Метод конечных элементов (1061787), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Хотя пределы интегрирования простые, выражение для ~6) в явном виде, к сожалению, очень сложное, Поэтому, за исключением некоторых простейших элементов, точно интегрирование провести не удается и приходится прибегать к численному интегрированию. Впрочем, это, как мы увидим далее, не так уж плохо и имеет то преимущество, что позволяет избежать алгебраических ошибок и составить типовые программы для различных классов задач независимо от вида элемента. При использовании численных методов обращение матрицы Щ никогда не производится явно. 8.7. Матрицы элемента. Х;координаты Соотношения (8.2) преобразования координат и зсе последующие теоремы в равной степени справедливы для любой системы локальных координат. В частности, с их помощью координаты Х,ь Х.г, ..., введенные в предыдущей главе для треугольников и тетраэдров, можно связать с глобальными декартовыми координатами.
Большая часть рассуждений предыдущей главы остается в силе, если соответствующим образом переименовать локальные координаты, Однако появляются два существенных отличия. Во-первых, локальные координаты не являются независимыми и число их на единицу больше, чем декартовых. Матрица [Х1, следовательно, становится прямоугольной и не допускает обращения.
Во-вторых, меняются пределы интегрирования, которые теперь должны соответствовать треугольным или тетраэдральным первичным элементам. Простейший, хотя, возможно, и не самый изящный, способ избавиться от первого затруднения — это считать последнюю переменную зависимой. Так„ например, для тетраэдра (используя обозначения предыдущей главы) введем формально ~ =Х.ь ~1=Хь 1 — $ — т1 — ~ = Х.~.
Таким образом, равенство (8.16) и все соотношения вплоть до (8.19) сохраняются без,изменений. Глава В Поскольку функции У~ выражаются через координаты ~ь Ц и т. д., то дУ1 дй~ дЕ~ дМ~ д'.р дМ; дАз дЖ~ дЬ, Учитывая (8,21), приходим к равенству дУ; дМ~ дМ~ д$ =дЬ, дА,' Остальные производные получаются аналогично. Пределы интегрирования в (8.20) заменяются на пределы, соответствующие тетраэдру, т. е. ~ ~-~~1-я-г (8,23) Аналогичная процедура справедлива и для треугольника. Заметим, что сложность выражения для (б) опять вызывает необходимость численного интегрирования, которое должно производиться по простой, неискривленной, первичной области, т.
е. по треугольнику или тетраэдру. Отметим, наконец, что каждый из элементов, рассмотренных в предыдущей главе, может быть деформирован в криволинейный. ногда, как, например, для трефиг. 8,8. Криволинейная трехгран- Иногда, как, н р р, д угольной призмы, одновременно используются и прямоугольные и Ь-координаты (фиг. 8.8). Сделанные ранее замечания относительно зависимости координат остаются в силе. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 8.8. Одна переменная Еще в гл.
5, где рассматривалась относительно простая задача об осесимметричном напряженном состоянии и использовались простые треугольные элементы, отмечалось, что точное интегрирование выражений, входящих в матрицы элемента, связано с большими трудностями.
В таких задачах, как и при использовании сложных криволинейных элементов, возникает необходимость численного интегрирования, 159 Криволинейные изоиараттрические элементы Здесь мы изложим основные принципы численного интегрирования и приведем таблицы квадратурных коэффициентов, Интеграл от функции одной переменной можно вычислить двумя основными методами (7, 81.
Квадратура Ньютона — Котеса'). Сначала априори выбираются точки, обычно равноотстоящие друг от друга„в которых вычисляются значения функций. Затем строится поливом, а У Фиг. 8.9. Интегрирование методами Ньютона — Котеса (а) и Гаусса (б). Оба метода позволяют точно проинтегрировать полином седьмой степени (т, е, погрешность имеет порядок О(Л«)). ') Термин «квадратура» испольауется вместо термина «численное интегрирование».
значения которого совпадают со значениями функции в этих точках, и гочно интегрируется (фиг. 8,9). Так как и значений функции определяют полином степени а — 1, ошибка имеет порядок 0(Ь)", где Ь вЂ” расстояние между точками. В результате получаем известные квадратурные формулы Ньютона — Котеса, в соответствии с которыми интеграл можно записать в виде 1 П (8.24) при интегрировании в пределах от — 1 до +1 (фиг.
8.9,а). Например, если и = 2, то ~ =И вЂ” 1) + 1(1). (8.25) При п = 3 получается известная формула трапеций У .= — И вЂ” 1) + 4Р (О) + И1)Ь при и = 4 — формула одной трети Симпсона Х= — Ц( — !)+3~( — — )+ 3~( — )+~(!Я. (8.27) Формулы интегрирования для различных а (до п = 20 включительно) приведены у Копаля 181. Квадратура Гаусса. Если значении функции вычисляются не в априорно заданных точках, а так, чтобы достигалась наилучшая возможная для данного количества точек точность, интегрирование выполняется точнее. Если положить, что 1 П (8.28) и снова представить подынтегральную функцию в виде поли- нома, то нетрудно увидеть„что для а точек интегрирования получим 2а неизвестных (1'; и ~;), и, следовательно, можно построить и точно проинтегрировать полипом степени 2а — 1 (фиг.
8.9, б). В результате ошибка будет иметь порядок О(Л)~". Решить полученную систему уравнений трудно, но с помощью некоторых математических приемов 171 решение можно получить в полиномах Лежандра. Поэтому этот метод часто называется квадратурой Гаусса — Лежандра. В табл. 8.1 приведены координаты точек и весовые коэффициенты для интегрирования по Гауссу. Таблица 8.1 Абсциссы и весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса 1 Я 89 626 66 692 ООООО 55 555 88 888 55 556 88 889 0,77459 о,ооооо 4! 483 ооооо 63 115 1О4З5 37 454 62 546 0,86113 0,33998 О,З4785 0,65214 94 053 84856 и= 10 0,90617 О,5З846 0,00000 0,93246 0,66!20 02386! 0,94910 0,74153 0,40584 о„ооооо 0,96028 0,79666 0,52553 О,18З43 0,96816 О,8ЗООЗ 0,61337 0,32425 о,ооооо 0,97390 0,86596 0,67940 0,43339 0,14887 98 459 93 101 оо ооо 79 123 11 855 51 513 ООООО 98 564 64 774 24О99 46 424 О2 395 !! О73 !4 З27 34234 ОО 000 65285 33 666 95 682 53 941 43 389 38 664 05 683 оо ооо 03 152 66 265 83 197 42 759 99 394 77 397 оо ооо 97 536 13 627 16 329 95 650 О7 626 26 636 ОО 59О ОЗ 809 оо ооо 17 172 88 985 99 024 29247 8! 631 0,23692 0,47862 0,56888 О,!7132 0,36076 0,46791 0,12948 0,27970 0,38'8З 0,41795 0,!О!22 022238 О,З1З7О 0,36268 О,08127 0,18064 0,26061 0,31234 0,33023 0,06667 О,14945 0,2!908 0,26926 0,29552 68 850 86 704 88 888 44 923 15 730 39 345 49 661 53914- ОО 505 91 8З6 85 362 !О 344 66 458 З78ЗЗ 43 883 81 6О6 О6964 70 770 93 55О 13 443 13 491 6З 625 67 193 42 247 56 !89 99 366 88 889 79 170 48 !З9 72 691 68 870 89 277 05 119 73 469 90 376 53 374 77 887 78 362 61 574 94 857 О29З5 4О ООЗ 01 260 08 688 50 581 15 982 О9996 14 753 162 Глава 8 1 Ф )= ~ и(И!1)!)=Кн!'!1д (8.29) при известной функции ы(К), если опять заменить ~(К) полино- мом ~73.
8.9. Прямоугольник или прямая призма Проще всего взять интеграл ! ~ ~ )ф, тдд!й), — 1 -1 вычисляя сначала значение внутреннего интеграла в предположении, что т~ — постоянная, т. е, используя формулу )! (8.31) Вычисляя затем внешний интеграл, получаем 1 а Д !! Аналогично для прямой призмы имеем 1 1 1 (8.33) В методе конечных элементов сложность вычислений заключается в определении значений интегрируемой функции ~„поэтому в дальнейшем будет применяться только формула Гаусса, использующая минимальное число значений функции.
Можно получить формулы для интегрирования с заданной степенью точности выражений вида Криволинейные изопараметричеекие элементы Здесь предполагалось, что число точек интегрирования в каждом направлении одинаково. Интересно отметить, что двойное суммирование легко заменить простым по (и Х и) точкам для прямоугольника (или по и' точкам для куба). На фиг. 8.10 показано девять точек, необходимых для точного интегрирования полинома пятого порядка по каждой из переменных. 1 Однако к решению этой задачи можно было бы подой~~ с дру~ой с~~р~~~ и 7 8 д интегрировать точно полином пятого по- Д рядка по двум переменным. В этом случае в каждой точке пришлось бы определить две координаты и значение подынтегральной функции ~, входящей в весовую формулу типа 1 1 Л1 — 1 1(Ь 4 А~Ч = ~~ в ~ Вь Ч ).
Фнг. 8.10. Точки интегрирования для и = 3 в квадратной области. (Точно интегрируется полнном пятой степени по каждой переменной.) (8.34) Оказывается, что при этом для достижения той же точности достаточно было бы использовать только семь точек. Формула такого типа для трехмерного «кирпичика» получена и с успехом использована Айронсом (91.
8.10. Треугольник или тетраэдр Для треугольника интегралы по 1.-координатам имеют вид ~ ~ — ь, (8.35) Опять можно было бы использовать и гауссовых точек и получить сумму типа, рассмотренного в предыдущем разделе. Однако теперь пределы интегрирования сами содержат переменные, поэтому для второго интегрирования удобно использовать выражения вида (8,29) квадратуры Гаусса, где а~ — линейная функция. Это было сделано Радо 110, 1Ц.
В табл. 8.2 приведены весовые коэффициенты, входящие в выражение 1(оэффициеиты длн интетрировынн но формулам Гаусса и Радо Колпчестио точек интегриро- вания в каигаой напраниении АЯ Я 1 1,и 'А~ И 1=1, а НЩ 7=1, а А7 !У! 7=1, а и=! 1,0 0,5 0,2! ! 3248654 0,788675!346 0,5 0,5 О,!127016654 0,5 0,8872983346 0,2777777778 0,4444444444 0,2777777778 0,0694318442 0,3300094782 0,6699905218 0„9305681558 0,1739274226 0,3260725774 0,3260725774 0,1739274226 0,0469!00770 0,2307653449 0,5 0,769234655 ! 0,9530899230 О, ! 184634425 0,2393'.43353 0,2844444444 0,2393143353 О,!!84634425 Где ЪГ =АЗ(У) Н(у)(1 — У4. Аналогичные соотношения можно получить и для тетраэдра. На фиг.
8.11 показано расположение точек интегрирования в треугольниках при и = 1, 2, 3. Видно, что они расположены неравномерно и несимметрично. Кроме того, в направлениях Ез точность интегрирования различна. Другое (более изящное) расположение точек, предложенное Хаммером и др. (12$ позволяет существенно упростить расчет; весовые коэффи- 0,3333333333 (1,0) 0,1550510257 0,6449489743 (1,0) 0,0885879595 0,4094668644 0,7876594618 (1,0) 0,0571041961 0,2768430136 0,5835904324 0,8602401357 (1,0) 0,0398098571 0,1980134179 0,4379748102 0,6954642734 0,9014649142 (1,0) 0,75 (0,25) 0,3764030627 0,5124858262 (0,1111111111) 0,2204622112 0,3881934688 0,3288443200 (0,0625) О,!437135608 0,2813560!5! 0,3118265230 0,2231039011 (0,04) О, 1007941926 0,2084506672 0,2604633916 0,2426935942 0,1598203766 (0,277777778) Криволинейные изопараметрические элементы Фиг. 8.11, Точки интегрирования для треугольники при использовании ме- тода Гаусса — Радо. циенты для выражений,.
аналогичных (8.34), приведены в табл. 8.3 1131. Можно убедиться, что точек всегда столько или немного больше, чем требуется для получения полных полиномов заданного порядка. Очевидно, что эти результаты можно обобщить и на тетраэдры. В табл. 8;4 представлены некоторые формулы из работы И2). 8Л 1.
Заключительные замечания В этой главе показано, каким образом можно построить большое количество криволинейных элементов. Необходимость использования методов численного интегрирования потребовала описания некоторых из них. Дальнейшие подробности можно найти в различных учебниках по численному анализу. Очевидно, что численное интегрирование является приближенным. Вопрос о том, какая степень точности необходима в практических задачах, будет рассмотрен и следующей главе. Там же будут приведены основные принципы организации программ при использовании численного интегрирования. Таблица 8Л Формулы численного интегрирования для треугольников Весовые коэффи- циенты 2%'в точ- ки Порялок элемента Ь-коорлинаты Ошибка Рисунок 1 1 1 3' 3' 3 Первый к=О(Ь~) Ь Второй 27 48 25 48 Третий Эта формула не рекомендуется из-за отрицательного весового коэффициента и ошибок округления 1 1 3' 3' 3 8 50 й= О(Ь4) Третий 1 1 — — О 2' 1 О, 2' 2 1 1 — О, 2' ' 2 1 1 1 3' Т' 3 11 2 2 15 ' 15 ' 15 2 11 2 15 ' 15 ' 15 2 2 11 15' 15' 15 †, †, о ~ 1 1 О, —, — 1 —, о, 1, О, О 1 О, 1, 0 О, О, 1 / 1 3 1 3 1 3 Продолжение табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
