелинейная зависимость от напряжений, характерная почти для всех металлов, позволяет записать законы в упрощенной форме, которая дает возможность оценить скорость деформации по текущим значениям переменных состояния (вчастности, напряжения, деформации, времени и температуры). Обзор таких законов сделан в работе 1371.
Деформаци[о ползучести изотропного несжимаемого матепиала можно, например, Глава И определить выражением га1 г (т) ге1ес) Га16) Р418) Ро) (о) Е гДе матРица 10ю1 — ' зквивалентна соответствУюЩей матРице УПРУ- гости с коэффициентом Пуассона, равным 0,5; е„д — вторые инварианты деформации ползучести и напряжении и Π†температу. При вторичной ползучести зависимость от времени накопленной деформации слабая и часто используется степенной закон ~38, 391 и г 1 кь)Щ ~(о) (18.42) Хотя физические аргу'н' менты в пользу таких теорий спорны, особенно относительно явной зависимости от времени, описывающей так называемое старение„их очень просто использовать в практических приложениях. Определение скорости деформации ползучести д, Ж. в любой момент времени не представляет труда, и, следовательно, приращение деформации ползучести может быть найдено просто как Л (в), = — „~ ®,М.
(18.43) Фиг. 13.17. Расчетная схема сосуда высо- кого давления с плоским днищем 133]. Внутреннес данление 3 ° 1Ю' Н,м', модуль Юнга 1,33 ° 10н Н,м', ноэффнинент Пуассона 0,3, а,= 13,3 ° 13-1ао3*3111,юа, Это выражение непосредственно используется в процессе вычислений. С приложениями метода можно познакомиться по работам . 133, 34 и 401. На фиг. 18.17 и 18.18 показаны некоторые примеры из работы ~33~. В подобных и других задачах ползучести важно достичь наилучшего компромисса между требованиями экономичности и Физически нелинейные задачи о о о о о о о в о в в зоо ооо~ .3 оьо'~, зоо ~ 3 3~~ Ф ф $ % в" ..
~ $ ооооо во~о в в о о о в в в о в о в в .г Фиг, 18.18. Изменение во времени эффективного после приложения внутреннего (октаэдрического) напряжения давления [331. 18.8. Некоторые специальные приемы решения задач ползучестн Довольно часто с помощью некоторых обобщений или упрощающих предположений удается получить достаточно точные решения, учитывающие зффект ползучести, не прибегая к трудоемким и довогостоящим методам приращений. устойчивости решения. Так, интервалы времени следует, как правило, выбирать в процессе вычислений.
Они могут значительно увеличиваться, если, как зто часто бывает, распределение напряжений приближается к установившемуся. Подходящим критерием выбора может служить требование, чтобы относительные приращения напряжений за рассматриваемый отрезок времени не превышали заданной величины 1341. Глава !8 Линейная вязкоупругость. Для однородных изотропных вязкоупругих материалов с постоянным оператором коэффициента Пуассона, используя аналогии Алфрея — Мак-Генри и решая задачу теории упругости при соответствующих эквивалентных нагрузках, перемещениях и температурах, можно определить напряжения и перемещения в любой заданный момент времени 141). Некоторые обобщения этих аналогий предложены Хилтоном ~421.
Кроме того, если деформация ползучести стремится к некоторой постоянной величине при 1- ос, то окончательное распределение напряжений можно найти и тогда, когда упомянутые аналогии нельзя применить. Например, если на конструкцию из вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, действуют не изменяющиеся во времени нагрузки и температура, то можно определить предельные упругие постоянные и свести задачу к линейной задаче теории упругости для неоднородного материала 1431. Влияние такого изменения упругих свойств на распределение температурных напряжений в реакторе высокого давления показано на фиг. 18.19, Установившаяся ползучесть.
Если при ползучести, описываемой соотношением (18.42), полные деформации ползучести настолько велики, что упругими деформациями можно пренебречь, то удается получить существенные упрощения. В этом случае скорости полной деформации и деформации ползучести одинаковы и определяющие уравнения можно записать в виде Ыа) =ж1 1.= О Р(д) [Щ ' 1о) как для изотропного несжимаемого материала, Если соотношения между перемещениями и деформациями (или уравнения совместности деформаций) продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача представляет собой задачу нелинейной теории упругости, в которой обычные деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и скорости. Решение для этих величин не зависит от времени и его можно получить любым из описанных ранее методов, не прибегая к методам приращений.
При этом напряженное состояние конструкции постоянно, а деформации возрастают пропорционально времени. 18.9. Заключительные замечания В предыдущих разделах рассмотрены общие методы решения задач при использовании сложных нелинейных определяющих уравнений и некоторые частные приложения, Ясно, что этот Физически нелинейные задачи 431 О А 1,15 110 Фиг. 18.20.
Характеристика различных элементов при упругапластическом рас- чете плоского напряженного состояния образца с выточками. 77ЛаетиЧЕСКал ЗОНа: а-ТРЕУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ, Огп/д= 1,166 И 1,226; б — ЛИНЕИНЫй ЧстЫРЕХ- угольник. о ~6 1,186 и 1,2261 в — квадратичный четырехугольник. и гд 1.1661 е-кубнч- гп гп! ный четырехугольник, а 16=1,186 1о — среднее напряжение в вЫточке. 6-одноосное напряжение текучести, идеальная пластичность). Распределение напряясений в ослабленном сечении: д-упругое решение; е — упругонла- стическое решение, и 16 1,!86. Число степеней свободы ао всех четырех случаях примерно одинаково 1172 — 178). вопрос настолько обширен и практическое значение его так велико, что осветить его в одной главе невозможно.' Для различных материалов можно предложить и экспериментально подтвердить различные формы определяющих уравнений.
Как только установлены определяющие уравнения, к нам можно приспособить описанные в этой главе стандартные методы. Действительно, можно создать стандартные программы решения задач для материалов с различными свойствами, в которые характеристики, определяющие особенности поведения материала, вХодят в виде кчерного ящика», Таким образом можно рассматривать такие явления, как еязко~гластичность (пластические деформации зависят от вре-. мени) или различные задачи механики грунтов и горных пород. [44~. Необходимо еще раз напомнить, что" при решении нелинейных задач а) возможна неединственность решения; б) аариори никогда нельзя гарантировать сходимость; в) стоимость решения значительно выше стоимости решения линейных задач.
Для преодоления первых двух трудностей необходимо понимание физической сущности задачи, а стоимость может быть снижена в результате дальнейших усовершенствований методов. В приведенных примерах примЕнялись лишь простейшие конечные элементы. Очевидно, что при использовании этих методов можно применять любые функции формы элементов. Последние работы показывают, что использование рассмотренных в гл, 7 и 8 сложных элементов даже в двумерных задачах может дать значительную экономию [45~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
