Метод конечных элементов (1061787), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ясно, что в таких случаях следует применить сглаживание и внимательно подойтн к оценке результатов Некоторые лригхенениа изопарал~етрических элементов ЛИТЕРАТУРА 1. 1гопз В. М., Епн$пеег$пд Арр1$са$$оп о1 Кшпег$са1 1п$едга$$оп $п 5$$11пезв Ме$Ьод, ХАХАА, 4, 2035 — 2037 (1966); есть русский перевод: Айронс, Инженерные приложения численного интегрировании в методе жесткостей, Ракетнал техники и космонавтика, 4, № 11, стр. 213 — 216 (1966). 2. 1гопз В.
М., Соттеп$ оп «5$$1$певв Ма$г(сев 1ог 5ес$ог Е1егпеп$» Ьу Ка1н 1. К., Као А. К., ХАХАА, 7, 156 — 157 (1969); есть русский перевод: Айронс, Замечание к статье «Матрицы жесткости элементов в форме сектора», Ракетнал техника и космонавтика, 8, № 3, стр. 271 (1970). 3. 1гопя В. М,, Р$всняз$оп, р, 328 — 331, о1 Г$п1$е Е1егпеп$ ТесЬпщпев $п Ягпс$цга1 МесЬап$св, То$$епЬагп Н., ВгеЬЬ1а -С„ес$з., Боц$Ьагпр$оп $.$пи. Ргевз, 1970.
4. 1гопв В. М., Тез$$пд апс$ Азяевз$пн Г$п$1е Е1егпеп$з Ьу ап Е$не~ка1пе ТесЬ- пщие, Ргос. Соп1. оп Кесеп( $.1ече1оргпеп$в $п Ягевз Лпа1ув1в, Х. Вг. Кос. И. Аи., Коуа1 Лего Бос, (1968). 5, Е!епЫемск О. С„1гопз В. М., Егда$оцйз Д., ЛЬгпад Ь., Бсо$$ Г. С., 1зорагагпе$г$с апг$ Азвос$а$ег$ Е1егпеп$ Гагп$11ез 1ог Тжо апд ТЬгее 0$гпепв$опа1 Апа1уз$в, Ргос, Соцгяе оп Г$п$$е Е1егпеп$ Ме$Ьос$з Хп Ягезз Лпа1уыз, Но1апг$1., ВеП К., е($в., Тгопсйе$гп ТесЬ.
ХХп1т., 1969. 6. 1гопз В. М., Х$епЫеМсх О. С., ТЬе Хворагагпе$г$с Г$п1$е Е!егпеп$8уз$ет— а Меж Сопсер$ Хп Г$п1$е Е1етеп$ Апа1уз$з, Ргос. Соп1. Кесеп$ Агапеев 1п Ягевз Апа!уыз, Коуа1 Лего-Яос., 1968. 7. Егьа(оцйз,$. С$., 1гопя В. М., ЪепЫеж$сг О. С., Сцгчег$, 1ворагагпе$г(, «Яиаг$г11а$ега1» Е1егпеп$я $ог Г$п1$е Е1егпеп$ Апа!уз$з, 1п$. Л. Бо1$г)з апг$ Ягпс$,, 4, 31 — 42, (1968). 8. Егда$оцд$я .$. б., 1зорагагпе$пс Е1егпеп$я $п Тюо апг$ ТЬгее Р$гпепз$опа1 Лпа1уз1я, РЬ. О.
ТЬеыв, 1)пж, о1 Жа1ея, Бжапзеа, 1968. 9. Егда$онд1я Х. (л„Хгапя В. М., Х$епЫеЫск О, С., ТЬгее 0$гпепя$опа1 Апа1уыз о1 АгсЬ Рагпв апг$ ТЬе1г Гонпг$а$1опя, Бугпр. оп АгсЬ Пагпз, 1пя$. С$ч. Епд„Х опг$оп, 1968. 10. ЪепЫемст О. С., 1гопв В. М., СагпрЬе11 д., Бсо$$ Г, ТЬгее Оппепз$опа1 8$гезв Апа1уыз, Хп$. Х)п. ТЬ. Арр1. МесЬ. Бугпр.
оп Н1дЬ фреей Согпрц$1пд $п Е1аз$$с$$у, $.$еае, 1970. ГЛАал 1О ИЗГИБ ПЛАСТИН .10.1. Введение Во всех задачах предыдущих глав основные зависимости между напряжениями и деформациями приведены в точной форме, хотя окончательное решение находилось приближенно. В классической теории пластин Щ, чтобы упростить задачу и свести ее к двумерной, с самого начала вводятся некоторые гипотезы, а именно делаются предположения о линейном изменении деформаций и напряжений по нормали к плоскости пластины.
Так называемые точные решения теории пластин справедливы только тогда, когда справедливы эти допущения, т. е. если пластины тонкие и прогибы малы. При решении представленных здесь задач использовались допущения классической теории пластин, и, следовательно, точность приближенных решений должна проверяться на известных задачах теории пластин, Пределы их применимости будут такими же, как и теории пластин. Деформированное состояние пластины полностью описывается одной величиной — прогибом а срединной поверхности пластины. Однако теперь условие непрерывности между элементами должно быть наложено не только на эту величину, но и на ее производные. Это необходимо для того, чтобы пластина оставалась сплошной и пе появлялись изломы').
Поэтому в каждой узловой точке обычно приходится удовлетворять условиям равновесия и непрерывности. Выбрать подходящую функцию формы теперь гораздо сложнее. В самом деле, если на границе между элементами требуется выполнение условия непрерывности угла наклона, то непропорционально возрастают математические и вычислительные трудности. Однако относительно просто получить функции формы, которые, сохраняя непрерывность сп между элементами, допускают нарушение непрерывности угла наклона, хотя, конечно, не в узловых точках, где условии непрерывности заданы, Если такие функции удовлетворяют критерию кпостоянства деформацийв, то решение может сходиться (см.
гл. 2). В первой части этой главы рассматриваются именно такие несогласован- ') Если появляется излом, то вторая производная (кривизна) становится бесконечной и в выражении для энергии появляются бесконечные члены. Озгиб пластин 187 ные функции формы. Во второй части вводятся новые функции, которые позволяют удовлетворить условиям непрерывности. С помощью этих согласованных функций можно получить более корректное, но, как правило, менее точное решение. Для практического применения рекомендуются функции, описанные в первой части этой главы. Элементом простейшей формы является прямоугольник.
Использование треугольных и четырехугольных элементов связано с некоторыми трудностями, и они будут рассмотрены позднее; для расчета пластин произвольной формы и оболочек именно такие элементы являются основными, 10.2. Формулировка задачи об изгибе пластин в перемещениях (10.1) где функции формы зависят от декартовых координат х, у, а столбец Я' содержит все (узловые) параметры элемента. Обобщенные деформации и напряжения должны быть теперь определены так, чтобы их скалярное произведение, как и в гл.2, давало внутреннюю работу. Таким образом, определим деформации (фиг.
10.1) как д'в (д1 = ~ — дд. ! д дд~ (10.2) Соответствующими напряжениями являются обычные изгибающие и крутящие моменты па единицу длины в направлениях ХИД: М„ ®= Му М д Так как истинные деформации и напряжения изменяются линейно по толщине пластины 1Ц, то их можно найти из соот- ношений (10.3) 12мх Сд —,х~ И т. Д., В соответствии с обычной теорией тонких пластин перемещение пластины однозначно определяется известным во всех точках прогибом в. Запишем его в общем виде: 188 Фиг. 1ОЛ.
Результирующие напряжений или просто напряжения при изгиба пластин. где г отсчитывается от срединной плоскости пластины, а 1— толщина пластины. Можно показать, что произведение выражений (10.2) и 110.3) соответствует внутренней работе. Так как теперь в выражение для деформаций входят вторые производные, то, согласно критерию непрерывности, функции формы должны обеспечивать непрерывность как а>, так и угла наклона нормали к границе ме1кду элементами.
Критерий постоянства деформации требует, чтобы внутри элемента можно было воспроизвести любое постоянное значение второй производной. Чтобы по крайней мере приближенно удовлетворить условию непрерывности угла наклона, в качестве узловых параметров рассматриваются три компоненты перемещений: во-первых, пе- Силы и саотВетстбуа- саие деремиценин Фиг. 10.2. Прямоугольный элемент пластины.
Изгиб пластин ремещение в„в направлении а, во-вторых, угол поворота (О„)„ вокруг оси у и, в-третьих, угол поворота (О„)„вокруг оси х. На фиг. 10.2 показаны положительные направления поворотов, определяемые по правилу правой руки. Их величины задаются векторами, направленными по соответствующим осям. Ясно, что углы наклона ы и углы поворота совпадают с точностью до знака, поэтому можно записать Как показано на фиг. 10.2, узловыми силами, соответствующими этим перемещениям, являются сила и два момента: ~ы (Р.) = Ро ~ (10.5) Ро„; Если известна матрица (В), то матрица жесткости и все остальные матрицы строятся обычным образом с помощью соотношений гл.
2. Из определений (10.1) и (10.2) следует, что (10.6) Запись функций формы в квадратных скобках подчеркивает, что они являются матричными величинами„состоящими из трех элементов. Матрица упругости ~В3 входит в обычное соотношение; (о) =— (М) = [й1 ((а) — (ао)) + (сто) (И.'7) Для изотропной пластины имеем (см.
111) 1 м О (10.8) 1 — ~ О О Чтобы описать поведение ортохропной плиты, главные направления упругости которой совпадают с осями х и д, Глава Ю необходимо использовать четыре постоянные, т. е. матрица [О] в этом случае имеет вид в в, о Р1= О,,Ои О (10.9) О 0 О„„ Как показали Тимошенко и Войновский-Кригер [Ц, эти вели- чины можно связать с соответствующими упругими постоянны- ми материала, но удобнее оставить их именно в такой форме, так как теория пластин часто используется для расчета рост- верков'). В таких случаях эти постоянные должны отражать свойства ростверков. Ясно, что если материал обладает анизо- тропией общего вида, то в матрицу входит самое большее шесть постоянных, так как она всегда симметрична, 10.3.
Условие непрерывности Функции Формы Для обеспечения непрерывности функции ти и угла наклона нормали на границе между элементами необходимо, чтобы ж и ды/ди единственным образом определялись через заданные значения на этой границе. У ! Рассмотрим фиг. 10.3, где язов 4-- бражена стороыа ! — 2 прямоугольного элемента. Направление нормали п фактически совпадает с направлением у, и, следовательно, необходимо, чтобы ю и 3 да~/ду единственным образом определялись значениями и, ды/дх, ди/ду в узлах, лежащих на этой стороне, Следуя принципам гл. 7, можно записать, что вдоль стороны 1 — 2 прямоугольного элемента тв=А1+А2х+А,х'+ ... ' (10,10) Фиг. 10.3. Требование непрерыпно сти углов наклона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
