Метод конечных элементов (1061787), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Чем больше степеней свободы имеет система, тем точнее будет приближенное решение, которое в пределе стремятся к точному, соответству|ощему истинному равновесию, Таким образом, теперь можно сформулировать необходимые условия сходимости метода конечных элементов. Обсуждение этих условий перенесем, однако, в следующий раздел. Интересно отметить, что если истинное равновесие требует абсолютного минимума полной потенциальной энергиит,топриближенное решение, полученное методом конечных элементов, будет давать всегда завышенное значение т.
Таким образом, предельное значение полной потенциальной энергии всегда может быть оценено. Если бы функция т была известна априори, то уравнения метода конечных элементов можно было бы получить непосредственным дифференцированием в соответствии с (2,30), Подставляя в (2.28) определяющее уравнение теории упругости (2.3) и полагая, что нагрузки не зависят от перемещений, ') Если внешняя нагрузка обладает потенциалом, эти выражения могут рассматриваться как полные дифференциалы где величина Х называется полной потенциальной энергией. Это.
означает, что для обеспечения равновесия полная потенциальная энергия должна принимать стационарное значение. Система уравнений метода конечных элементов (2,25), полученная выше, является, по существу, отражением того, что варьирование перемещений осуществляется по конечному числу параметров (о). Эта система может быть записана в виде Глава 2 после интегрирования получаем (2.31) В этом соотношении выражение в первых квадратных скобках соответствует величине У, а во вторых — К, На практике выражение для полной потенциальной энергии обычно записывается сразу, что часто более удобно для метода конечных элементов. Читатель может убедиться в этом, если в качестве упражнения получит точные соотношения метода конечных элементов предыдущего раздела, исходи из уравнения 12.31) и дифференцируя по перемещениям, определяемым в соответствии с (2.19).
В хорошо известном приближенном методе Релея — Ритца 18, 91, часто применяемом для решения задач теории упругости, используется именно этот подход. Записывается выражение полной энергии и полагается, что форма перемещений зависит от конечного числа неизвестных параметров. Далее выводится система уравнений из условия минимума полной потенциальной энергии по этим параметрам. Таким образом, метод конечных элементов в изложенной постановке эквивалентен методу Релея — Ритца, Разница состоит только в способе задания перемещений.
В методе Ритца они обычно задаются функциями, определенными на всей области и приводящими, следовательно, к системе уравнений, которая имеет заполненную, а не ленточную матрицу коэффициентов. В методе конечных элементов перемещения задаются поэлементно. Каждый узловой параметр связан только с примыкающими к этому узлу элементами, и в результате получается малозаполненная, обычно ленточная матрица коэффициентов.
Применения обычного метода Ритца ограничиваются относительно простыми геометрическими формами области, тогда как в методе конечных элементов простую форму должны иметь только элементы. Еще одно различие состоит в том, что в методе конечных элементов неизвестными обычно являются узловые перемещения. Это допускает простую физическую интерпретацию. Своей популярностью метод конечных элементов в значительной степени, несомненно, обязан именно этому факту.
2.5. Критерии сходимости Действительный минимум энергии никогда не может быть достигнут ни -при каком числе разбиений, так как задание функций формы ограничивает число степеней свободы системы, Конеыные элементы упругой среды Чтобы гарантировать сходимость процесса к точному решению, необходимо удовлетворить некоторым простым требованиям.
Например, очевидно, что функция перемещений должна как можно точнее описывать истинные перемещения. Нельзя выбирать функции, которые допускают деформацию элемента при перемещении его только как жесткого тела. Таким образом, первый критерий, которому должна удовлетворять функция перемещений, формулируется следующим образом: Критерий 1.
Функция перемещений должна быть выбрана таким образом, чтобы не возникала деформация элемента при узловых перемещениях, вызванных его смещением как жесткого тела. Это очевидное условие может быть легко нарушено при использовании некоторых типов функций. Поэтому при'выборе функций перемещений следует соблюдать осторожность. Второй критерий основывается на аналогичных требованиях. Ясно, что при уменьшении размеров элементов деформация в иих будет стремиться к постоянной.
Если в теле возникает однородная деформация, то желательно, чтобы она была такой и при достаточно больших размерах элементов. Можно подобрать функции, которые удовлетворяют первому критерию, но дают переменные по элементу деформации при узловых перемещениях, соответствующих условию постоянной деформации. Такие функции в общем случае не дадут хорошей сходимости и не смогут даже в пределе описать истинное распределение напряжений. Итак, второй критерий может быть сформулирован следующим образом: Критерий 2. Функция перемещений должна быть такой, чтобы в случае, когда узловые перемещения соответствуют условию постоянной деформации, это состояние действительно реализовывалось в элементе 1здесь опять подразумевается обобщенная деформация).
Следует отметить, что критерий 2 согласуется с требованием критерия 1, так как перемещение элемента как жесткого тела есть частный случай постоянной (нулевой) деформации. Этот критерий впервые был предложен Базелем и др. 110) в 1965 г. Наконец, как уже было упомянуто в разд. 2.3, неявно подразумевается, что границы раздела между элементами не дают никакого вклада в виртуальную работу. Как следствие появляется необходимость ввести следующий критерий: Критерий 3.
Функции перемещений должны быть выбраны так, чтобы деформации на гранииах между элементами были конечными (даже если они там не определены~1, Этот критерий означает непрерывность перемещений на границе между элементами. В случае когда деформации определяются через первые производные, как в приведенной здесь Глава 2 в качестве примера плоской задаче, непрерывными должны быть только перемещения. Если же, однако, деформации определяются вторыми производными, как в задачах о пластинах и оболочках, то должны быть непрерывными также и первые производные от перемещений Я.
Последний критерий математически означает требование «полноты функций», с которым читатель может более глубоко познакомиться, например, по работам 111 — 151. Эвристическое доказательство условий сходимости, данное здесь, вполне достаточно для практических целей, за исключением самых необычных случаев.
2.6. Функции перемещений с разрывами между элементами В некоторых случаях возникают существенные трудности при выборе функций перемещений элемента, которые были бы непрерывными по всей его границе со смежными элементами. Как уже указывалось, разрывность перемещений приведет к бесконечным деформациям на границах между элементами. Этот факт не учитывался ранее, поскольку предполагалось, что вклад в энергию вносят только сами элементы. Однако если в пределе при уменьшении размеров элементов непрерывность восстанавливается, то мы все же придем к правильному результату. Это условие практически выполняется, если: а) условие постоянной деформации автоматически гарантирует непрерывность перемещений, б) выполняется критерий предыдущего раздела о постоянной деформации, В некоторых задачах, рассмотренных в этой книге, с успехом будут использоваться разрывные функции перемещений такого типа. Однако при этом нельзя уже оценить значения функционала энергии.
2.7. Предельное значение энергии деформации при использовании метода перемещений Хотя приближенное решение, полученное методом перемещений, всегда дает завышенное значение полной потенциальной энергии ~ (абсолютный минимум которой соответствует точному решению), знания этого иногда бывает недостаточно для практики. В некоторых случаях, однако, можно получить более удобную оценку. Рассмотрим, в частности, задачу, в которой отсутствуют начальные деформации или начальные напряжения.
В соответ- Конечные элементы упругой среды ствии с принципом сохранения энергии энергия деформации должна быть равна работе внешних сил, равномерно возрастающих от нуля ~161. Эта работа равна — 'ЙЖ', где К вЂ” потенциальная энергия нагрузок. Таким образом, и+ — юг=о 1 (2.32) или Х=У+ В'= — У (2.33) на истинном или приближенном поле перемещений. Следовательно, в данном случае приближенное решение всегда занижает значение У и полученное перемещение часто рассматривается как нижняя граница решения. В случае когда задана только внешняя сосредоточенная нагрузка Я, можно сделать вывод, что величина смещения при действии этой нагрузки будет занижена (так как У = — '/2Ю" = = '/ФЦ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
