Метод конечных элементов (1061787), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Первый из них — это задача о чистом кручении неоднородного стержня (фиг. 15.5). Основное дифференциальное уравнение имеет вид (15.24) ') В случае, «огда на границе заданы значения неизвестной функцнн, О Х Зф к Фй Ы о о о О о МЪ Ф 63 в Ы ~ СЬ. о Я Х О Р3 Ж Ф Р' Ь О~ ~ф ЭМ о ~ щ Ф а~ О ~~ Р» ,Й, о ~ ж ф Ж 63 Ж о~ д о й~ Ф жЕ ~й О Ж Задачи о стационарных полях где ф — функция напряжений, б — модуль сдвига и Π— угол закручивания на единицу длины стержня. При решении методом конечных элементов внутренняя полость заменялась материалом с модулем 6, на три порядка меньшим модулей материалов стержня').
Эти- результаты хорошо согласуются с точным решением методом конечных раз-. ностей 11Ц На фиг. 15.6 приведен пример расчета задачи о фильтрации жидкости через анизотропное пористое основание. Уравнение, описывающее эту задачу, имеет вид — „(й„— )+ д (Йд д, ) О, П5.2дд где те., и й„— коэффициенты проницаемости в направлении главных (наклонных к границе основания) осей. Результаты сравниваются с результатами точного решения, показанными пунктирными линиями.
На этом примере особенно наглядно видна возможность использования элементов разных размеров, 15.5. Некоторые практические задачи форме д (дд дт ) + д (.д дт ) 0 (15.26) если отсутствует теплообразование. Здесь Т' — температура, а А — коэффициент теплопроводности. Координаты х и у заменены на координаты в радиальном и осевом направлениях гильд На фнг. 15,8 показано установившееся распределение температуры в сосуде высокого давления ядерного реактора 11] при равномерном нагреве изнутри. Гидродинамическое давление на движущейся поверхности. Если погруженная в жидкость поверхность движется с задан- ') Это было сделано, чтобы избежать трудностей, возникающих из-за многосвнзностн области, и тем. самым получить возможность использовать стандартную программу.
Анизотропная фильтрация. Первая задача связана с исследованием течения жидкости через сильно неоднородные анизотропные искривленные слои грунта. Основное уравнение опять имеет вид (15.25). Однако программу следует модифицировать с тем, чтобы получить возможность изменять направление главных осей х' и у' при переходе от элемента к элементу. Никаких трудностей при решении не встречается. Расчетная схема и некоторые результаты приведены на фиг. 15.7. Осесимметричный тепловой поток. Уравнение для осесимметричного теплового потока можно записать в стандартной Глава 15 Фиг. 15.7.
Фильтрация под плотиной в сильно неоднородном и искривленном основании. ным ускорением и с малой амплитудой перемещения, то можно. показать 1121, что избыточное давление удовлетворяет уравне-* нию Лапласа 7вр = О. На движущихся (или неподвижных) границах граничное условие типа «б» 1см. (15.3Ц принимает вид л = Р"~лв (15.27) где р — плотность жидкости и а„— нормальная компонента ускорения границы.
На свободных поверхностях краевое условие записывается как р=О. (15.28) Таким образом, совершенно ясно, что задача принадлежит к категории задач, уже рассмотренных в втой главе. В качестве примера рассмотрим движение вертикальной стенки резервуара (фиг. 15.9) и найдем распределение давления на стенке и дне резервуара при произвольном законе движения граничных точек 1 — 7. Область была разбита на 42 четырех- Фиг. 15.8. Установившееся распределение температур в осесимметричном со- суде высокого давления. х(а„)Ер 1.
= Н/б з 1 — ' 4 1 — ' 5 1 — «б ' 14 21 28 Фнг, 15,9. Задача о горизонтальном движении стенки и резервуаре. ЗЗ2 Глава Г5 угольных элемента. Для того чтобы результаты можно было применить для любых ускорений, решены семь задач. В каждой из них на части границы, примыкающей к рассматриваемой точке, задано единичное ускорение, что дает в точках 1 — 7 нагрузки р1/2Е, рЕ, ..., рЕ„р1/2Е. Давления в точках 1 — 56 при произвольном профиле ускорений можно представить в виде матрицы, зависящей от ускорений точек 1 — 7. Таким образом, Р7 Р14 = «М] Р21 Р22 (15.29) Р49 Матрица М имеет вид, показанный в табл.
15.1, Табли11а".И.1 О О 0 0 0,7249 0,3685 О 0,3685 0,9715 0 0,2466 0,5648 О О,! 963 0,4210 0 0,1744 0,3644 0 О, 1680 0,3488 Следовательно, можно найти давление при любом распределении ускорений. Например, если ускорение а постоянно, то Н «М1=р— 6 14 21 28 35 42 49 56 0,1617 О,!З65 о,оа?9 О,О4З! 0,0186 о,оо?а О,ОО69 О,ЗЗЗ2 0,2754 0,1731 0,0838 О,О359 О,О!50 0,0134 0 0,2466 0,5648 1,! 459 0,7329 0,5954 0,5507 0,5260 04!7! 025!9 О.! !95 0,0150 0,0213 О,О!90 О 0,1963 0,42!0 0,7329 1,3203 0,9292 о,842о 0,7548 0,5573 0,318? О,!478 О,0626 0,0261 О,О232 о 0„1743 0,3644 0,5954 0,9292 1,5669 1,2977 1,0285 0,6793 0,3657 О,!66! О,О699 0,029! 0,0259 о о,оа40 0,1744 о,2ао4 0,4210 0,6489 1,1459 0,6429 0,3710 0,1918 о,оа63 О,ОЗ62 0,0151 0,0134 Задачи о стационарных полях давление можно вычислить, принимая а, 1 (15.30) Распределение давления на стенке и дне резервуара показано на фиг.
15.10. Значения полученных давлений на стенке ! 2 3 5 ь 0 7 ол Р(Р~ао о 4 О.б о.а Поетодннор Дине~РIО уогувяи уморила. о ~ь Фиг. 15,10. Распределение давления на движущейся стенке и дне резервуара, отличаются от хорошо известного точного решения Вестергаарда не более чем на 1%. Аналогично можно получить распределение давления при любом другом законе движения стенки. Например, если стенка шарнирно соединена с основанием и совершает колебания вокруг точки закрепления так, что ускорение верхней точки (точка 1) равно а, то о (15.31) Распределение давления, полученное с помощью выражения (15.29), показано на фиг.
15.10. Глава 16 334 При решении задачи о колебаниях очень важно иметь такую матрицу влияния. Если стенка колеблется, то в общем случае ее ускорения неизвестны. Используя верхнюю часть матрицы 1М1 в соотношении (15.29), которую обозначим через 1МО1, давления в точках 1 — 7 можно записать в виде (15.32) Этим давлениям соответствуют следующие узловые силы: а, = — |МД (Ь*), (15.33) = 1А1 1МО] где 1А1 — матрица, характеризующая нагрузки, а (б) — матрица, определяющая ускорении узловых точек стенки.
Это уравнение может быть добавлено к динамическим уравнениям движения стенки, Эта и родственные ей задачи будут подробно рассмотрены в гл. 16. На фиг. 15.11 показаны результать1 расчета аналогичной трехмерной задачи 141. Использовались простые тетраэдральные элементы. Точность полученных результатов достаточно высока. Задачи электростатики. На фиг. 15.12 приведено решение трехмерного уравнения Лапласа 14$. В данном случае опо моделирует электростатическое поле около изолятора. На фиг, 15.13 представлены результаты решения более сложной двумерной задачи о распределении магнитного поля 161.
Беэвихревое течение жидкости со свободной поверхностью 113 — 191. Уравнение Лапласа, описывающее течение вязкой жидкости в задачах фильтрации, справедливо также для безвихревого течения жидкости за пределами пограничного слоя„ обусловленного вязкостью. Приведенные ранее примеры применения метода можно использовать и для иллюстрации таких задач. Другие примеры рассмотрены в работе Мартина 1141. Заслуживают внимания задачи о течении жидкости с аириори неизвестной свободной поверхностью. Для этого класса задач типичны два примера — задача о струйном водосливе (фиг. 15.14, а) и задача о фильтрации через земляную плотину (фиг. 15.14,б). В обоих случаях свободная граница представляет собой линию тока; она аариори неизвестна и должна быть определена таким образом, чтобы на ней удовлетворялось некоторое дополнительное условие, Если, на- Фиг. 15,11.
Давление на ускоряющейся поверхности перемычки в несжимаемом потоке. — решение, полученное методом конечных элементов; — — — решение, найденное с использованием злектролитнческой ванина р,-избыточное давление; а' †относительн ускорение", р †плотнос, ь Фиг. 15,!2. Трехмерное распределение электростатического потенциала около фарфорового изолятора. пример, вторая задача сформулирована через потенциал Н, то определяющим является уравнение (15.25). Так как свободная граница представляет собой линию тока, то на ней должно выполняться условие (15.34) Кроме того, поскольку эта граница связана с атмосферой, дав- ление на ней должно быть равно нулю.
Так как (15.35) где ч — удельный вес жидкости, р — давление и р — расстояние от некоторого горизонталыюго уровня, на свободной поверхности должно выполняться условие (15.36) ."-У с Фиг. 15.13. Поле магнита (по Винслоу 161) Фиг. 15Л4. Типичные задачи со свободной границей (линией тока, иа которой давление равно нулю). а — струйный водослив; б-фильтрации чсроз вомлявув илотииу. Т'лава Л Решение задачи можно получить итерационным методом, Полагая свободную поверхность известной, решаем стационарную задачу.
Далее производим проверку, удовлетворяется ли условие (15.36), и если нет, то из условия равенства Н только что найденному значению у находим новую поверхность. Несколько таких итераций показывают, что сходимость достаточно быстрая. Этот метод использовался Тэйлором и Брауном 1191.
Другой возможный метод решения описан в гл. 16. Задачи теории смазки. Расчет вкладыша подшипника сводится к решению двумерной задачи, которая описывается уравнением Пуассона. В случае, когда плотность и вязкость смазочного вещества постоянны, должно быть решено уравнение Рейнольдса 1201 —,'„(а' —,'„') + — „'„(ь'ф) — 6,ь — ',", ~и.зп где Ь вЂ” толщина пленки, р — возникающее давление, ц — вяз* кость и Р— скорость движения вкладыша в направлении х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
