Метод конечных элементов (1061787), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Используя функции формы раз- Расчет толстостенных оболочек личных порядков, можно получить разнообразные криволинейные элементы. 1-1а фиг. 14,2 показаны только элементы второго и третьего порядков. При желании их можно усовершенствовать, если ввести на сторонах больп|ее число дополнительных узлов. Можно использовать любую из двумерных функций формы гл. 7. Хотя связь между декартовыми и криволинейными координатами установлена, все же в качестве основных желательно использовать криволинейные координаты. Фпг. 14.3,,цокальные и глобальные координаты. Следует отметить, что направление координаты ~ только приблизительно совпадает с направлением нормали к срединной поверхности.
Удобно записать зависимость (14.1) с помощью вектора (длины, равной толщине оболочки 1), связывающего верхнюю и нижнюю точки и координаты срединной поверхности. При этом ') соотношение (14.1) принимает вид (фиг, 14.3) А сред где Х~ аз = у ') Необходимые сведения из векторной алгебры можно найти в прило1кенни б. 14.3.
Поле перемещений Определим теперь поле перемещений элемента. Предполо« жим, что деформации в направлении нормали к срединной поверхности пренебрежимо малы. Тогда перемещения внутри.элемента будут однозпачио определяться трели декартовыми компонентаяи узлового перемещения срединной поверхности и двумя углами повората узлового вектора Чз~ относительно двух взаимно ортогопальных перпендикулярных к нему направлений. Если два таких ортогопальных направления заданы векторами единичной длины о~1 и а1, с соответствующими углами поворота (скалярами) а~ и ~;, то по аналогии с (14.2), опуская для простоты индекс «сред», можно записать откуда легко получить обычную форму РГ где (ЬД = ~ Здесь и, о и а — перемещения в направлениях осей х, у и а глобальных координат.
Так как векторов, нормальных к заданному, бесчисленное множество, то для обеспечения однозначности используются специальные приемы. Некоторые такие приемы рассматривались в гл. 11. Здесь будет описан более простой способ обеспечения однозначности. Так, если Чз; — вектор, к которому надо построть нормаль, то направим первую ось по нормали к плоскости, проходящей через этот вектор и ось х').
Построенный таким образом вектор У~д . пределяется как векторное произведение ~п=1Х та~ (14.4) где ') Алгоритм неверен, если направление вектора Ри совпадает с направлением оси х. Для проверки этого условия легко составить программу, и если действительно это имеет место, то для определения локальных направленнй используется ось у.
Расчет толстостенных оболочек — единичный вектор по оси х. Разделив (14А) на длину вектора, получим единичный вектор аы. Третий вектор, нормальный к первым двум, определяется как векторное произведение ~2с ~н Х 1~31 °- (14.5) Направляющие косинусы локальных осей получаются путем нормирования У2; к ~р;. Таким образом, имеем три оси орто- гональных локальных координат с.единичными векторами (14,6) ~ты. ~Ъ и ~'з~ ° $4.4. Деформации и напряжения Для получения характеристик конечных элементов следует определить деформации и напряжения.
Если используются основные гипотезы теории оболочек, то существенными являются компоненты в направлениях взаимно ортогональных асей, связанных с поверхностью ~ = сопз1. Таким образом„если в любой точке на этой поверхности построить нормаль г' и две другие ортогональные оси х' и у', касательные к поверхности (фиг. 14.3), то выражения для представляющих интерес компонент деформации будут совпадать с соотношениями гл. 6 для трехмерного случая, в которых, согласно обычной теории оболо- Как и выше, если Я вЂ” функция формы, удовлетворяющая условиям совместности, то перемещения между смежными элементами непрерывны.
Координаты элемента определяются теперь соотношением (14.1), имеющим больше степеней свободы, чем соотношение для перемещений. Следовательно, этот элемент будет элементом суперпараметрического типа (см. гл. 8, равд. 8.3), для которого неочевидно, что критерий постоянства деформаций выполняется. Тем не менее из выражений для компонент деформации следует, что условия допустимости перемещения элемента как жесткого целого и постоянства деформаций выполняются. При использовании соотношения (14.3) предполагается, что по толщине ~ не возникает никаких деформаций. Хотя это направление не совсем точно совпадает с нормалью к срединной поверхности, упомянутое предположение достаточно хорошо аппроксимирует одно из обычных допущений теории оболочек. В каждой узловой точке ~ срединной поверхности (фиг.
14.3) имеется пять основных степеней свободы (см. гл. 11, посвященную оболочкам), чек, деформации в направлении г' не учитываются; вх' до' ду' ди' дп' —,+ —,1 ду' дх' д~о" ди' д'+д' дй~' дп' ду' да' Следует заметить, что в общем случае ни одно из этих направлений не совпадает с направлениями криволинейных координат ~, т1, ~, хотя х', у' лежат в плоскости $, т1 (~ = сопз1) '). Напряжения, соответствующие этим деформациям, определяются матрицей (о'1, которая связана' с матрицей деформаций матрицей упругости Щ Таким образом, = Р'1(Ю вЂ” Ю)+ Ж) 1 т 0 О 0 О 0 1 0 0 0 ф11 1 — ч' (14.9) 1 — ч — о 2й 1 — т Симметрично ') В самом деле, атн направления только приближенно соответствуют направлениям узловых векторов ~н и т.
д., так как в общем случае вектор ~га; только приближенно перпендикулярен к срединной поверхности. где (вЯ и (а~1 — произвольные начальные деформации и напряжения. Матрица ~Щ размерности 5 К 5 может описывать любые анизотропные свойства, а для слоистой конструкции (типа сандвича) она будет функцией от ~. Мы выпишем матрицу Щ только для изотропного материала.
Она имеет вид Расчет толстостенкых оболочек где Š— модуль Юнга, а ~ — коэффициент Пуассона. Коэффициент К входящий в два последних сдвиговых члена, имеет величину 1,2. Его назначение состоит в том, чтобы улучшить аппроксимацию сдвиговых перемещений. Из определения перемещений видно, что сдвиги почти постоянны по толщине, хотя реальный закон их изменения параболический. Величина Й = 1,2 представляет собой отношение соответствующих значений энергии деформации.
Важно обратить внимание на то, что эту матрицу нельзя получить путем исключения соответствующих членов из эквивалентной матрицы напряжений для трехмерного случая гл. 6 1выражение (6.14)1. Чтобы ее получить, надо подставить о =0 в (6.13) и сделать соответствующие упрощения, так чтобы это важное допущение теории оболочек выполнялось. 14 5.
Характеристики элемента и некоторые необходимые преобразования Матрица жесткости и матрицы других характеристик элемента содержат интегралы по его объему, которые в самой общей форме имеют вид ~ [Я[Шхйуйз, (14.10) где матрица ~Я' — функция координат. Например, для матрицы жесткости имеем соотношение д ртитъищ где в соответствии с определением гл. 2 (') =ж ®'.
(14.11) (14.12) Матрица [В~, как видно из соотношения (14.7), содержит производные от перемещений по локальным декартовым координатам л', д', а', Поэтому, для того чтобы вычислить соответствующие интегралы по криволинейным координатам $, и, ~, необходимо осуществить два преобразования. Прежде всего, точно так же, как это делалось в гл. 8, получим производные по х, у, .а. Так как глобальные перемещения и, и, то с криволинейными координатами связаны соотношениями (14.3), производные от этих перемещений по глобальным координатам х, у, а определяются матричным соотношением дГ~ дд дв д~ =И (14.13) дх дд ~Е Д$ дх дд (14.14) 'д11 дч дх дд вычисляется с помощью соотношений (14.2), определяющих коорлинаты. Для любой системы криволинейных координат производные от глобальных перемещений можно получить численно.
Последующий переход к направлениям локальных перемещений х', у', а' позволит вычислить деформации, а следовательно, и матрицу Щ. Сначала нужно установить направление локальных осей. Вектор, нормальный к поверхности ~ = сопз$, находится как векторное произведение любых двух векторов, касательных к этой поверхности. Таким образом, д~ дч дх М (14.15) дч д~ д~ дч дх дд дх дд д$ дт~ дч д5 Следуя описанному выше методу, позволяющему однозначно определить два перпендикулярных вектора, и нормируя их, составим матрицу ортов по осям х', д', а' (которая, по существу, является матрицей направляющих косинусов) 101=1о, в~, о~1.
(14.16) Здесь, как и раньше, матрица Якоби дх дп дд дч дя д3) дИ д0 д~ д$ ди до дч . д~1 д~~ д~> д~ д~ д~ д."; дй дч д~~ д~ Расчет толстостенных оболочек С помощью обычной операции глобальные производные от перемещений и, о и ж преобразуются в локальные производные от локальных ортогональных перемещений: д~' дх до дх дй~' дх дн' ду' дй' де дн до ди ду ду ду ди до ды дх дх ду 181. (14.17) [цт ду' до дх' ду' дв' дл' С помощью этого соотношения компоненты матрицы 18'1 можно - определить в явном виде, причем следует иметь в виду, что для каждого узла существует пять степеней свободы„ (14.18) ~ а~ 1(3~ Величина элементарного объема в криволинейных координатах определяется по формуле дхдусй= с1е1~ У ~И$с1т~д~. (14.19) Этим стандартным выражением завершается вывод основных соотношений.
Численное интегрирование в пределах от — 1 до +1 производится точно так же, как и для трехмерных элементов, рассмотренных в гл. 8. . Аналогично вычисляются и все остальные матрицы элемента. Так как деформации изменяются линейно по толщине (в направлении с,), для интегрирования в этом направлении требуются только две гауссовы точки, тогда как в направлениях $, т1 для параболической и кубической функций формы используются соответственно три и четыре точки. Здесь следует заметить, что интегрирование по ~ при желании можно выполнить точно, экономя тем самым время вычисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
