Метод конечных элементов (1061787), страница 44
Текст из файла (страница 44)
На фиг. 15.15 показано распределение давления во вклады- Ь Фиг. 15,15 Вкладыш с уступом. Распределение давления. Линии уровней а2~6 ц:~ ше ступенчатого подшипника ~2Ц. В качестве краевого условия используется. условие равенства давления нулю. Интересно заметить, что благодаря наличию уступа вкладыша при интегрировании правой части уравнения, (15.37) появляется условно эквивалентная нагрузка, распределенная по лиццн, Задачи о стационаркых лолли Ясно, что можно рассмотреть и более общие случаи задач о смазке с учетом вертикального движения вкладыша (уплотнение пленки) и сжимаемости. Этому вопросу посвящено много недавно опубликованных работ [22 — 24).
Число различных задач, относящихся к рассмотренному классу, настолько велико, что рассмотреть их все практически невозможно. 15.6. Задачи, описываемые бигармоническим уравнением. Вязкое течение До сих пор при решении квазигармонических задач минимизируемый функционал рассматривался как формальное математическое выражение, и не делалось никаких попыток определить его физический смысл. В частном случае вязкого течения жидкости в пористой среде нетрудно установить, что он представляет собой скорость диссипации энергии.
Распределение скоростей, получаемое в результате решения, минимизирует эту диссипацию, как и следует ожидать из универсального принципа минимума действия. Для задач о фильтрации эта интерпретация была установлена Зенкевичем и др. [31. Принцип минимума энергии диссипации известен в механике жидкости с конца прошлого века, и поэтому интересно рассмотреть его применение к решению задач о вязком течении. В гл, 3 в качестве примера применения метода взвешенных невязок рассматривалось уравнение Навье — Стокса без инерционных членов.
Это уравнение справедливо для медленного течения жидкости. Дифференциальное уравнение (3.48) было получено для двумерного течения. Это дифференциальное уравнение можно было бы получить непосредственно путем минимизации методом Эйлера функционала, представляющего собой скорость диссипации энергии. Если компоненты скорости в направлениях х и у обозначить через и н о и выразить их через функцию тока ф как дФ ' дФ И= — —, 0= —, дд дх (15.38) то легко показать, что при постоянном значении вязкости р функционал будет иметь вид [7~ Его можно минимизировать точно так же, как это делалось ранее в этой и предыдущей главах, после представления функции ф через узловые параметры элементов, Поскольку функцио- Х=И1(4( дФ) +(дФ) +(д',у — 2йдФ)ну. (1539) Глава 1б нал квадратичный, в результате минимизации получаются стандартные жесткостные соотношения.
Так как в него входят вторые производные, на границах между элементами требуется обеспечить непрерывность функции ф и ее,нормальных производных. Узловые параметры удобно представить в виде а в качестве функций формы использовать те же самые функции, которые применялись в задачах гл. 10 об изгибе пластин. Такой подход Аткинсон и др. 17) применили для исследования распределения скоростей в начальной области потока между параллельными плоскостями. Граничные условия и форма исследованной области показаны на фиг.
15.16„а, а на фиг. 15.16,6 представлены полученные профили скоростей, которые хорошо согласуются с результатами эксперимента. Ясно, что эта же программа пригодна и для исследования областей с границами любой другой формы. Интересно отметить„ что при решении использовался описанный в гл. 10 простой несогласованный треугольный элемент, который не удовлетворяет полному критерию непрерывности производной, Этими же авторами получен функционал для осесимметричных задач и рассмотрены аналогичные задачи о течении жидкости в цилиндрических трубопроводах. 'Более подробно этот метод описан в работе 125). 15.7.
Аналогии (15.41) Интересно отметить, что, поскольку уравнение, которому удовлетворяет функция тока [гл. 3, уравнение (3.4)1, совпадает с уравнением изгиба пластин (работа 111 из списка литературы к гл. 10), для решения задач о вязком течении можно было бы непосредственно использовать любую программу расчета изгиба пластин, Ч'акие аналогии в технике имеют большое значение, так как они часто дают возможность сделать полезные обобщения с минимальными затратами сил. Другим примером подобной аналогии может служить плоская задача теории упругости.
Если выразить напряжения через известную функцию напряжений Эри 1261: д~ф д'$ д'ф О= — О=— т Д~2 ~ ~ Ду~ ю ~~У ДуДу э Задача о стааионарных полях ! =о, и=! = Г Я У = 2!! -у~) ! =о !,6 !.2 !,о 0,0 0,2 О О 2 0 4 О б О 3 ! 0 -Х -в- К Фиг. 15.16, Скорость вязкого ламинарного течения между параллельными плоскостями. Решение методом конечных элементов Я. а — геометрия; б-профили скоростей и реяличиик сечеиияк, то можно показать, что эта функция будет удовлетворять бигармоническому уравнению, описывающему вязкое течениежидкости и изгиб пластин. Поэтому с помощью программы расчета пластин можно решать плоские задачи теории упругости.
Если используется вариационпый подход, то полученное решение, автоматически удовлетворяющее уравнениям равновесия, дает верхнюю границу энергии деформации, тогда как решение в перемещениях дает нижнюю границу, Глава 75 С другой стороны, решение плоской задачи теории упругости в перемещениях можно использовать для получения верхних границ решений задач теории изгиба пластин. Эта возможность обнаружена и подробно описана Вебеке и Зенкевичем 181. 15.8.
Заключительные замечания В этой главе показаны лишь некоторые возможности использования метода конечных элементов в ряде задач физики и техники. Не вызывает сомнения, что в ближайшее время этот метод будет применен к решен!по и других задач, ЛИТЕРАТУРА 1. ЪепЫеысх О. С., СЬецпк 'г'. К., Г!пие Е1етеп!в !и йе 5о1циоп о! Г!е!д РгоЬ!етз, Тйе Еиу!пеег, 507 — 510 (Зер1. 1965).
2. Ч!ззег %., А Г!пИе Е1етеп! Мейод 1ог йе Ре1ептппа1!оп о1 Ь!оп-51а1!опаву Тегпрега!цге О!з1г!Ьц!!оп апд ТЬеппа1 Ое!огта1!опз, Ргос, Соп1. оп Ма1пх Ме!Ьодв !и Ягцс1; МесЬ., А!г Гогсе 1пв1. о1 ТесЬп., %г!аЬ! Ранегвоп А. Г. Вазе, ОИо, 1965. 3. У!епЫеъчсх О. С., Мауег Р., СЬецпд Ч. К., Бо1ц1!оп о! Ап!во(гор!с Яеераде РгоЬ!етв Ьу ГшИе Е1етеп1з, Ргос. Атег.
Зос. СЬ. Епа'., 92, ЕМ1, 111— 120 (1966). 4. Х!епЫе~лсх О, С., Аг1е11 Р. !., ВаЬгап1 А. К., Яо!ц1!оп о! ТЬгее О1тепз1опа1 Р(е1д РгоЬ!етв Ьу йе Г1пИе Е1еп1еп1 Мейод, Тйе Ещ!пегг, 27 (Ос1. 1967). 5. Неггтапп 1, Е1авИс Тогяоп Апа1ув!в о! 1ггедц1аг ЗЬарез, Ргос. Ат. Вос. С(о. Епд., 91, ЕМ 6„11 — 19 (1965).
б. Мпз1ои А. М., Ь!цтег!са! ЗоЬИ1оп о! йе Яцав1-1л!пеаг Ро!взоп Еоца1!оп ш а Ыоп4)п!!огт Тг!апре МевЬ. У. Сотри!айопа! Раув!св, 1, 149 — 172 (1966). 7. А1Ыпзоп В., ВгосЫеЬапЬ М, Р„Сагд С. С. М, Впаяй Я. М., 1.ож Кеупо1дз Ь!цтЬег Рече!ор1па Г!оъв, А(СйЕХ, !5, 548 — 553 (1969). 8. Ре Ъ'ецЬеЬе В. Г., 7.'!епЫеччсв О. С., 8(гай Епегау Воцпдз !п РаИе Е1етеп1 Апа1ув!в Ьу 51аЬ Апа!оду, 1. бугаи~ Аа., 2, 267 — 271 (1967). 9. Вега Р. Ы., Са1сц1цз о1 Чаг!а!1опв, СЬ 16, ш: НапдЬооЬ о! Епд. МесЬаи!сз, Г!0аае Ь!., ед., Мсбгатч-Н111, 1962. 10, Ре О. А11еп !Э.
Ь!., Йе!аха1!оп Ме1Ьодв, Мсбга~ч-Н!11, 1955, р. 199. 11. Е1у Ю. Р., ЪепЫеИсв О. С., Тогвюп о! Согпроцпд Вага — а Ре1аха1!оп Бо1ц!1оп, 7Й. У. МесК Бс!., 1, 356 — 365 (1960). 12. Е!епЫетлсг О. С., Ь!ай В., Еаг1ЬчцаЬе Нудгодупапцс Ргезвцгев оп АгсЬ жатв — ап Е1ес1г1с Апа!оаце Яо1ц!1оп, Ргос. 7пз!. С!о. Епа., 25, 165 — 176 (1963). 13.
Жез1егдаагд Н. М., !Ча1ег Ргезвцге оп жатв Оцг!пд Еагйоцайев, Тгапз. Ат, Бос. С(о. Епу., 98, 418 — 433 [1933). 14. Маг1т Н. С,, Г(пИе Е!еп1еп1 Апа!уяз о1 Г1цЫ Г1оиъ, Ргос. 2пд Соп!. оп Ма1пх Мейодз ш 51гцс1. МесЬ., А1г Рогсе !пв1. о1 ТесЬп., Жп8Ь1 Райегвоп А. Г. Вазе, ОЬ!о, 1968. 15. Одеп !. Т., Затояу1 О., Г1пйе Е1егпеп1 Арр1!са1!опз ш Р1цЫ Оупат!сз, Ргос.
Ат. Яос. Сю. Епд., 95, ЕМ3 '(1969). 16. Агяуг!з .!. Н., МагесхеЬ С., БсЬагр! Р. !Ч., Т~чо апд ТЬгее О!тепв1опа! Г1оъ. Бв!щ Г!пие Е1етеп1в, 1. 1гоу. Аего Вос., 73, 961 — 964 (1969). 17. Вос1огв Ь,,!., Ап Арр)!са1!ой о1 Г!пИе Е1егпеп1 ТесЬп!оце !о Воцпдагу Ча1це РгоЬ)етв о1 Ро1еп1!а! Г1ом, 1п! 1. )Чит, Мей. Епд„2, 243 — 252 (1970). Задачи о стаиионарньи поляк 18. Ве Чпез б„Иогг1е О.
Н., АррИсаИоп о1 1Ье Г1пйе Е(еп|еП ТесЬп1оие 1о Ро1епИа1 Г1ож РгоЫегпз, йер1. 1апд 8., Оер(. МесЬ. Епд. (1пЬ. о1 Саааагу, А1Ьег1а, Сапада, 1969. 19. Тау1ог й,. 1., Вгоип С. В., Оагсу Г1ов Бо1нИопз ~ий а Ггее Бпг1асе, ргос. Ат. Зос. Оо. Епа„93, НУ2, 25 — 33 (1967) 20. бгозз %. А., баз ГИ»п 1лЬг1саИоп, ЖИеу„1962. 21. Тапеза Р, Ч., Као 1.
С., Яндеп1 Рго1ес1 Керог1 оп 1пЬ»1са1юп, Коуа1 Мача1 Со11еде, Йаг1»поп1Ь„1966. 22. Кедд1 М. М., Г1пИе Е1егпеп1 Яо1и11оп о1 1Ье 1псогпргезз1Ые 1.иЬг1саИоп РгоЫегп, Тгапз, Ат. Яос. Месй. Епй., 91, Зег1ез Г, 524 (1969); есть русский перевод-. Редди, Решение задачи о несжимаемой смазке методом конечных элементов Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Г, Проблемы трения и смазки, № 3, стр. 169 (1969). 23. Кедд1 М. М., СЬп Т. У., Г1пйе Е1е»пеп1 Бо1и11оп о1 1Ье Яеаду Яа1е Согпргезз1Ые 1.иЬпса11оп РгоЫегп, Тгапз.
Ат. Яос. Мес1». Епа., 92, Яег1ез Г, 496 (1970); есть русский перевод: Редди, Чу, О решении стационарных задач теории сжимаемой смазки методом конечных элементов. Труды Американского общества инженеров-механиков, серия Г, Проблемы трения и смазки, № З„стр. 124 — 132 (1970).
24. Агдупз,1. Н,, БсЬагр1 О. %,, ТЬе 1псогпргезз1Ые 1.цЬг1саИоп РгоЫеш, Х. Яоу. Аего Яос., 73, 1044 — 1046 (1969). 25 АИдпзоп В., Сагд С. С. М., 1гопз В. М.„АррИсаИоп о1 »Ье Г1п1»е Е!егпеп» Ме»Ьод 1о Сгеер1пд Г1оч РгоЫегпз, Тгапз. Хаза. Сйет. Епр"з., 48, Т276— Т284 (1970). 26, Т1гпозЬеп1»о 8., боод1ег,). И., ТЬеогу о1 Е1азИс11у, 2пд ед., Мсбгаж-КИ1, 1951. ГЛАВА 16 ПОСТАНОВКА НЕСТАЦИОНАРНЫХ И ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 16.1. Введение Во всех задачах, рассмотренных до сих пор в этой книге, предполагалось, что параметры не изменяются во времени. Распространение конечно-элементной концепции на задачи, параметры которых зависят от времени, не представляет особых трудностей. Область практических задач, в которых должна быть учтена зависимость от времени, достаточно обширна.
Типичными примерами являются задачи нестационарной теплопроводности, распространения волн в жидкостях или газах и задачи динамического поведения конструкций.-Несмотря на то что эти различные по характеру задачи обычно принято рассматривать раздельно, классифицируя их иногда по математической структуре как параболические или гиперболические ~Ц, мы объединим их в один класс, чтобы показать тождественность постановки задач, В первой части этой главы на основе простого обобщения методов, использованных ранее, мы запишем матричные дифференциальные уравнения, характеризукнцие указанные задачи, для различных физических ситуаций. При этом конечно-элементная дискретизация будет использована лишь для пространственных переменных. Далее будут рассмотрены различные методы решения, показывающие возможность непосредственного включения временного измерения в конечно-элементную дискретизацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
