Метод конечных элементов (1061787), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Для плоского напряженного состояния изотропного материала имеем по определению о„чад е = — — — +е х е ь' хО> 1>0>> Оу еу= — е + д +еуО> (4.17) 2 > 1 + >>) тху У~у Е + У~у0 Разрешая эти соотношения относительно напряжений, получаем матрицу Я в виде 1 ~> О Р1= 1 е 'ч 1 О О О 2 (4.18) где Š— модуль упругости, а ~ — коэффициент Пуассона. Плоское деформированное состояние в изотропном материале. В этом случае, кроме трех компонент напряжения, суаествует нормальное напряжение о,.
Для частного случая изотропного теплового расширения имеем + а6', (4.19) 2(1+ ю) т„у У~ф— и, кроме того, Исключая о„определим три остальные компоненты напряжения, Полагая начальную деформацию в (4.13) равной нулю и сравнивая с соотношением (4.1б), получаем матрицу 10) в виде О (4.20) Плоскал задача теории упругости Анизотропные материалы. Для описания зависимости между напряжениями и деформациями в случае общей анизотропии в трехмерном состоянии необходима 21. независимая упругая постоянная 14, 5). Для двумерного состояния число независимых постоянных в матрице Щ не превышает шести Поэтому в самом общем двумерном случае можно написать 4 Аз с(22 да, Симметрично с~аз (4.21) (Необходимость симметрии матрицы [0) следует из теоремы взаимности Максвелла — Бетти и является следствием инва- Фит.
4.3, Слоистый (трансверсально-изотропный) материал, Плоскость слоев параллельна плоскости х, и. риантности энергии относительно пути достижения заданного деформированного состояния.) Особый практический интерес представляет «слоистый» или трансверсально-изотропный материал, в слоях которого существует круговая симметрия свойств. Свойства такого материала характеризуются пятью независимыми упругими постоянными. Общие соотношения между напряжениями и деформациями в этом случае в обозначениях„введенных Лехницким ~41, при направлении оси и (фиг.
4.3), перпендикулярном плоскости слоев, и отсутствии начальных деформаций имеют вид ч~ог ох ах 1 Е Ф 1 ~2ох оф Ег + Ез Глава 4 (4.22) Здесь постоянные Еп ч~ (61 — зависимая величина) характеризуют поведение материала в плоскости слоев, а Е2, 62, ч2— в перпендикулярном к ним направлении. В двумерном случае матрица [01 после введения обозначе- ний Е1 — =и . Е2 принимает для плоского напряженного состояния вид О 0 т(1 — вч ) П П72 Е2 (1 2) п~2 0 0 (4.23) а для плоской деформации Х вЂ” ~, — 2П~2) [и†(1+ ч,) (1 Если же слои расположены под некоторым углом к оси х, как показано на фиг.
4.2, то для получения матрицы [Ц в произвольной системе координат необходимо выполнить преобразование. Обозначая через [О'1 матрицу, связывающую напряжения и деформации в системе координат х', д', легко показать, что [В) = [Т1 [В') [Т1' (4.25) где [Т1 — матрица, введенная в (4.15). Если напряжения (а') и [о) соответствуют деформациям (в') и 1з), то из условия равенства работ (о')" [а') = И' (в) и (1 пч2) пч2(1+ ч,) О Ч О'„ ~2ад О~ ~г Е Е + Е» 2(1+ ъ,) Ухз Е, ~ХГ» 1 Уху= д '~ху» 1 Туз ц туг. и'»»2 (1 + »»1) О (1 — 4) О т(1+ м,)(1 — ч, — 2пч~2) Плоская задача теории упруеости или (а')т (щ (а') = (в)т 10) (в) после подстановки (4.15) следует равенство (4.25) (см, гл.
1). 4.2.Б. Матрица жесткости Матрица жесткости элемента Цт определяется с помощью общего соотношения (2.1®,' в соответствии с которым ~Й1= ~ ~В1чз1 81!Шхуну, (4.26) где 1 — толщина элемента, а интегрирование производится по площади треугольника. Если предположить, что толщина эле-. мента постоянна, что тем ближе к истине, чем меньше размеры элемента, то, поскольку ни одна из матриц не содержит х или у, имеем простое выражение Щ = 1В1т (ЕЦ 1В1 И, (4.27) где Л вЂ” площадь треугольника 1введенная соотношением (3.5)). Такая форма записи позволяет вычислить матрицу с помощью ЗВМ.
Матрицу 1В1, определенную соотношением (4.10), можно записать в виде ь, о 1В)=~В~, В~, В ), где ~В~~= 0 сс 2Л и т. д, (4.28) ег Ь| Матрица жесткости может быть записана в виде И„~» й,,„ ~ы й~у где подматрицы размерности 2К2 строятся следующим образом: р ) щтд р~~~ (4.30) (4.29) Такая форма часто бывает удобной для вычислений, 4.2.6.,Узловые силы, обусловленные начальной деформацией Эти силы определяются в явном виде выражением (2.12), которое после интегрирования принимает вид (Р) = — (В)тЯ~аз1И и т. д.
(4.31) Расчленяя это соотношение, можно записать (РД' = — 1В;1 (й] 1ао1 И и т. д. Силы, обусловленные начальной деформацией, распределя|отся по узлам элемента неравномерно и должны быть вычислены точно. Аналогичные выражения получаются для сил, обусловленных начальными напряжениями. 4.2.7. Распределенные объеиные силы В общем случае плоского напряженного или деформированного состояния на каждый элемент единичной площади в плоскости х, у действуют силы (') (Р), = — ~ Щ" ( „. ) Их Шу, или, на основании (4.7), (Рл = — (,) ~у,ихду и т.
д., (4.33) при условии, что объемные силы Х и У постоянны. Так как У~ не является постоянной, должно быть выполнено интегрирование. Некоторые общие формулы интегрирования для треугольника приведены в приложении 111. Если за начало координат выбран центр тяжести элемента, вычисления упрощаются. В этом случае хдхс(д = у Охи=О, и, используя (4.8), получаем (РДР= — ~1,~ ~ а~дхду/2Л= — ~у~а~/2, цли, учитывая примечание на стр.
62, имеем Х (Р1Ь== 1, Ц3=(Р~)Р=ЯЗР. в направлениях соответствующих осей. В соответствии с (2.11) вклад этих сил в узловые силы определяется выражением Плоская задача теории упругости Ясно, что для всякого элемента Х Ь'/3 (4.35) Это означает, что все объемные силы, действующие в направле- ниях х-и д, распределены между тремя узлами поровну, Этот факт не противоречит физическому смыслу и часто неявно ис- пользовался.
4.2.8. Потенциал объемйих сил Во многих случаях объемные силы определяются через потенциал объемных сил ф в виде (4.36) и чаще не значения Х и У, а именно этот потенциал известен по- всюду в области и считается заданным в узловых точках. Если ®е содержит три значения потенциала в узлах элемента, т.
е. имеет вид столбца (4.37) то в случае постоянных Х и У потенциал ф должен изменяться внутри элемента по линейному закону. Функция формы для него, очевидно, может быть построена, как и ранее ~см. (4.4)— (4.б)1, в виде ф=~М';, Ф~, Ж; ~®'. (4.38) Следовательно, дФ ~Ь;, Ь~, Ь ) (Ф)~ д 2Ь ~ (Ф)е ду И (4.39) Вектор узловых сил, обусловленных потенциалом объемных сил, будет описываться соотношением Ь| Ь~ сс с~ Ью Ь! сю с~ Ь~ Ьу с~ с~ в заменяющим (4.35). 4.2.9. Вычисление напряжений 4.3. Примеры.
Оценка точности Не вызывает сомнения, что решение плоских задач. теории упругости методом, изложенным в разд. 4.2, при неограниченном уменьшении размеров элементов стремится к точному. Однако при любом конечном числе разбиений это решение будет приближенным, как, скажем, решение в виде ряда Фурье с ограниченным числом членов. Как уже объяснялось в гл. 2, приближенное значение полной энергии деформации всегда будет ниже истинного значения, соответствующего точному решению. Практически это означает, что полученные перемещения, а следовательно, и напряжения будут в целом заниженными. Однако следует подчеркнуть, что все это не всегда справедливо для каждой отдельной точки сплошной среды. Поэтому практическое значение такой оценки невелико. Полученные формулы дают возможность составить полную матрицу жесткости конструкции и получить решение для перемещений.
Матрица напряжений, определяемая в общем виде равенством' (2.15), получается для каждого элемента после соответствующих подстановок. По предположению напряжения постоянны внутри элемента. Обычно их приводят к центру тяжести; это будет сделано и в большинстве примеров этой главы. Иногда значения напряжений в узлах получают усреднением напряжений в смежных элементах.
Кроме того, имея некоторый опыт, можно использовать и метод усреднения «с весом», но он не намного лучше. Обычно с-помощью ЭВМ определяются главные напряжения и их направления в каждом элементе. Плоская задача теории упруеости Инженеру весьма важно знать, какая точность может быть достигнута в рассматриваемых задачах при уменьшении размеров злементов.
В каждом частном случае ошибку можно оценивать путем сравнения решения с известным точным решением или путем изучения сходнмости по результатам, полученным при разном числе разбиений. ,щчЬае еееьие узлах Фиг. 4.4. Результаты решения задачи о чистом изгибе балки при достаточно грубом разбиении на треугольные элементы. (Значения напряжепнй о„, о и т»з приведены в указанном порядке.) Глана 4 При наличии опыта инженер может заранее оценить порядок точности результатов для данной конкретной задачи при задашюм числе разбиений.
Некоторый такой опыт, вероятно, можно приобрести, изучая примеры, приведенные в этой книге. Сначала рассмотрим некоторые простые задачи, для которых известны точные решения. Однородное поле напряжений. В этом случае решение, полученное методом конечных элементов, будет полностью совпадать с точным решением независимо от числа разбиений. Фиг, 4,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
