Метод конечных элементов (1061787), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В качестве элементов они рассматривали простые усеченные конусы и использовали метод перемещений. Более строгий вывод матриц жесткости проведен в работах 11 — 31, а предложенное Графтоном и Строумом 1Ц обобщение метода на случай несимметрич. ной нагрузки подробно описано в работах 14 — 61. Позднее появилось много работ, посвященных применению криволинейных элементов и улучшению с их помощью используемых аппроксимаций.
Привести здесь полный список литературы практически невозможно. В работах 17 — 10~ показываются возможности применения различных криволинейных координат. а в статьях 19, 1Ц обсуждается использование для повышения точности дополнительных неузловых степеней свободы. В осесимметричных оболочках„как и в любых других, существуют и изгибные и мембранные усилия. Они однозначно определяются величинами обобщенных деформаций, под которыми в данном случае понимаются растяжения и искривления срединной поверхности. Если перемещения каждой точки срединной поверхности известны, то такие деформации и результирующие внутренних напряжений, или просто напряжения, определяются по формулам, которые можно найти в обычных курсах теории оболочек.
Например, перемещение точки срединной поверхности осесимметричной оболочки (фиг. 12.1), находящейся под действием осесимметричной нагрузки, однозначно определяется двумя компонентами и и а по касательной и нормали к поверхности, Фиг. 12.1. Осесимметричная оболочка, перемещения и результирующие на- пряжений.
Оболочка представлена в виде набора конических оболочек. тв сов Ф + и в1п Ф в1п Ф Ии) Им соответствуют четыре результирующих напряжения, показанные на фиг. 12.1, которые связаны с деформациями матрицей упругости ~Ц: ~1~я ~е М, ~ив (12.2) Для изотропной оболочки матрица Щ имеет вид 1 ч О О 1 О О Р И~ О О 12 12 д12 ~2 О О 12 12 (12.3) При условии, что угол ф не меняется, четыре компоненты деформации определяются следующими выражения 1121: Осесимметричные оболочки где верхняя часть ее характеризует действие мембранных усилий, а нижняя представляет собой матрицу изгибных жесткостей, причем сдвиговые члены в обеих частях опущены. 12.2.
Характеристики элемента. Осесимметричные нагрузки. Прямолинейные элементы Пусть узловыми поверхностями оболочка разбита на ряд усеченных конусов (фиг. 12.2). Перемещения узловых точек 1 и Фиг. 12.2. Элемент осесимметричной оболочки. ~ однозначно определяют деформации элемента через заданную функцию перемещений.
В каждой узловой точке задаются осевое и радиалыюе смещение и поворот, Поскольку оболочка работает на изгиб, необходимы все эти три компоненты. Таким образом, перемещение точки 1 определяется тремя компонентами, причем первые две соответствуют глобальным координатам Следовательно, элемент с двумя узлами 1, 1 имеет шесть степеней свободы, которыми являются перемещения элемента (12.5) Перемещения внутри элемента должны единственным образом определяться перемещениями узловых точек Я' и координатой з и удовлетворять условиям непрерывности углов накло- на и перемещений Если положить, что и зависит от з линейно, а в является поли- номом третьей степени от з, то получим шесть неизвестных постоянных, которые можно определить по узловым значениям и, а~ и Д.
В узле 1 и=с, +Ояз, гв = а+ а,з+ а: '+ с1, ~, легко составить шесть уравнений и найти ') 1 — а1 О ) О О ~ 1 З~~2+ 2агз ~ ~ (аг 2а~2+ аг~)1О ~ Яд~2 ~а~З ~1 а~2+ вяз) у !И) где р 8 8 1 ° Обозначая через 1М'1 матрицу размерности 2Х6, можно за- писать и,ГЩ 01 и [. О [А1) (12.10) ') Функции, которые при этом появляются, представляют собой полиноми Эрмита нулевого и первого порядков (см. разд. 1О.14), Я~ созе з1п Ф 0 — з1п ф созе 0 (®, о о Записывая йх Фг = 1л,1 (~Ч. (12.У) ~В Оеееимме~ричиые оболочки Используя определение (12.1), нетрудно по (12.10) получить матрицу деформаций (В): ®=(В1® =~Щ~Х], Щ~АЦ®', (12.11) где о ) о (1 — в') яп Ф (1 — Зз'з + 2з") соз Ф ) А (з' — 2з'2+ в'з) сов Ф Р~1 = (6 — 12 в') (6з' — 6в'в) яп Ф О 1 у ! 3 з1пФ:, О (З в 2з'~) сов Ф, г ( з'2+ з'з) соз Ф Г (2 — 6з') (12.12) ! (2в' — Зз'~) яп Ф гХ.
Теперь известны все составляющие, необходимые для составления матрицы жесткости (или матрицы нагрузки, перемещений, напряжений и начальных напряжений) по стандартным формулам гл, 2. Интегрировать надо по площади А элемента, т. е, дА = 2пг йв = 2лг! Ив', (12,13) где а' изменяется от 0 до 1. Следовательно, в соответствии с (2.10) имеем ! ]й] = ~ ]е]] ]о] ]В] 2пге ия'. (12.14) Типичная годматрица ~Й„1 этой матрицы имеет вид ! ]й„] = ]хК ~ ]и,]" ]е]]з,] гс~з') я опт..
(12.15) Перед интегрированием необходимо выразить радиус г через в. Как и раньше, удобно использовать численное интегрирование. В работе Графтона и Строума 111 приведены явные выражения для матрицы жесткости, полученные на основе вычисления г о О ( — 6+ 12з') ~2 ( — 6з' + 6з'з) яп Ф ! г (4 — 6в') Е ( — 1 + 4з' — Зз'2) з]п Ф ] Глава 12 лишь одного среднего значения подынтегральной функции и при использовании матрицы Я ортотропного материала.
Даже такая грубая аппроксимация позволяет получить очень хорошие результаты при условии, что размеры элементов малы. Перси и др. 141 и Клейн 15) провели численное интегрирование по семи точкам и получили несколько улучшенную матрицу, хотя она и не приведена в явном виде. Следует помнить, что если заданы действующие по окружности нагрузки или моменты, то в расчеты должно закладываться их полное окружное значение, так же как это делалось в случае осесимметричных тел, рассмотренных в гл.
б. 12.3. Примеры и точность Для рассматриваемых здесь осесимметричных оболочек условия непрерывности выполняются. Поэтому для полигональных оболочек всегда будет наблюдаться сходимость. Проблема аппроксимации криволинейной оболочки полигональной аналогична проблеме, рассмотренной в гл. 11. Числовые расчеты подтверждают ожидаемую сходимость. Когда нагрузка вызывает в основном мембранные напряжения, даже при достаточно мелком разбиении наблюдается некоторое расхождение в значениях изгибающих моментов. Однако с дальнейшим уменьшением размеров разбиения оно исчезает, особенно если при расчете значения моментов усредняются. Это необходимо делать для исключения влияния замены оболочки набором усеченных конусов. На фиг. 12.3 и 12.4 показано несколько типичных примеров, взятых из работы Графтона и Строума 111.
12.4. Криволинейные элементы н нх функции формы В гл. 8 уже рассматривались искривленные (криволинейные) элементы, причем в выражение для деформации входили только первые производные. В данном случае это выражение содержит вторые производные 1см. (12.1)1, и поэтому некоторые теоремы гл. 8 здесь неприменимы.
Ранее упоминалось, что для исследования осесимметричных оболочек предложено множество криволинейных элементов '17 — 101. Элемент, описанный здесь, получен Айронсом и Делпаком [9); в соответствии с терминологией гл. 8 он относится к элементам субпараметрического типа. Основой для определения криволинейного элемента служит общая касательная между смежными элементами (или заданное направление касательной).
Это необходимо, чтобы избежать «изломов» при описании практически гладкой оболочки. 7„оЯ 7.Едб Я а 400 р.в! 3 я.я ф !,Я7 а-т Е = Ю, 74 "70 Н/дв О =0,00 у7! Н~ьг !=0,0аси 8,54р Число мамгмюю »в вв»»оаа» в чиг. 12.3. Расчет цилиндрической оболочки методом конечных элементов (Графтон и Строум, ХАААА, 19Я). а: — теоретическое решение1 Л случай 1, ошибка определения максимального перемещения 31,ум; ц случай 2, ошибка определения максимального перемещенйя 11,!м1 О случай 3, ошибка определения максимального перемещения 3,1М. б: — теоретическое решение; Л случай 1, ошибка определения максимального момента 26,8м; С1 случай 2.
ошибка определенна максимального момента 11,0м; О случай 3, ошибка определения максимального момента 2,5Я„ Расположение иэлоб Й с ин~пербалом 0,5 алом 7,0 балом Рд' интербалом 7б бб7 М ~ф Л„б4 -1,27 2,17 йол межф нормальЮ б лоберхноояи и осью бращения ф, ероо :Фиг.
'12.4. Расчет полусферпческой оболочки методом конечных элементов (Графтон и Строум. УА1ЛЛ, 1963). Сначала рассмотрим прямолинейный исходный элемент, для которого неизвестная функция ф выражается через свои узловые значения и значения углов наклона в точках 1, 2 (фиг. 12.5), Координата $ изменяется от — 1 до +1 (как в примере гл. 8), 0сесимметричные оболочки Используя принятые обозначения, можно записать (12.16) Здесь У' и У" — скалярные функции формы, которые при задании в виде полинома имеют третий порядок (как в соотношении (12,9) для и). Фиг. 12.5. Криволинейный изопараметрический элемент оболочки для осесим- метричных задач.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
