Метод конечных элементов (1061787), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ых~ Глава 70 Множество полиномов Зрмита первого порядка, таким образом, представляет собой множество полиномов третьего порядка. Их обычно используют в качестве функций формы для линейного элемента ц, узловыми переменными на концах которого являются значения функции и углы наклона.
На фиг. 10.22 показано такое множество полиномов третьего порядка. о,в нилам -Г Фиг. 10.22. Функции Эрмита первого порядка. Легко проверить, что функции формы ~Ф4 = ~Нй" (х) Ног~'(у), О'ц'(х) Ом'(у), нЦ (х) нУ (ф, нУ (х) 01~~~~ (у)~ (10.39) соответствуют функциям дгв да~ д'гв Ф ду ' д~ ' д~ду и принимают единичные значения в узловой точке ~ и нулевые — в остальных точках. Элемент, основанный на этих функциях, построен Богнером и Шмитом (81 и довольно успешно использовался кми.
Дальнейшее усовершенствование этого элемента, состоящее во включении условий непрерывности производных высоких порядков, осуществляется весьма просто и описано в работе Я. В неискривленной форме такие элементы, как и все прямо- угольные, применяются крайне редко. Изгиб пластий 10.15. Треугольники с двадцатью одной и восемнадцатью степенями свободы Если потребовать выполнения в узлах условий непрерывности производных выше первого порядка ~при этом, как пояснялось в равд. 10.3, накладываются определенные ограничения на неоднородность свойств), то нетрудно построить элементы, согласованные относительно прогиба и производной от него.
Если в качестве узловых степеней свободы принять величины д~ д~~, д2щ д2~> д2~ Ж дх" ду ' дх' ' ду' ' дхдд' Я = 121 + 02Х + ... + С221Д, (10.40) то, следуя тем же рассуждениям, что и при построении прямо- угольного элемента в разд. 10.4, можно записать + 21~12 + 20~12 1 !+ 21+ +2а + ... + 2а1ау1; и т. д. ') Рекомендуется записывать полином в обычных декартовых координа. тах, а пе в Е:координатах. Поскольку полином полный, симметрии сохраняется. то треугольный элемент будет иметь по крайней мере восемнадцать степеней свободы. Полный полипом пятого порядка содержит двадцать один член. Следовательно, если добавить еще три степени свободы (нормальные производные) в середине сторон, то можно получить достаточное количество уравнений для нахождения функции формы. На любой границе имеем шесть величин, определя1ощих закон изменения и ~перемещение, производные и кривизну в угловых точках), т.
е. полипом пятой степени. Таким образом, закон изменения в определяется единственным образом и, следовательно, функция 121 непрерывна между элементами. Лналогично производная де~да задается пятью величинами и ведет себя, как полином четвертого порядка. Именно это и, :требуется для выполнения условий непрерывности деформаций и углов наклона между элементами. Если записать полный полинам пятой степени ') Глава 1О и получить окончательное выражение (И' = 1С1 (а), (10.41) где 1С1 — матрица размерности 21 )( 21. Единственная трудность, которая может в дальнейшем встретиться, состоит в определении нормальных производных в узлах посередине сторон. Однако если заметить, что (фиг. 10.18) — =созф — + з1пф— д~в д~в . да~ да дх ду ' (10.42) где ф — угол между рассматриваемой стороной и осью х, то процедур а упрощается.
Обратить явно матрицу 1С] нелегко, поэтому такие величины, как жесткость и др,, вычисляются с помощью численного обращения. Наличие на сторонах дополнительных узлов с одной степенью свободы все же вносит некоторые трудности. Однако дополнительные степени свободы можно устранить, если вдоль каждой стороны треугольника допустить только кубический закон изменения нормальной производной. Ясно, что прн этом количество степеней свободы и порядок матрицы 1С) уменьшаются до восемнадцати и получается элемент (фиг.
10.18, д) с тремя угловыми точками и восемнадцатью степенями свободы. Такой элемент используется чаще. Рассмотренные элементы были совершенно независимо построены и описаны в нескольких статьях, опубликованных в 1968 г. Такой любопытный факт одновременного открытия наблюдается во многих областях науки на определенной стадии развития знаний.
Так, элемент с двадцатью одной степенью свободы описан Айронсом 1271, Аргирисом 1231, Беллом 1101, Боссардом 1241, Виссером 125) (авторы перечислены в алфавитном порядке). Вариант этого элемента, но с восемнадцатью степенями свободы построен Аргирисом 1231, Беллом 1101, Купером и др. 1261. Очень похожее, но более сложное построение осуществлено Батлином и Фордом ~1Ц. Очевидно, что можно построить еще много элементов такого типа, а некоторые из них уже были предложены в указанных работах. Однако всегда следует помнить, что они могут оказаться непригодными, если материал неоднороден и свойства его изменяются скачкообразно.
Кроме того, наличие производных высоких порядков затрудняет формулировку граничных условий для них и производные от энергии уже нельзя интерпретировать как «узловые силы». Поэтому инженер все же может Изгиб пластин скорее отдать предпочтение физически более наглядной формулировке, несмотря на то что во многих работах продемонстрирована очень хорошая точность таких элементов, 10Л6. Заключительные замечания В настоящей главе содержится подробный обзор функций формы и методов их построения. Включение его в книгу объясняется не только тем, что задача об изгибе пластин имеет важные инженерные приложения, но и тем, что представленные здесь функции формы применимы ко всем задачам, функционал которых содержит вторые производные.
Например, их можно использовать в задачах о вязком течении и других задачах такого типа. В самом деле, даже задача о двумерном напряженном состоянии, как хорошо известно, может быть сформулирована с помощью функций напряжений, а при этом получаются именно такие функционалы. При таком подходе уравнения равновесия выполняются автоматически, и путем минимизации «дополнительной работыв можно получить верхнюю границу решения.
Такая формулировка впервые была предложена Вебеке и Зенкевичем 128$. Другие подходы к решению задачи об изгибе пластины здесь не приведены. Некоторые из них хорошо обоснованы 130 — 361, но имеют более ограниченную область применения. Основные соотношения этой главы основаны на классической теории тонких пластин. Поэтому деформации сдвига не рассматриваются, Тем не менее бесспорно, что в случае толстых пластин их необходимо принимать во внимание. В работах ~21, 30, 311 предприняты попытки приближенно учесть деформации сдвига, В гл. 14 данной. книги это будет сделано другим способом.
ЛИТЕРАТУРА 1. Т1гпозЬепЬо 5. Р., %о1повз)гу-Кг!еаег $., ТЬеогу о1 Р1а1ез апг1 5Ье11з, 2пг1 ег1., Мсйга~ч-Н111, 1959; есть русский перевод: Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С., Пластинки и оболочки, Физматгиз, 1963. 2, 1гопз В. М., Ргарег К, 1., 1пабеЧпасу о1 Ь1оба1 Соппеспопз 1п а Я111пезз Бо1п11оп 1ог Р1а1е Вепйпя, УА1ЛЛ, 3, 5 (1965); есть русский перевод." Айронс„ Дрейпер, Несоответствие узловых связей при расчете изгиба пластин методом жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 3, Ия 5, стр. 206 — 207 (1965). 3. С1опдЬ К. %;, ТосЬег 1.
1., Нп11е Е1егпеп1 Я1Ипезз Ма1псез 1ог Апа1уз1з о1 Р1а1ез 1п Вепг11пя, Ргос. Соп1. Ма1г)х Ме1Ьобз 1п Ягпс1. МесЬ., А1г Рогсе 1пз1. о1 ТесЬп., %г1дЬ1 Ра11егзоп А. Г. Вазе, ОЬ|о, Ос1. 1965. 4. Вахе1еу О. Р., СЬеппя г'. К., 1гопз В, М., 21епЫетлсх О. С., Тг1апип!аг Е1егпеп1з 1п Вепг)1пя — Соп1оггп1пд апй Йопсоп1оггп1пя Яо1п11опз, Ргос, Глава 10 Соп1. Ма1пх Мейодь 1п Ягцс1. МесЬ., А1г Рогсе 1пв1. о1 ТесЬ., ЪЧпдЫ Ра11егвоп Л.
Р. Вазе, ОЬю, Ос1. 1965. 5. 5апдег О., Вогпев вцрег!ецгез е1 ш1епецгез дапь Гапа1уье та1пс1еИе деь р1щцев еп 1!ехюп — 1огвюп, Ви11. оос, Коуа!е г!вь Яс. г!в 1.!ваяв, 33, 456— 494 (1964). 6. 1)е ЧецЬеке В. Г., Бепд!п~ апд- Яге1сЫпй" о1 Р1а1ез, Ргос, Соп1, Ма1г!х Мейодз !и Ягцс1. Месй., А1г Рогсе 1пь1. о! ТесЬ., Ъ"г!дЫ РаИегвоп А. Р.
Вазе, ОЫо, Ос1. 1965. 7. 1гопв В. М., А Соп1огшшд ч1цаг1!с Тпапац1аг Е1етеп1 1ог Р!а1е Вепд!пй', 1пй У. Л'ит. Л!ей. Ена., 1, 29 — 46 (1969). 8. Воспет Р. К., Рох К. 1, бс1ппИ 1. А., ТЬе Оепега11оп о1 1п1еге1ешеп1— СогпраИЫе ЯИ(певв апд Маьз Ма1псев Ьу 1Ье 1.1ве о1 1п1егро1а1юп Рогпш1ае, Ргос.
Соп1. Ма1пх Ме1Ьодв ш Ягцс1. МесЬ.„А(г Рогсе 1пв1. о1 ТесЬп., %пай! РаИегзоп А. Р. Ваье, ОЫо, Ос1. 1965 9. опий 1. М., Пцпсап К., ТЬе Е11ес1!ъепевь о1 Ь!ода! СопИпцИ1еь ш Р!пИе Е1еп1еп1 Апа1уяв о1 ТЫп Кес1апац1аг апд бке~ч Р1а1ев !и Вепдшй, УМ, У. 1Уит. МеУЬ. Еаа., 2, 253 — 258 (1970). 10. Ве11 К., А КеИпед Тг!ащц!аг Р1а1е Вепд!пи Е1ешеп1, 1пй У. Хит. Мв1а.
Енд'., 1, 101 — 122 (1969). 11. Вц1Ип О. Л., Рогд К., Л СошраИЫе Р1а1е Вспд!па Е1ешеп1, 11п!ч. о1 1.е1сез1ег Епд 0ер1. Кер1., 68-15, 1968. 12. Х1епЫеМсх О. С., СЬецпд '1. К., ТЬе Р!пИе Е1егпеп1 Мейод 1ог Апа1уяв о1 Е1азИс 1во1гор!с апд Огйо1гор1с ЯаЪв, Ргос. Уиьй С(о. Епа., 28, 471 — 488 (1964). 13. С1ощЬ К. Ч1., ТЬе Р1пИе Е1етеп1 Мейод (п Ягцс1цга1 МесЬап1сз, СЬ. 7 1п: Ягезв Лпа1уяв, Ъепк1етч1сз О. С., Но11з1ег О.
8., едв., %11еу, 1965. 14. 0аже О. У,, Рага11е1оагащ-Е1ешеп1 !п 1Ье Бо1цИоп о1 КЬотЫс Сап111ечег Р1а1е РгоЫешв, У, о! ЯгаУп Лпа1ув!з, 3 (1966). 15. Агат!з,). Н., Соп1шца апд Р1ьсоп11пца, Ргос. Соп1., Ма1пх Мейодз 1п Ягцс1. МссЬ., А!г Гогсе 1пв.. о1 Тесйп.„%г!дЫ РаИегвоп А. Р. Вазе, ОЫо, Ос1. 1965. 16. %а1х Л. Е., РцИоп К. Е., Сугцв М. У., Ассцгасу апд Сопъегаепсе о1 Р1пИе Е1егпеп1 АрргохцпаВоп, Ргос. 2пд Соп1, Ма1пх Мейодв 1п Ягцс1. МесЬ., Л(г Рогсе 1пв1. о1 ТесЬп., Вг!8Ы РаИегвоп А. Г. Ваье, 01цо, 1968.
17. Мс1овЬ К. У., Ваяв о1 Бег!ма!!оп о1 Ма!пеев 1ог йе Игес1 81!11певз Ме1- Ьодз, УЛУАЛ, 1, 1631 — 1637 (1963); есть русский перевод: Мелотц, Основы получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 7, стр. 169 — 176 (1963). 18.
Ад!п! А., С1оцаЬ К. ЪЧ., Апа1уяз оЕ Р1а1е Вепд!пи Ьу йе Г1пИе Е1еп1еп1 Мейод апд Керог1 1о Ь!а1. 5с!. Роцпд/118А, 6. 7337, 196!. 19. СЬецпд т'. К., К!пй 1. Р., Х1епк1еМсх О. С., ЫаЬ Вг1даев цИЬ АгЫ1гагу ЬЬаре апд Бцррог1 СопдИ1опв — а бенеги! Мейод о1 Апа1уяв Вазед оп Р!пИе Е1етеп1в, Ргос. Упь!. С(о. Епд., 40, 9 — 36 (1968). 20.
ТосЬег Д. 1., Карцг К. К., Сопипеп! оп Ваяь о1 Оепча1!оп о1 Ма1псеь 1ог Пгес1 БИ1певв Мейод, УАУАЛ, 3, 1215 — 1216 (1965); есть русский перевод: Точер, Капур, Замечания к статье <Основы получения матриц для прямого метода жесткостей», Ракетная техники и космонавтика, 3, № б, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
