Метод конечных элементов (1061787), страница 48
Текст из файла (страница 48)
16.3, обычно является достаточно надежной. При решении задач с помощью рекуррентного соотношения, типичная форма которого задана уравнением (16.50), появляется Глава !6 необходимость вычисления матриц большого порядка на каждом шаге по времени. Если шаги по времени одинаковые и матрицы не зависят от времени, то на каждом шаге вычисления применяются одни и те же матрицы. В результате использования частичного обращения время, необходимое для вычисления на последующих шагах, может быть значительно уменьшено по сравнению с временем, затраченным на первом шаге !61. Дальнейшую экономию времени решения можно получить, уменыпая число пространственных переменных, используя эффективный метод, подобный описанному в гл.
17 (подразд. 17,4.3), или применяя анализ Хэрти 140, 411 К сожалению, это пе относится к случаю существенно нелинейных задач, таких, как задача о свободной поверхности (разд, 16,6) и другие задачи подобного характера. В гл. 18 будет рассмотрено несколько таких нелинейных задач. Специальная задача, относящаяся к этой группе задач, решена недавно в работе 1421,.
где рассматривается уравнение нестационарной теплопроводности с учетом фазового превращения (затвердевания). Подробное обсуждение этой задачи и других задан подобного рода выходит за рамки этой книги. ЛИТЕРАТУРА 1. Сгапйа11 6., Епя1пеег!пп Апа!уз1з, МсСгав-Н!11, 195. 2. Сага!ой Н. В., Юаеяег 3. С., Сопг!исиоп о! Неа1 1п БоИз, 2ги1 ей., С1агспдоп Ргезз, 1959; есть русский перевод: Карслоу Г., Егер Д., Теплопроводиость твердых тел, изд-во «Наука», 1964.
3. Ч!ззег %., А Г(п!1е Е1егиеп1 Ме1Ьод 1ог 1Ье !)е1егпппаИоп о1 Ь(оп 8Ыюпагу Тегпрега(иге О!з1г!Ьииоп апг! ТЬеппа1 Ое(огшаиоп, Ргос. Соп(. оп Ма1пх Ме(Ь. !п Ягис1. МесЬ., Ап. Гогсе 1пз1. о1 ТесЬпо1оду, Юг1дЫ Ра1- 1егзоп А. Г. Вазе, ОЫо, 1965. 4. ЙепЫеи!сх О. С., СЬеипа 'г'. К., ТЬе Г!и!1е Е!егпеп1 Ме(Ьод ш 81гис1ига1 апИ СопИпишп МесЬап!сз, !з1 ед., МсОгаи-НИ1, 1967, 5. М!зоп Е. 1, Мс1~е1! К. Е., Арр!!саиоп о! Р1п!1е Е!егпеп! Ме1Ьог! 1о Неа1 Сопг!ис1юп Апа!уз!з, Ь!ис1еаг Епя. апд Оез!пп„4, 1 — 11 (1966). 6. УлепЫеъчсх О.
С., Рагс!й С. !., Тгапз!еп1 Бе1г! РгоЫегпз — Т~чо апг! ТЬгее Итепз!опа! Апа1уз!з Ьу !зорагаше1г!с Р1п!1е Е!етеп1з, 7пФ. У, Уит. МсЖ !а Ела., 2, 61 — 71 (!970). 7. ТеггЬая! К., Рес!г й, В., Яо!! МесЬап!сз ш Епрпеег!п9,' РгасИсе, %1!еу, 1948, 8. Тог)г! О. К„Огоипд !Уа1ег Нудго!оду, %!!еу, 1959. 9. Аг1еИ Р. 1...
ВаЬгап! А. К., Х!епЫеипсх О. С., АррИсаИоп о1 Г1п!1е Е1егпеп1з 1о 1Ье Во1ииоп о1 Не1шЬо1а'з Еоиа1!оп, Ргос. УЕЕ, 115, 1762 — 1766 (1968). 1О. Тау1ог С., РаИ1 В. 8., У1епЫеипсх О. С., НагЬоиг Озси)аИоп: а-Ь!ишег!са1 ТгеаЬпеп1 Тог Опйатрей !Ча1ига! Мог!ез, Ргос. )пз1. С!о. Ела., 43, 141— 156 (1969). 11.
Х!епЫеж!ст О. С., ХеИоп К. Е., Соир1ед Ч!Ьганопз ш а 81гис1иге Виьтегпед ш а Согиргезз!Ые НиЫ, !п1. сутр. оп Г1п!1е Е1егпеп1 ТасЬпи)иез, 81и11- !гаг1, ! 969. Нестаиионарные и динамические задачи 369 12, АгсЬег У. Б., Сопв1з1еп1 Маза Ма1г(х !ог О!з1г1Ьп1ей Буз1егпз, Ргос. Агпег. Бос.
С1о. Ела., 89, БТ4, 161 (1963). 13 1.еск!е Г. А., 1!пйЬеги О. М., ТЬе Енес1 о1 1.ширей Рагаше1егз оп Веагп Ггег)~епс1ев, ТИе Аего, Яиаггег1у, 14, 234 (1963). 14. У1епк!е~чсх О. С., СЬеппи г'. К., ТЬе Г!пйе Е1ешеп1 Ме1Ьой !ог Апа1уз!я о! Е1авйс !яо1горк апй Ог1Ьо1гор1с Б1аЬв, Ргос. 1пв1. С1о. Елей!., 28, 471 (1964). 15. У1еп!йевчсг О. С., 1гопв В., Ь!а1Ь В., Ь!а1нга! Ггег!пепс1ез о! Сотр!ех, Ггее ог БнЬтегдсй Ягнс1нгея Ьу 1Ье Г!и!1е Е1етеп1 Ме1Ьой, 1п Бугпроз!шп оп ЪЛЬга11оп !п С!ч11 Епя!пеег1пй', 1.опйоп, Арп! 1965 (Вп11егъогй, 1966). 16. Оаъе О.
У,, А Гшйе Е1ешеп1 АрргоасЬ 1о Р1а1е Ч!Ьга1!оп РгоЫегпя, Х. МесИ. Епд. Бс1., 7, 28 (1965). 17, Онуап К. Л., О!в1г!Ьн1ей Маяя Ма1г1х !ог Р1а1е Е1егпеп1в !п Вепй1пд, УАУАА, 3, 567 (1965); есть русский перевод; Гайан, Матрица распределенной мас сы элемента пластины при изгибе, Ракетная техника и космонавтика, 3. Жо 3 (1965). 18. Вахе1еу О. Р., СЬеппд У. К., 1гопз В. М., 7!епЫевчсх О. С., Тга1пдп1аг Е1егпеп1з 1п Р1а1е Вепй!щ — Соп!огш1пй' апй Ь)оп-Соп!огпппи Бо1пИоп, Ргое, Соп!. оп Ма1пх Ме1Ь. 1п Ягис1. Месй., А!г Гогсе !пз1. о! ТесЬпо1оау, Фг19Ы Ра11егзоп А.
Г. Вазе, ОЫо, 1965. 19. Апйегяоп К. С1,, !гопв В. М., Х!еп!йетг1сг О. С., Ч1Ьга11оп апй ЯаЫИ(у о1 Р1а1ев ~1з!пд Гш!1е Е1егпеп1я, 1п1. У. Бо1и(з Б1гис1., 4, 1031 — 1055, 1968. 20. Апйегяоп К. 6., ТЬе АррИса1!оп о! 1Ье Ь!оп-Соп!оггп1пд Тг!апип!аг Р!а1е Вепй!пд Е1егпеп1 1о Р!а1е Ч!Ьга1!оп РгоЫегпз, М. Бс. ТЬея1з, !Упж. о1 Ч~а1ея, Бв апвеа, 1966.
21. Х!епк1евлсх О, С., Пяснзз!оп о! «Еагйн!паке ВеЬагйопг о! Кевегчо!г-Эагп Буз1етв» Ьу СЬорга А. К., Ргос. Атлет, Бос. С1о. Епд., 95, ЕМЗ 801 — 803 (1969). 22. Е!епк!еЫсх О. С., Ь!юг!оп К. Е., Совр!ей Ч1Ьга11опз о! а Ягнс1пге БнЬгпегдей ш а Согпргезз1Ые Г!шй, Ргос. 1п1. Бугпр, оп Г1п!1е Е!егпеп1 ТесЬп19пез, Яп11даг1, 1969. 23.
Васк Р. А. А., СаяяеИ А. С., 0нпдаг К., Беуегп К. Т., ТЬе Бе!зги!с Янйу о! а РопЫе Согча1иге Рагп., Ргое, !пз1. С1о. Епй'„43, 217 — 248 (1969), 24. БапйЬп К. Б., Ф!1воп Е. 1, Г!пйе Е1етеп1 Апа1уз!в о! Беераре ш Е1азИс Мей!а, Ргос. Лгп. Бос. С1о. Епи., 95, ЕМЗ, 641 — 651 (1969). 25, Бегайт Л. 1., СЬ. 3 ю: Коек МесЬап!ся апй Епд. РгасИсе, Яадд К.
О., Жеп!йев'!сх О. С.„ейя., ЮИеу, 1968. 26. Сгосйе1 !., 1ЧайЬй1 Р. М., Оп Сопз1Ин1!че Ес1пайопз !ог Г!оъч о1 Г!шй ТЬгонйЬ ап Е1азбс Бо1Ы, !п1. У, Епа'. Бс1., 4, 383 — 401 (1966). 27. ВЫ1 М. А., Оепега1 ТЬеогу о! ТЬгее О!гпепз1опа! СопвоИйа1!оп, У. Арр1. РЪуз., 12, !55 — 164 (1941). 28. Гг!ей !.. Г1п!1е Е!етеп1 Апа!ув!з о1 Тиие Оерепйеп! РЬепогпепа, 1п1.
Керог1. Б1п118аг1 1)пп., !969. 29. Опг1!п М., Чаг1а1!опа1 Ргшс1р1ев !ог !.!пеаг Е)аз(ойупапнсз, Агсй, 1ог Кайопа1 МесИ. а(иМ Ала1уз(в, 16, 34 — 50 (1969). 30. %авЫхн К., Чаг1а1!опа! Мейойв !и Е1азйсйу апй Р1ав1!с!1у, Регдатоп Ргеяз, 1968. 31. %Ивоп Е. !., С!опдЬ К. %., Пупагп!с Кезропве Ьу Яер Ьу Яер Ма1г1х Апа!уз!я, Бутр. оп 1Узе о! Согпрн1егв (п СИ1 Еп8., 11яЬоп, Ос1. 1962, 32. СЬап Б. Р., Сох Н. 1., Вепйе!й %. А., Тгапз!еп1 Апа1ув)з о! Гогсей Ч!Ьга- 1!опз о! Сотр1ех Ягпс1пга1-МесЬап!са! Був1етз, У. Коу. Аего.
Бос., 66, 457— 460 (1962). ЗЗ. На!1-БЬе!кЬ А., Братта~ Е. М., Тгапз!еп1 Неа1 СопйнсИоп 1п а Рго!а1е БрЬегоЫа1 Бо!Ы, Тгапз. АЮМЕ ХХТ, 88, 331 — 333 (1966); есть русский перевод: Хаджи-Шейх, Спэрроу, Нестационарная теплопроводность в удлиненном сфероидальном теле, Труды Американского общества ннженерой механиков, Серия С, Теплопередача, 88, Мз 3, !966. 37О 34. Раге!й С Л., НпИе Е!егпеп1 Ьо!ц1!оп Був1егп, РЬ. О. ТЬев!в. 1.!пав. о1 %а1ев, 8ж~апвеа, 1969.
35. Тау1ог С., РагеФ С. 1., Ре1егв .1. С., Ггапсе Р., Хцтег1са! Апа!ув!в о$ 1.1- пеаг Ггее 5цг1асе Ьеераде РгоЬ!епи, Ргос 4т Яос. Ск. Епд, (будет опубликовано) 36. НегЬег1 К.„КцвЬ(оп К. К., бгоцпг!ва1ег Нож 31цг!!ев Ьу Кев1в1апсе Хе1- вогКв, беогесЬидие 16, 53 — 75 (1966). 37. Хецгпап Б. Р., %1!Ьегврооп Р Л., Г1п!1е Е1егпеп1 Мейоб о1 Апа1уя1пп ЯеМу Яеерабе тч!11~ а Ггее Бцг1асе, $Га1ег Кеяоигсея Йея., 6, № 3, 889 (!97Оа). 38. Иецгпап $.
Р., %11Ьегврооп Р. Л., Чаг!а1!опа! Рг!пс!р1ев 1ог Соп(!пей апг! Бпсоп11пег! Р1ои о1 (лгоцпйча(ег, Ф'айаг Яеяоигсая Кяя,, 6, № 5 (197ОЬ). 39. !ачапг!е1 1., Мйегврооп Р. А., Арр11са11оп о1 йе Г1п11е Е1етеп( Мейой (ю Тгапв!еп1 Г1ов !и Рогоцв Мес!!а, 5ос Ре1. Епд. У., 241 — 252 (Бер1.
1968). 4О. Нцг1у %., Вупаппс Апа1ув1в о1 Ягцс1цга1 Яув1егпв Бв!щ.Согпропеп1 Мойя, АЛУА а 6 (Яц)у.1968). 41. (яаПад1~ег К. Н., Ма!!е1! К. Н., Е111с!еп1 Во!и!!оп Ргосеввев 1ог Йп11е Е1егпеп1 Апа1ув!в о1 Тгапв1еп! Неа1 Сопг!цс1!оп, ИеИ Аеговув!егпв, ВцИа1о, 1969. 42. Х!епИеж1св О. С„РагеИ~ С. Л., ЪЛ1!в Н .1., ТЬе Арр!!са11оп о1 Р!псе Е1егпеп1в 1о Нева Сопс1цс1!оп РгоЬ!егпв 1пчо1ищ 1.а1еп( Неа( (будет опубликовано), ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ. КОЛЕБАНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 17.1. Введение В гл. 13 было показано, как задачи, в которых в направлении одной из координат свойства не изменяются, можно упростить и что, используя ортогональные функции, можно исключить эту координату. Такой подход давно применяется при решении задач, содержащих в качестве одной из координат время, и фактически лежит в основе линейной теории колебаний В этой главе мы будем рассматривать уравнение типа (16.13), полученное в результате дискретизации в предыдущей главе: Я1 (Й + [С1 ~~ ® + [М) ~~, (о) + (Р(~)) = О. (17.1) Это уравнение применимо ко всем упоминавшимся классам задач, для чего достаточно одну или несколько матриц приравнять нулю. Уравнение связанной задачи тоже может быть приведено к такому виду.
17.2. Динамическое уравнение при периодическом входном сигнале Пусть член (г), представляющий собой возмущающую силу, имеет вид (Р(~И = (Р0) е"* (17.2) 'где Щ не зависит от времени. Далее предположим, что решение (Ц существует и имеет такую же форму: (о© =(ЬДе". (17.3) После подстановки этих выражений в (17.1) получим (Щ+ а [С1+ а'[М1) (Ч+ (Ро) = О. (17.4) Решение уравнения (17.4) относительно (60) дает возможную форму реакции, если для (о) удовлетворяются начальные условия. Если и — --- мнимая величина, т. е.
имеет вид ~'лава ' 1~ то е"' =- е'"' = соз а~ + ~ з1п а1 и вещественная часть выражения (17.2) соответствует периодическому сигналу. В общем случае Щ и (бо) будем считать комплексными, тогда уравнение (17.4) можно рассматривать как совокупность двух уравнений, получающихся в результате приравнивания вещественных и мнимых частей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
