Метод конечных элементов (1061787), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Таким образом, основываясь на методе Ньютона — Рафсона, получаем еще один метод решении нелинейных задач с использованием переменной жесткости. Он отличается от описанного в подразд. 18.2.2 тем, что здесь применяется не секуи1ая, а касательная жесткость. Этот метод гораздо удобнее на практике, так как физические законы обычно формулируются с использованием касательной жесткости. Однако если вместо касательной матрицы использовать постоянную матрицу, соответствующую начальной упругой жесткости, то метод Ньютона — Рафсона ') (фиг.. 18.2,6) становится ') Этот метод назыннетсн моднфнциронвнным методом Ньютона — Канторовича.
— Прил. ред. 402 Глава 18 тождественным ранее описанным методам начальных напряжений и начальных деформаций. Итак, для методов, основанных на простых физических соображениях, имеется математическое обоснование'). Ясно, что при использовании модифицированного метода Ньютона — Канторовича потребуется большее число итераций„ хотя в целом, как указывалось ранее, метод более экономичен, поскольку необходимо обращение только одной матрицы жесткости. Может оказаться, что оптимальный в экономическом отношении вариант получится при удачном сочетании обоих методов — постоянной и переменной жесткости. Таким образом, существенным в каждом нелинейном методе является способ непосредственного вычисления вектора Щ, характеризующего неуравновешенность сил. Вектор Щ„можно рассматривать как недравновеиюнную невязку сил.
Таким образом, он играет важную роль в вычислительном процессе. К описанным методам решения могут применяться любые процедуры ускорения сходимости. 18.4. Пластичность 18.4.1. Обидная теория Этот частный вид отклонения от линейно-упругого поведения хорошо известен для металлов и подробно изучен с теоретических позиций ~4 — 7~. По существу, пластичность характеризуется не зависящим от времени необратимым деформированием, начинающимся лишь по достижении некоторого напряжения, известного как предел текучести. Поверхность текучести. Обычно постулируется и подтверждается экспериментально, что текучесть начинается только тогда, когда напряжения (о) удовлетворяют критерию текучести Р((а), х)=0, (18.18) где х — параметр упрочнения. Условие текучести можно наглядно представить в виде поверхности в и-мерном пространстве напряжений, положение которой зависит от мгновенного значения параметра к (фиг.
18.3). Закон пластического течения (ассоциированный закон). Мизес ~4) первый предложил соотношение, связывающее приращения пластических деформаций с поверхностью текучести. Различными авторами (4, 5~ были высказаны эвристические сообра- ') Метод начальных напряжений фактически совпадает с описанным здесь, сслн аппроксимировать (Кт~ матрицей (Ко), Физически нелинейные задачи (18.19) Фиг.
18.3. Поверхность текучести и ассоциированный закон в двумерном пространстве напряжений. (18.21) (18.22) или 1 — ) и (а) — Ах=О, где введено обозначение дР А = — — „дх —. ди К' (18.23) жения в пользу предложенного соотношения; в настоящее время общепринятой, по-видимому, является следующая гипотеза: если 4е)„— приращение пластической деформации, то дР е1(в) =Х= д 1о) или для любой компоненты и дР е1ац р=Х д Здесь Х вЂ” неопределенный коэффициент пропорциональности. Это соотношение известно как ассоциированный закон и его можно трактовать как требование ортогональпости фМ вектора приращений пластических деформаций поверхности текучести в Р и-мерном пространстве на- !уй пряжений. де" Соотношения между полными напряжениями и де- Е(ц, о~ х) формациями.
Предположим, что изменение деформации буГМ при бесконечно малом приращении напряжения может быть представлено в виде суммы упругой и пластической частей, т. е. д ® = е1 (в), + е1 (в)„. (18.20) Упругие приращения деформации связаны с приращениями напряжения, как обычно, симметричной матрицей 1Ц. Таким образом, соотношение (18.20) можно записать в виде Н(в) =Щ 'И(о)+ д1) Х. При пластическом течении напряжения находятся на поверхности текучести, определяемой равенством (18.18). Дифференцируя его, получаем дР дР дР + е1о2+ ''* + до1 ' до2 а ''* дк Глава 18 Соотношения (18.21) н (18.22) можно записать в симметричной матричной форме дГ дП1 дР ! до, (18.24) до, до~ (18.26) Место матрицы упругости ГЩ, используемой в методе приращений, занимает упруго-пластическая матрица Щ*,р.
Она симметрична и имеет смысл независимо от того, равна ли нулю величина Л. Подробное описание теории пластичности в такой форме впервые дано в работах 18, 91. Значение параметра А. Ясно, что в случае идеальной пластичности без упрочнения величина Л равна нулю. При учете упрочнения необходимо рассмотреть сущность параметра (или параметров) х, определяющего смещение поверхности текучести. В упрочняющемся материале х определяется как пластическая часть работы при пластическом деформировании, т. е. Их=о,де~+о„де,".+ ... =(о)г0® .
(18.27) Используя закон течения (18.19), получаем Их = Х (а1г —. дР д(а) ' (18.28) Очевидно, что Х можно исключить из (18.23) и записать А = — — (о)' — ° дР дР дх д1а) ' (18.29) Это выражение позволяет определить А при известной зависимости Р от х. Неопределенную постоянную Х можно исключить (избегая при этом умножения или деления на величину А, которая в общем случае может равняться нулю). В результате получаем выражение, в явном виде определяющее изменения напряжений через изменения деформаций: Физически нелинейные задачи Соотношения Прандтля — Рейсса. Для иллюстрации некоторых понятий рассмотрим частный случай поверхности текучести Мизеса.
Она определяется соотношением Г! 2 ! 2 Р ! ( ! о2) + (о2 оъ) + (а о)) + + за; '-)- за + за~) ' — з = О, (18.30) где в общем случае трехмерного напряженного состояния индек- сы !, 2, 3 относятся к нормальным компонентам напряжений, а 4, 5, б — к сдвиговым. Из (18.30) находим дГ Зо', д~ За., 'дГ За', да, 26 " доз 26 д Е Зсгз дР Заз дР Заз да4 а даз а даз а доз 20' Штрихами обозначены компоненты девнатора тензора напряжений, т. е. (о, + о, + аз) ! — 1 Д дР' дд да ! Н' дх дн де„р а а где Н' — тангенс угла наклона кривой в точке, соответствующей а. Подставляя это выражение в (18.29), после некоторых преобразований получаем (18.31) что приводит к хорошо известным соотношениям Прандтля— Рейсса между напряжениями и деформациями.
С обобщением на случай поверхности текучести с угловыми точками можно познакомиться в работе 161. 18.4,2. Исторические замечания Поскольку в изложенной теории пластичности законы сформулированы в виде соотношений (18.25) и (18.26) для прира» щений, ясно, что итерационный процесс необходимо применять Величина а= а(х) — одноосное напряжение при течении.
Если известны результаты опыта для одноосного растяжения в виде зависимости 6 от пластической деформации е „то можно за- писать Глава И для малых приращений нагрузок. При этом можно использовать любой из процессов, описанных в разд. 18.2. В самых первых приложениях метода конечных элементов к задачам теории пластичности предпочтение отдавалось методам начальных деформаций (см., например, работы [10~ и [1Ц). Однако эти методы совершенно неприменимы при рассмотрении идеальной пластичности (без упрочнения), поскольку в этом случае деформации при заданных напряжениях нельзя определить однозначно. По этой причине в последующих работах повысился интерес к методу переменной жесткости [12 — 16~. Некоторая экономия достигалась за счет того, что для решения систем уравнений использовался метод итераций и жесткость менялась в общем итерационном процессе. Метод начальных напряжений, впервые примененный для задач теории пластичности Зенкевичем и др.
[91, по-видимому, наиболее удобен, так как любая разгрузка автоматически происходит по законам теории упругости, что позволяет исследовать циклическое пагружение. В настоящее время этот метод используется довольно широко [17). 18.4.3. Приложения метода начальных напряжений к некоторым задачам пластичности Приспособить метод начальных напряжений к решению задач пластичности довольно просто. Трудности, возникающие при этом, связаны со следующими двумя обстоятельствами: а) Соотношение между приращениями напряжений и деформаций (18.25) справедливо лишь с момента достижения напряжениями поверхности текучести, т.
е. при Р(о) = О. Если Р(о) «О, то материал продолжает вести себя упруго. б) Соотношение для приращений (18.25) справедливо лишь при бесконечно малом увеличении деформации. При увеличении на конечную величину напряжения могут выйти за пределы поверхности текучести. Для предотвращения этого после каждой итерации надо изменять напряжения так, чтобы выполнялось условие текучести. Метод, с помощью которого решены приведенные ниже примеры, состоит в следующем: а) Для приращения нагрузки вычисляются приращения упругих напряжений и деформаций. б) Для полученных полных напряжений вычисляется величина Г([о1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
