Метод конечных элементов (1061787), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Некоторые примеры, иллюстрирующие применение полуаналитического метода к расчету толстых оболочек, даны в гл. 14. 13.7. Заключительные замечания На нескольких примерах был проиллюстрирован достаточно общий полуаналитический метод, сочетающий в себе преимуще- йолуиналитиаткий ~катод конечных элементов ства метода конечных элементов с экономичностью, обусловленной разложением по системе ортогональных функций. Конечно, в этих примерах лишь в небольшой степени используются открывающиеся возможности, однако следует иметь в виду, что метод действительно экономичен только для некоторых форм рассматриваемых тел и только в тех случаях, когда требуемое число членов разложейия ограничено.
Аналогично могут быть решены задачи о призмах, если рассматривать только сегмент тела вращения (фиг. 13,10). Ясно, Фиг. 13.10. Примеры призматических сегментных тел. что теперь следует проводить разложение по углу Ь0/я, а в остальном метод совпадает с описанным ранее. Существуют и другие возможности скомбинировать преимучества аналитических методов с общностью численных методов, Например, если решение имеет особенности, связанные, скажем, с наличием сосредоточенных нагрузок, то их можно исключить с помощью точного решения и решить численно вспомогательную задачу, в которой устранены нарушения гладкости распределенных поверхностных сил. От численного решения при этом не требуется большой точности, и поэтому оно может быть получено более экономичным путем.
Описание такого метода дано Зенкевичем и др. [11, 121. В работе 1131 в общих чертах описан несколько иной комбинированный метод, позволяющий исключить особенности, возникающие во входящих углах. Ограниченный объем книги не дает возможности продолжить обсуждение этого вопроса, одна- Глава 18 ко следует отметить, что за экономичность приходится расплачиваться меньшей общностью. Б этой главе предполагалось, что свойства материала -не зависят от одной из координат, В случае необходимости это ограничение с помощью дальнейших обобщений можно снять. Интересный пример такого типа приведен в работе 114~. Размерность задачи можно уменьшить с помощью другого класса методов, основанного на использовании точных сингулярных решений и сведении, скажем, трехмерной задачи к интегральному уравнению на поверхности. 'Это приводит к необходимости решения уравнения типа пы+ ~ «(п, ФБФ~~ =Рь1 (13.32) ЛИТЕРАТУРА 1.
СЬеппн г'. К., ТЬе Р1п11е БЫр Ме1Ьой 1п йе Апа1ув1в о1 Е1аз11с Р1а(ез кчй Тжо Орров((е Б1тр1у Бнррог1ед Епс1в, Ргос. 7пз1. Ся. Епд., 40, 1 — 7 ( 1968). 2. СЬеппд Ъ'. К., Г(п11е БЫр Ме(Ьод о1 Апа!ув(з о1 Е1ав11с Б1аЬв, Ргос. Ат. Юос. С1о. Епд., 94, ЕМ6, 1365 — 1378 (1968). 3. СЬенпа 'г'. К., Ео1деа Р!а(е Б1гпсйгев Ьу йе Р1п11е БЫр Ме(Ьой, Ргос. Ат.
Зос. С1о. Епа., 95, БТ, 2963 — 2979 (1969). 4. СЬеппн У. К., ТЬе Апа1ув1з о1 Су11пйг)са1 Огйо1гор1с Спгчед Вги(йе 0есйз, РаИ. 7п1. Азз. Шасг. Епд,, 29-11, 41 — 52 (1969). 5. 1охе А. Р. Н., ТЬе Майегпа(1са1 ТЬеогу о1 Е1ав11с11у, 41Ь ей., СапйгЫде 1.1пп. Ргевз, 1927, р. 56; есть русский перевод: Ляа А., Математическая теория упругости, ОНТИ, М., 1936. 6. Т1п1овЬегйо Б., Ооойег Д.
Х., ТЬеогу о1 Е1ав11с11у, 2п6 ед., Мсбгаъ-Н111, 1951. 7, У1еп1аежсз О. С., СЬеппи г'. К., Б(гезвев 1п БЬа11в, Тпе Епатеег, 24 Ь(оч., 1967. 8. М1воп Е. 1., Б(гнс(ига! Апа1ув1в о1 Ах1-Бупнпе(г1с Бо1Ыв, 3А!АА, 3, 2269- 2274 (1965); есть русский перевод: Вильсон, Расчет на прочность осесимметрнчных тел, Ракетнал техника и космонавтика, 3, № 12, стр. 124 — 131 (1965). 9. Новожилов В.
В., Теория тонких оболочек, Судпромгнв, Л., 1951. 10. Ога11оп Р. Е., Б1гогпе П. К., Апа!уе4в о1 Ах1-БупппеЫс БЬе11в Ьу йе 01гес$ Б1111певв Мейой, ХА/АА, 1, 2342 — 2347 (1963); есть русский первод: Граф- где р и г7 — координаты точек на поверхности 8, 1(р) — искомая неизвестная функция, К и г' — известные функции координат. Такое интегральное уравнение естественно решать методом конечных элементов, разбивая интеграл на отдельные части и используя приближенное представление функции ~. Для решении задач упругости такой подход предложен Массоне 1151; Фрид 1161 показал, что таким же образом задача об обтекании тела неограниченным потоком сводится к задаче, решаемой с помощью разбиения на конечные элементы лишь од- ной поверхности.
Палуаналитичвский метод конечных 'элементов тон, Строум, Расчет осеснмметричпых оболочек методом прямого определения н~есткости, Ракетнал техника и космонавтика, 1, № 10, стр. 129— 1З6 (196З). 11. У(епЫеъчсх О С., Оегв1пег К. %., ТЬе Мейог( о1 1п1ег1асе. Б(гезв А<Ццв$- теп1 апд 1Ы.Ъев 1п Боте Р!апе Е1ав(1с11у Ргоо1етз, 1и1. У.
Месй. Бп'., 2, 267 — 276 (1961). 12. 71еп1пеысг О. С., бегйпег й. %., Б(гезз Апа1ув(з апд Брес1а1 РгоЫетв о1 Ргев(гевзед Ватв, Ргос. Ат. Яос. Сй>. Еад., 87, РО1, 7 — 43 (1961). 13. Мог1еу 1.. Б. О., А Г(п(1е Е1егпеп1 Арр11са11оп о1 Мойшей Кау1е18Ь вЂ” К11з Мейод,,(п1. У. Жиги. Мей. 1а Еиа., 2, 85 — 98 (1970). 14. Б1псЫ1п Я.
А., Ре Апйгаде 1. С., 11пеаг аМ Хоп 11пеаг Апа1уз(в о1 БЬе11в о1 Кеъо1ц(1оп и11Ь Азутгпе(г1са1 Б(111пезз Ргорег((ев, Ргос, 2пд Соп1. Ма1-. г(х №111одз Б(гцс1 МесЬ„А(г Гогсе 1пз1. о1 ТесЬп., %гщЫ Райегвоп А. Г. Вазе, ОЫо, 1968. 15. Мазвоппе1 С. Е., Ыцп1ег1са1 13ве о1 1п1едга1 Ргосег(цгез, СЬ. 10!и: Б(гезз Апа1уз(з, У1епЫеыст О. С,, Но1Ыег О. Б., ес(з., М1еу, 1965. 16. Гг(ес1 1., Г(пИе Е1етеп1 Апа1уз(з о1 РгоЫетв Гогтц1а(ед Ьу ап 1п(едга1 Емца(1оп; АррИса(1оп 1о Ро1епИа1 Г1ож, 1пз(. 1цг Б(а(й цццц Оупатй, 1.ц1- 1цпд Кацт1аЬг(вапв1а11, Б(цйнаг1, 1968.
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА 14. 1. Введение В гл. 8 и 9 были рассмотрены вопросы построения и использования сложных криволинейных двумерных и трехмерных элементов. Казалось бы очевидным, что эти элементы можно непосредственно применять при расчете криволинейных оболочек, уменьшая их размер в направлении толщины оболочки, как показано на фиг.
14.1. Такие элементы использовались в примере, иллюстрированном на фиг. 9.6 для осесимметричного тела. Однако в общем трехмерном случае при применении таких элементов возникают определенные трудности, Во-первых, наличие трех степеней свободы в каждом узле приводит к большим коэффициентам жесткости для перемещений по толщине оболочки. Это затрудняет проведение числовых расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности системы уравнений, если толщина оболочки мала по сравнению с остальными размерами элемента. Во-вторых, следует учитывать и фактор экономичности. При использовании нескольких дополнительных узлов по толщине оболочки игнорируется хорошо известный факт, что практически даже в случае толстых оболочек нормали к срединной поверхности после деформации остаются прямыми.
Тем самым вводится большое число. степеней свободы, что влечет за собой неоправданно большие затраты машинного времени. В настоящей главе описан подход, позволяющий обойти обе эти трудности 11 — 31. Для того чтобы повысить экономичность расчета, вводится гипотеза прямых нормалей, а чтобы улучшить обусловленность задачи, не учитывается вклад в энергию деформации напряжений, перпендикулярных к срединной поверхности, Это позволяет получить эффективный инструмент для анализа толстых оболочек. Точность его и широта применения демонстрируются на нескольких примерах.
Ясно, что оба эти допущения являются только частью обычных допущений теории оболочек. Так, умышленно опущено утверждение, что после деформации нормали остаются нормалями к срединной поверхности. Это позволяет учесть деформации сдвига — важную характеристику толстой оболочки., Расчет толстостенных оболочек Фиг.
14Л. Криволинейные изопараметрические шестигранники для аппроксима- ции оболочки. 14.2. Геометрические характеристики элемента Рассмотрим типичный элемент толстой оболочки (фиг. '14.2). Поверхности элемента криволинейны, тогда как поперечные сечения по толщине образованы прямЫми линиями. Форма такого элемента описывается парами точек 1„„, и 1„и„„„заданными их декартовыми координатами. Пусть 5 и т1 — криволинейные координаты в срединной плоскости оболочки, а ~ — линейная координата по толщине. Если положить, что $, т~, ~ изменяются в пределах от — 1 до +1 на соответствующих поверхностях элемента, то зависимость между декартовыми и криволинейными координатами для любой точки ъ ! -1 Фиг.
14.2. Различные типы криволинейных элементов для толстых оболочек. может быть представлена в виде +КИЙ, ч), ь ах нижн (14,1) у =~Ж1$, ~~ — у; нери ') Как н в гл. 7, в атом случае вместо координат $ и т1 следует использовать Е-координаты. Здесь Л"; (с, т1) — функция формы, равная единице и-К-м узле и нулю в остальных узлах (гл. 8). Если базисные функции У~ получены из функций формы двумерных первичных элементов, квадратных или треугольных'), и составлены так, что на границах между элементами выполняются условия совместности„ то пространственные криволинейные элементы будут примыкать друг к другу по всей границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
