Метод конечных элементов (1061787), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Круглое отверстие в области однородного напряженного состояния. Очевидно, что этот результат следует из постановки задачи, но тем не менее он полезен для первоначальной проверки вычислительных программ. Линейно изменяющееся поле напряжений. В этом случае предположение о постоянстве напряжений внутри элементов означает, что решение всегда будет приближенным, На фиг. 4.4 в качестве примера представлены результаты расчета при довольно грубом разбиении балки, работающей в условиях чистого изгиба. Видно, что осевые напряжения о„, полученные методом конечных элементов, берут в свилкуъ точное решение. Если постоянные по элементам значения напряжений отнести к центрам тяжести элементов и нанести их на график, то прямая, наименее отклоняющаяся от этих точек, фактически является точным решением, Компонента напряжения в горизонтальном направлении и напряжение сдвига отличаются от точных (нулевых) значений — оии колебл1отся около них с Небольшой амплитудой, Плоскал задана теории упругости Можно убедиться, что если напряжения во внутренних узлах вычисляются как средние по примыкающим к ним элементам, то они очень мало отличаются от точных.
Однако на внешних поверхностях усреднение дает несколько худшие результаты. Усреднение напряжений в узловых точках часто применяется для уточнения приближенного решения (фиг. 4.4). Для уточнения решения в узловых точках, расположенных вблизи поверхности конструкции, можно использовать усреднение с весом. Нам, однако, кажется, что для получения большей Фиг. 4.6. Сравнение теоретических результатов с результатами решения мето- дом конечных злементов задачи, иллюстрированной иа фиг, 4.5. а — иаотропныа материал; б — ортотронныа материал, Е =Е =1, Е =Е =3, т =0,1 К 1 ' и О, О =0,42. — точное. решение для оесконечнои нлаетины; О решение. нолучен- ное методом конечных"элементов.
точности целесообразнее производить разбиение на более мелкие элементы. Концентрация напряжений. На фиг. 4.5. и 4.6. иллюстрируется тестовая задача о концентрации напряжений. Исследуется распределение напряжений вокруг круглого отверстия в изотропном и слоисто-анизотропном материалах в условиях однородного напряженного состояния вдали от отверстия ~6). Чтобы можно было лучше изучить область, в которой ожидаются большие градиенты напряжений, используется неравномерное разбиение. Сравнение некоторых результатов расчета с точными решениями (3, 7) (фиг, 4,6) позволяет сделать вывод о высокой точности метода. Глава 4 4.4. Некоторые практические приложения Очевидно, что возможности применения метода коне чпых элементов практически безграничны.
В настоящее время при исследовании плоских задач этот метод благодаря своей высокой точности, низкой стоимости и универсальности часто заменяет эксперимент. Преимуществами метода являются простота Фнт. 4.7. Подкрепленное отверстие в пластине. Вдали от отверстяя однородное напряженное состояние о !Ос, о 30. Толщины онла. Х Д стен пластины А, и н Сотносятсякак1:3: 23. (Перемещение в направлении д на ося'л равно нулюа учета анизотропии свойств материала, а также легкость решения задач о температурных напряжениях н задач о действии объемных сил. Ниже будет приведено несколько примеров применения метода к решению сложных инженерных задач. Распределение напряжений около подкрепленного отверстия (фиг. 4.7).
В стальных сосудах высокого давления нли на несущих поверхностях самолетных конструкций часто приходится делать различные отверстия. Входящий трубопровод сам несколько подкрепляет отверстие, и, кроме того, для уменьшения напряжений, возникающих из-за эффектов концентрации, стенка вблизи отверстий обычно утолщается. Плоская задача теории упругости Исследование таких задач в плоской постановке не вызывает затруднений. Выбор размеров элементов и их расположение определяются характером изменения толщины.
Узкий утолщенный слой материала вблизи края отверстия можно аппроксимировать специальными элементами балочного типа или просто обычными треугольными (сильно вытянутыми) элементами. В задаче, иллюстрированной на фиг. 4.7, использовался последний способ, позволивший изучить распределение напряжений вблизи отверстия. Отметим, что исследовалась область сравнительно больших размеров н при решении применялось неравномерное разбиение. Тектонические напряжения в анизотропной долине [61 (фиг. 4.8).
Рассматривается симметричная долина, находящая-. ся под действием однородных напряжений в горизонтальном направлении. Порода состоит из различных слоев; следовательно, материал трансверсально изотропен с изменяющимися от точки к точке направлениями слоев. Анализ полученных напряжений указывает на существование области растяжения. Это явление представляет интерес для геологов и инженеров, занимающихся механикой горных пород.
Плотина под действием внешнего и внутреннего давлений воды 18, 91 (фиг. 4.9). Исследуется опорная плотина на.сложном скалистом основании. Неоднородное основание находится в условиях плоской деформации, а сама плотина рассматривается как пластина переменной толщины (плоское напряженное состояние), Исследование нагружения внешними силами и собственным весом не ставит новых проблем, хотя, возможно, следует отметить, что оказалась полезной автоматизация расчета узловых нагрузок, вызванных силой тяжести. Некоторого разъяснения требует случай действия внутреннего давления в порах.
Хорошо известно, что в пористом материале давление воды действует на конструкцию в виде обвемной силы величиной Х= —— др У= —— др дч ду и что в этом случае нет необходимости рассматривать внешнее давление. Давление в порах р, как это следует из формулы (4.36), является потенциалом объемных сил. Разбиение рассматриваемой области и тела плотины на элементы показано на фиг. 4.9. На фиг. 4.10,а и б приьедень, значения напряжений, возникающих под действием силы тяжести (учитывается только собственный вес плотины) и давления воды, которое рассматривается либо как внешняя нагрузка, либо как внутреннее давление в порах, оспюяьюая кусите стенки 1лсна 82,5м с'!! ~У» Ю ! ! ! ! ! ! ! ! 'Е ~А ~ 3,7м Шй7 гыадыб~та*лайся лах оууаии- жюиа) жж7ся аЛсУи- рел~ещении щячисс Фиг.
4.9, Расчет напряжений в контрфорсной плотине. Предполагаются плоское напряженное состояние плотины н плоская деформация основания. а — сечение рассчитываемого контрфорса; б — рассчитываемый участок основании и ко- нечные элементы. Плоская задача теории упругости Оба решения указывают на наличие больших областей растяжения, но очень важно отметить, что во втором случае уровень напряжений выше. Растрескивание. В приведенном примере растягивающие напряжения, без сомнения, вызовут образование трещин в породе.
Если процесс распространения трещины устойчив„то можно считать, что плотина в безопасности. Наличие трещин рчтслУае (б' Яажра тусгжют ИИЮШР ного аа стати Фиг. 4.Н. Напряжения в контрфорсной плотине. Введение в расчет затрещины» меняет распределение напряжений (нагружение такое же, как на фиг.
4.!О, б). легко учесть в расчете, если приравнять нулю упругие постоянные соответствующих элементов. На фиг. 4.11 показана расчетная схема и результаты расчета при наличии клинообразной трещины у края плотины. Видно, что при таком размере трещины в теле плотины не возникает никаких растягивающих напряжений. Более подробно исследование распространения трещин и связанного с ним перераспределения напряжений будет описано ниже (см. гл. 18). Температурные напряжения. В качестве примера расчета температурных напряжений рассматривается та же плотина при В аснооамии температура не изменаетт Фиг.
4.12. Расчет напряжений в контрфорсной плотине. Температурные напряжения при охлаждении заштрихованной области до — 9,44 'С (Е = 202 10'о Н/ма, а = 1,08.10-5 1/'С). ююэ Фпг. 4.!3. Большая водоподъемная плотина с быками и предварительно на- пряженной арматурой. ы л Б Щ о Л О ж аГ о о Ф2» Ф Ж И о С; Плоская задача геораа апругоста довольно простом распределении температур, Результаты расчета приведены на фиг. 4.12.
Гравитационные плотины. Расчет опорной плотины является характерным примером применения метода конечных элементов. Несложно рассмотреть и другой тип плотины — гравитационную плотину с быками или без них. На фиг, 4.13 приведены результаты расчета большой плотины с быками н подъемными затворами, Ясно, что в этом случае аппроксимация напряженно-деформированного состояния в окрестности резкого изменения геометрии сечения, т. е. в области, где быки соединяются с телом плотины, двумерным состоянием сомнительна. Однако она приводит лишь к локальным ошибкам. Здесь важно отметить, что для одновременного изучения концентрации напряжений в местах крепления тросов и распределения напряжений в плотине и в основании используются элементы разных размеров. Линейные размеры элементов относятся как ЗО:1 (самые большие элементы, использовавшиеся для исследования основания, на рисунке не показаны), Подземная электростанция.
Зтот пример, иллюстрированный на фиг. 4.14 и 4.15, демонстрирует возможности метода, Главные напряжения вычерчиваются ЭВМ автоматически. Расчеты проводились при различных начальных напряжениях (гго), что связано с неточностью знаний геологических условий, Возможность быстрого решения задачи и представление результатов в.виде графиков позволили оценить границы изменения напряжений и принять техническое решение, 4.5.
Особенности исследования плоского деформированного состоянии в несжимаемом материале Следует отметить, что соотношение (4.20), определяющее матрицу упругости 101 для изотропного материала, теряет смысл, если коэффициент Пуассона становится равным 0,5, так как при этом знаменатель обращается в бесконечность. Зту трудность можно просто обойти, если в расчете использовать значения коэффициента Пуассона, близкие к 0,5, но не равные этой величине. Однако опыт показывает, что такой прием ухудшает решение. Геррманн 1101 предложил другой метод, связанный с использованием нового вариационного принципа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
