Метод конечных элементов (1061787), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Как и раньше, можно показать, что если объемные силы постоянны, то компоненты их результирующей распределяются по узлам элемента равномерно 1см, (4,34Н. Фиг. 6.3, Составной злемент с восемью узламн и два способа разбиения его на пять тетраздров (а и 6). 112 6,3. Составные элементы с восемью узлами т я Иногда при аппроксимации объема отдельны ер ется наглядность, что может легко п ивест ьными тетраэд ами р нумерации злов и т. у в и т.
д. Удобнее разбивать пространство на восьмиугольные ткирпичикиъ. Зто осуществ е твляется, как показапл фиг, рассечением трехмерного тела паралл оскостями и разбиением полученных се раллельными угольники. х сечении на четырехЗлементы так кого типа можно считать состоящи скольких тет аэ ов р др в, построение которых осуществляется с помощью простой логической программы.
Н но на фиг. 6.3 люб " апример, как показа-. эд ов дв мя фиг, любои кирпичик можно разделить на пя р у (и только двумя) различными способами. Ус е- пять тетранение результатов этих двух типо б и ипов раз иения ппиводит к незначительному увеличению точнос . Н ти. апряжения хо ошо и еставлять усредненными по всему кирпичику, Ф . .. соб разбиения восьмиугольного ~ннр и Фиг, 6.4. Спо пичикаъ на шесть тетраад~он.
сь 9~ ! Ъ сь Ь ! М~ <:ь ф~ Ь ИГ Ягй В Й П ез Ф ~> РФ м Ж Ц» ж О и ~4 О3 Р' щ Сб Ф ы Д ~й ~, И Ю И о Ф Д ,Я~ со ь 1 Ю у- дl г~"/Н ~~ й ~с~ Ь) 1~ $ Я. ! П В~ ! $ ф %~ 'Ъ ф, Фэ . ~Ъ сь Ь 3 4 ! Й П М М М е~ 4> э а Ж СФ Я ~0 ~Ъ Ф 3 СО а. ц) И сб М ; о ФЗ ~Я~ М Ю у. И г~/й "~ П „и ~т» ! !! ~Я о х Ф И' Ф ОЪ ь а О $ о 3 И 3 , в 3 о ф Й г .е В 1 ! ° 1 М И ж Д Ф» 3с~ Я Ф. С.) 63 од ~ т И д Ф Ф «> Ю Ж ~, Ф~ о Я Сф ~р,~ ~ ( О3 Р. Ф Я М~ о© Щ $4 д,Ю д Р$ ж ~ Ю 1.~ а Ы ы~ Ю о о о о Я Щ Ф Ц Р'Ф Глава о 116 ЛИТЕРАТУРА 1. С!аНадЬег К.
Н„Раг!1он Л., В!!1аап! Р. Р., $!гевв Апа1ув!з о! Неа!ес! Согпр1ех 8Ьарев, АЯЯ Х., 700 — 707 (1962); есть русский перевод: Галлагер, Падлог, Бейлард, Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву, Ракетная техника и космонавтика., 32, № 5, стр. 52— 6! (1962). 2. Ме1овЬ К. Л., Ягцс!цга! Апа1уз1в о! 5оИв, Ргос. Атег. Яос.
С1е, Ещ., 8. Т. 4, 205 — 223 (Ацд. 1963). 3, Агдуг1в Л, Н,, Ма1пх Апа1ув1в о! ТЬгее-1Итепвюпа! Е1аз!1с Мед!а— Бгпа11 апг! 1.агре В!вр!асегпеп!з, УА1АА, 3, 45 — 51 (Лап. 1965); есть русский перевод; Аргнрис, Матричный анализ малых и больших перемещений в трехмерных упругих средах, Ракетная техника и космонавтика, 3, № 1, стр. 177 — 186 (!965). 4. Агйуг!з Л. Н., ТЬгее-01шепв!опа! Ап!зо!гор!с апг! 1пЬопю8епеоцв Мейа— МаФпх Апа1уз1в 1ог Ягпа11 апг! 1.агие Р1зр1асегпеп1з, 1паеа1оиг АгсУйо., 34, 33 — 55 (1965). 5. КавЬЫ У. К., КосЬепЬацвег %., Ргеззцге Уеззе! Апа1ув1з Ьу Р!п!!е Е1етеп! ТесЬпщцез, Ргос.
Соп1. оп Ргез!геззег! Сопсге!е Ргевзцге Чевзе1з, 1пз!. С1у. Еп8'., 1968. 6, Агдуг!з Л, Н., Соп!1пца апд Изсоп!1пца, Ргос. Соп!. Ма!пх Ме!Ьодв 1п 5!гцс!цга! МесЬап!сз, %пдЬ! Ра!!егвоп А1г апогее Вазе, ОЬ1о, Ос!. 1965. 7. 1гопз В. М., Епд!пееппд Арр1!са!1опз о! Ицшег!са! 1п!енота!1оп 1п 8!111- певв Ме!Ьос!з, И1АА, 4, 2035 †20 (1966); есть русский перевод: Айронс, Инженерные приложения численного интегрирования в методе жесткостей, Ракетная техника и космонавтиКа, 4, № 11, стр. 213 — 216 (1966). 8. Егьа!оцг!1з Л., 1гопв В. М., Е!епЫеж1св О. С., ТЬгее О!шепз!опа1 Апа1уз1в о! АгсЬ Вагиз апг1 ТЬе!г Гоцпг!и!!опз, Ргос. Зубр. АгсЬ вагиз, 1пз!.
С(ч. Ецд., 1968. 9, Агдуг1з Л. Н., Кег!вЬаю Л. С., ТЬгее 01тепз1опа! Апа1уз1в о1 Тщо АгсЬ Вагиз Ьу а Нп!!е Е1егпеп$ Ме!Ьоб, Ргос. Яугпр. АгсЬ 1)ашв, 1пв!. С1ч. Епа., 1968. 10. Це1д 5., «ТЬгее 1)!гпепв!опа! ТЬеогу о! Е1аз!1св», Г1п1!е Е1егпеп! Ме1Ьог!з (п Ягевз Апа1ув!з, Но1апд 1„ВеП К., ег!з., ТесЬ. !Лпж, о! Могзу, Тар1г Ргезв, ТгопйЬе!гп, 1969. 11. Редго Л, О,, ТЬез1з 1967, 1.аЬоага!ог1о Ь!асюпа1 де ЕщепЬаг!а С!А!1, ЫвЬоп. простой задачи пришлось решать систему из 375 уравнений.
В работах !5 — 111 с помощью тетраэдральных элементов рассмотрены более сложные задачи. На фиг. 6.7, взятой из работы Я„ приведены результаты расчета сосуда высокого давления слоиной формы. В этой задаче рассматривалось около 10000 степеней свободы. В гл. 9 будет показано, что использование более сложных элементов позволяет провести достаточно точный расчет аналогичной задачи с гораздо меньшим общим числом степеней свободы.
ГЛАВА 7 ФУНКЦИИ ФОРМЫ ЭЛЕМЕНТА. НЕКОТОРЫЕ СЕМЕЙСТВА ЭТИХ ФУНКЦИЙ 7.1. Введение В предь|дущих трех главах дано довольно подробное описание, как могут быть поставлены и решены задачи линейной теории упругости с помощью конечных элементов простейших форм. Хоти подробные выкладки проведены только для функций формы, относящихся к треугольным и тетраэдральным элементам, очевидно, что точно так же можно было бы рассмотреть и другие элементы. Фактически если выбран тип элемента и определены соответствующие функции формы, то все дальнейшие действии просты, порядок их ясен и они могут быть выполнены вычислителем, не знакомым с физическим содержанием задачи.
Из последующего станет ясно, что вполне возможно составить программу, позволяющую решать на машине широкие классы задач только при задании определенных функций формы. Однако выбор функций представляет собой вопрос, требующий разумного решения, в принятии которого роль человека пока является определяющей. В настоящей главе излагаются правила построения некоторых семейств одномерных, двумерных и трехмерных элементов. В задачах теории упругости, рассмотренных в гл. 4 — 6, перемещения представляли собой двух- или трехкомпонентный вектор, а функции формы записывались в матричном виде. Однако функции формы строились для каждой компоненты в отдельности, и матричные выражения, по существу, получались путем умножения некоторой скалярной функции на единичную матрицу [см., например, (4.7), (5.3) и (6.7Ц.
Поэтому в этой главе ограничимся рассмотрением только скалярных функций формы й; (штрихи в обозначениях опущены) . Функции формы, использованные при решении задач теории упругости в перемещениях, удовлетворяли критериям сходимости глав 2 и 3: а) непрерывность только неизвестных должна иметь место между элементами (т. е. непрерывность угла наклона не требуется); б) функция должна допускать выбор произвольной линейной формы„обеспечивающей постоянство деформаций (постоянство первой производной функции), Глава 7 От функций формы, которые рассматриваются в этой главе, требуется только, чтобы они удовлетворяли этим двум критериям, Поэтому их можно использовать во всех задачах предыдущих глав и в других задачах, в которых требуется выполнение только этих условий.
Например, введенные здесь элементы и функции можно использовать во всех задачах гл. 15. Фактически они примейимы всегда, когда в функционал т (см. гл. 3) входят производные только первого порядка. Семейства элементов отличаются друг от друга числом степеней свободы. Возникает вопрос: можно ли получить преимущества экономического или какого-либо другого характера, усложняя элемент путем увеличения числа степеней свободы? Ответить на него нелегко, хотя можно сказать, что, как правило, при заданной степени точности усложнение элемента приводит к.уменьшению общего числа неизвестных. Однако экономичность алгоритма определяется как временем счета, так и степенью сложности подготовки входных данных. При уменьшении числа переменных может заметно увеличиться время, необходимое для получения основных соотношений, хотя время решения уравнений при этом уменьшается. В предыдущей главе уже упоминалось, что повышение эффективности алгоритма особенно важно при решении трехмерных задач, Это важно и при решении других задач, поэтому в каждом конкретном случае должна быть найдена оптимальная форма элемента.
ДВУМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 7.2. Прямоугольные элементы. Некоторые предварительные соображения Очевидно, что (особенно, если читатель привык использовать декартову систему координат) простейшим плоским элементом является прямоугольник со сторонами, параллельными осям х и д, Рассмотрим, например, прямоугольник, изображенный на фиг.
7.1. Здесь узловые точки пронумерованы от 1 до 8. Значения неизвестной функции ф в них представляют собой параметры элемента, Как определить функции формы для элемента такого типа? Предположим сначала, что они являются полиномами по х и у. Для того чтобы функция ф была непрерывна между элементами, она должна изменяться вдоль верхней и нижней границ по линейному закону. Для каждого из элементов, расположенных выше или'ниже рассматриваемого прямоугольника, существуют две точки, в которых функции принимают заданные зна- Фунниии 4орлы элемента чения, и, так как два значения единственным образом определяют линейную функцию, условие непрерывности выполняется во всех точках этих сторон.
Это обстоятельство уже использовалось при выборе линейной функции формы для треугольника. Аналогично если вдоль вертикальных сторон принят кубический закон изменения функции формы, то условия непрерывности на них выполняются, так как четыре значения единственным образом определяют кубическое разложение. Первый критерий при этом удовлетворяется. Фиг. 7.1. Прямоугольный элемент. Для того чтобы производная могла принимать любые наперед заданные значения, в разложении необходимо учитывать все линейные члены.
Так как для определения функции имеется восемь точек, в разложении можно оставить только восемь членов, т. е. можно положить Ф = а!+ а2х+ азУ+ а4хУ+ азу'+ а,ХУ'+ а,У'+ аахУз. (7.1) Вопрос о том, какие именно члены следует сохранить в полиноме, можно решить единственным образом, если оставить члены возможно более низкого порядка, хотя мы поступили по-другому' ).
Читатель может легко убедиться, что теперь выполнены все необходимые требования. Подставляя координаты различных узловых точек, получим систему уравнений для определения коэффициентов. Она запи- ') Сохранение в разложении члена высшего порядка, а не более низкого приводит обычно к несколько худшей аппроксимации, хотя сходимость при этом сохраняется Щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
