Метод конечных элементов (1061787), страница 10
Текст из файла (страница 10)
д» ду д» ду ' Их можно было и оставить, но тогда уравнение (3.43) получилось бы нелинейным, причем матрица Щ зависела бы от скоростей. Решение таких уравнений слишком сложно, чтобы его подробно рассматривать здесь, однако можно использовать обобя1яения рассмотренных в гл. 18 методов решения нелинейных задач. 3.7. Заключительные замечания В этой главе понятие конечных элементов используется для приближенного решения вариационных задач н рассматри-. вается возможность непосредственного приближенного решения дифференциальных уравнений. Области применения обоих подходов еще недостаточно изучены.
Некоторые общие идеи, изложенные в этой главе, рассматривались Оденом [151. Обоби(ение понятия конечных элементов ЛИТЕРАТУРА 1. Сгапда11 Б. Н., Епд!пеег1пд Апа1ув1в, Мигаю-Н1!1, 1956. 2. %авЬ|хп К,, Чаг!а1!опа! Ме1Ьойя !и Е!авИс11у апг! Р1авИс11у, Региагпоп Ргеяв, 1968. 3. %е1пв1осЬ К., Са1сн1цв о1 Чаг1аИопя, Мсбгаж-111!1, 1952, 4. Вегд Р. Ь!., Са!сц1ня о1 Чаг!аИопя, СЬ. 16 1п: Напг!Ьоо!г о1 Епфпеег1пд МесЬап!св, Г!йнне %., ед„Мсбга~ч-И!11, 1962. 5. Зон(Ьже11 К. Ъ',, Ке1аха1юп Ме1Ьог!в !и ТЬеоге11сз РЬув!св, Ох1огг! Спи.
Ргевв, 1946. 6. Гогву1Ье О. Е., %аво~ч %. К., НпИе И11егепсе Ме1ЬосЬ 1ог РагИа1 ИПегепИа1 Ег1цаИопя, %!1еу, 1960; есть русский перевод: Вазов В., Форсайт Дж., Разностные методы решения дифференциальных уравйений в частных производных, ИЛ, 1963. 7. Р!ап Т. Н. Н. апг! Топд Р., Вав1в о1 Нп!1е Е1егпеп1 Ме(Ьойв 1ог БоИ СопИпна, ХиУ. Х. Фит. Мегй. Хи Епл., 1, 3 — 28 (1969).
8 Ме1овЬ К. Д., Вяз!в 1ог ВегйгаИоп о1 Ма1г1сев 1ог И1е Игес1 8И11певв Ме1Ьо6, УАУАА, 1, 1631 — 1637 (1963); русский перевод: Мелош, Основы получения матриц для прямого метода жесткостей, Ракетная техника и космонавтика, 1, № 7, стр. 169 — 176 (1963). 9. Р1ап Т. Н. Й., 0егЬга1!оп о1 Е1егпеп1 ЯП1певв Ма1г1сев, ХАУАА, 2, 576— 577 (1964); есть русский перевод: Пиан, Получение матриц жесткости элементов. Ракетная техника и космонавтика, 2, № 9, стр. 20 (1964).
10. Яа!гио18 1., Вонпг!агу Ча1пе РгоЫегпв 1п Ма(йешаИсз апд РЬув!св, Маспп11ап, Ь1. т., 1966. 11. ЗяаЬо В. А., !ее О. С., 0егюаИоп о1 ЯИ11пезв Ма1г1сев 1ог РгоЫегпв 1п Р1апе Е1авИс!1у Ьу Оа1егЫп Ме1Ьог1, Хи$. Х. Шит. Мегй.
Еил., 1, 301 — 310 (1969). 12. 1.ааегз!гоги Р. А., СЬапн 1. Р., Р!о~ч а1 1ою Кеупо!г!я ИшпЬегв„СЬ. 81 !и: Напг!ЬооЕ о1 Епд. МесЬ., Р10иие %„ег!., Мсбгаи-Н1!1, 1962. 13. 0ос(огз 1.. 1., Ап АррИсаИоп о1 1Ье НпИе Е1егнеп1 ТесЬп1цпе 1ог Вонпг!агу Уз!не РгоЫегпв о1 Ро(епИа1 Р1оег, Хп1. Х, Уит. МеВ.
Еии., 2, 243— 252 (1970). 14. А1Ыпвоп В., Вгоск1еЬапЬ М. Р., Сагд С С. М., Яш!1Ь У. М., 1о~ч КеупоЫз Ь1нгпЬег Вече!ор1па' Иож, А. !. СУь Еиу. Х„15, 548 — 553 (1969). 15. Оден Х.'Т., А Оепега! ТЬеогу о1 НпИе Е1егпеп1в: 1, Торо!он!са! СопвЫегаИопз, рр. 205 — 221; 11, Арр!1саИопз, рр. 247 — 260; Хи$, Х. Уит. Мей. Еид., 1 (1969). йлоскал задача теории упругости 4.2.
Характеристики элементов 4.2.1, Функции перемещений На фиг. 4.1 показан типичный треугольный элемент с узлами 1, ~, тп, пронумерованными против часовой стрелки. Перемещения каждого узла имеют две компоненты Йе) а шесть компонент перемещений элемента образуют вектор 6; (о)'= б; б„, (4.2) Перемещения внутри элемента должны однозначно определяться этими шестью величинами, Ясно, что простейшим пред- Фнг.
4.1. Элемент сплошной срепы для расчета плоского напряженного нли плоского деформированного состояния ставлением являются линейные полиномы и,=а, +а,х+ азу, о = ~и4 + п5х + Оеу- Значения шести постоянных а; легко найти из двух систем„состоящих из трех уравнений, которые получаются в результате подстановки в (4.3) узловых координат и приравнивания перемещений соответствующим перемещениям узловых точек.
Записав, например, и» = а1 + а2х» + азу», и»= а, + ар»+ а~у», и =а, +а2х +а у, (4А) выразим аь а2, а, через величины узловых перемещений и», и», и и окончательно получим 1 и = —, ((а» + Ь»х+ с»у) и» + (а»+ Ь»х+ с»у) и»+ + (а + Ь„х+ с,„у) и ), (4.5а) где »»» = х»ущ — хну», Ь»=у» у =у» с» х — х» —— х», остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов », », и, а величина 2Л определяется соотношением Аналогично можно представить перемещение о в вертикальном направлении: 1 о ((О» + Ь»х+ с»у) О» + (а» + Ь»х + с»у) О» + + (а„, + Ь~х+ с~у) п„Д.
(4.6) Хотя на данном этапе и этом нет особой необходимости, можно записать соотношения (4.5а) и (4.6) в стандартной форме (2.1): И = =М(й'=РК М, ИЯ®', (4.7) где 1 — единичная матрица размерности 2 ~(2, а с» + Ь»~ + »»у К= н т. д. Прииечание; если за начало координат принять центр тяжести элемента, то й~ х»+ х,„+ х»= у»+ у,„+ у~ —— О и ໠— — — = »»» —— а„.
1 х» у» 1 х» у» 1 хщ Ут =2 ° (площадь треугольника»»ж). (4.5в) плоская задача ~еории уаругости Выбранная функция перемещений автоматически гарантирует непрерывность перемещений между смежными элементами, так как вдоль любой стороны треугольника они изменяются линейно, и, следовательно, из равенства перемещений в узлах следует их равенство по всей границе. 4.2.2. Деформации (полная) Полную деформацию в любой точке внутри элемента можно охарактеризовать тремя составляющими, которые дают вклад во внутреннюю работу: — +— ду дх Используя равенства (4.7) или (4.5а) и (4.6), имеем дУ дх ит ду дх ду дх ду что явным образом определяет матрицу (В~ из равенства (2.2)'. Следует заметить, что в этом случае матрица (В1 не зависит от координа- точки вйутри элемента, и, следовательно, деформации в нем постоянны.
Очевидно, что эти функции формы удовлетворяют критерию постоянства деформаций, приведенному в гл, 2. 4.2.3. Начальная деформация (' температурная деформация) Начальные деформации, т. е. деформации, не зависящие от напряжений, могут возникать по разным причинам. Усадка, рост кристаллов или чаще всего колебания температуры будут дУ', — О дх дУ; О й ду дУ~ дУ~ дУ~ дх дУ~ О ду дУ~ дУ~ ди дх до ду ди до О Ь О Ь О сс О с~ О с,„(Я', (4;10) Ь~ с~ Ь~ с Ь Глпва 4 приводить в общем случае к начальным деформациям, характеризуемым вектором ~хо (Ч = ело ° (4.1 1) Ухуо Хотя величина этой начальной деформации, вообще говоря, может зависеть от координат точки внутри элемента, обычно фнг. 4.2. Элемент длн расчета слоистого (транснерсально-нзотропного) мате- риала.
она считается постоянной и равной некоторому среднему по элементу значению. Это согласуется с условием постоянства деформаций, которому отвечает принятая функция перемещений. Таким образом, в случае плоского напряиенного состояния изотропного материала для нагретого до температуры О' элемента при коэффициенте линейного расширения я будем иметь иО' (ае) = аО' (4.12) О поскольку при тепловом расширении деформации сдвига отсутствуют, Сложнее случай плоской деФормации. Предположение о плоской деформации означает, что ри тепловом расширении воз* никают напряжения в плоскости, перпендикулярной к плоскости х, у, даже если отсутствуют остальные компоненты напряжения„ Плоская задача тсории упругости Следовательно, величина начальной деформации будет зависеть от упругих постоянных.
Можно показать, что в этом случае Ое (вО) = (1+ ъ') аО' о где ч — коэффициент Пуассона. Особого рассмотрения требуют анизотропные материалы,для которых коэффициенты линейного расширения могут быть различными в разных направлениях, Пусть х' и у' на фиг. 4.2 соответствуют главным направлениям материала.
Начальная температурная деформация для случая плоского напряженного состояния в этих координатах будет ах'О а,О е (6О) = вд'О = а20 е Ух'д"О О (4.14) где а1 и аз — коэффициенты линейного расширения в направлениях х' н у' соответственно. Чтобы получить компоненты деформаций в координатах х и у, необходимо использовать соответствующую матрицу 1Т1 преобразования деформаций: (аОГ= 1Т1'( д (4.15) Легко проверить„ что соз'~ з1п'~ — 2 з1п ~ сов~ (Т~ = з1пх р созхр' 2 з1п р соз р з(п ~соз(1 — з1п~ сов~ соз'(1 — з1гР~ где р — угол, определенный на фиг.
4.2. Таким образом, (вД легко вычисляется. Следует заметить, что в координатах х, у компоненты деформаций сдвига отличны от нуля. 4.2.4. Матрица упругости Матрица Я, входящая в соотношение (2.3), которое в рассматриваемом случае имеет вид (о) = од = 1ЕЦ в„— (вз) тху Уху может быть записана в явном вийе для любого материала (в это соотношение не включен аддитивный член (оО)), (4.16) 3 3'. ОИ Плоское напряженное состояние в изотропном материале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
