Метод конечных элементов (1061787), страница 14
Текст из файла (страница 14)
соотношения (4.28) — (4.30)1 вида [Й„[ — 2п ~ ~[В[~[В[[В[тйгЫг. [Б.[5[ Целесообразно выделить в подматрицах ~В) постоянную и переменную части. Так, например, можно написать И[1 =1Й+ РЯ, (5.16) где ~ВД вЂ” матрица [ВД для центра тяжести элемента 1использованная в (5.14)], а второе слагаемое — отклонение от этой величины. Легко показать, что это слагаемое можно записать в виде О О О О (а[ + с~г)/[" — (а + е~й)/г Ю)= 2Л О О (5.17) Подставляя эти выражения в (5.15) и замечая, что 1[в[[г [.
[ -[о[, Осесиаметрииное напряженное состояние получаем (и„1=~6„1+ ~ь,',1, (5.18) где первое слагаемое в точности совпадает с (5.14), а второе— поправочный член, определяемый выражением О О 0 0 х ~ ~ца,+»,»т» — (а,+с,»»я иа,+»»т» — ~а,+»дя»и»ш». ~Б.!9~ Если для интегралов использовать сокращенные обозначения » 1 —,Й Иа=Ь ° 1„ —,с1 де=А 1,„ (5.20) 6.2.6. Внешние узловые силы В двумерных задачах, рассмотренных в предыдущей главе, вопрос определения узловых сил, обусловленных внешней нагрузкой„был настолько ясен, что не нуждался в комментариях.
В рассматриваемом случае, однако, следует иметь в виду, что узловые силы изображают совокупность сил, действующих по всей длине окружности, образующей «узел> элемента. Это обстоятельство уже учитывалось при составлении матрицы жесткости элемента, когда интегрирование проводилось по всей кольцевой области элемента. Следовательно, если ~7 представляет собой радиальную составляющую силы на единицу длины окружности узла радиуса г, то в расчетах должна использоваться внешняя «сила> 2лгЛ.
Аналогично сила в осевом направлении 2лгЛ характеризует совокупность осевых сил. то окончательно поправочный член можно записать в виде Е~:.1- »» ~ „, ~ Х Х (а„а, (1, — 1Р) + (а,с, + ад.) (12 — г/Р) + с,с, (1З вЂ” АР)). (5.21) Интегралы 1, — 1З вычисляются в явном виде через узловые координаты. Глава 5 5.2.7. Узловые силы, обусловленные начальной деформацией Снова используя (2.9), получаем [Р['„= — 2» ~ [В[ [О[ [»,[»Ип[». ~5.22) Учитывая, что деформация (ев) постоянна, для каждого узла можно записать (5.23) Интегрирование осуществляется тем же способом, что и при определении жесткости.
Ясно, что опять можно использовать приближенное выражение )в У т~ с поправочным членом. Таким образом, имеем Р'4'„= Р'[) + Ю) Однако можно показать, что в этом случае поправочный член равен нулю, так как [Р[[ =2»Ц[в[[» [» [»)р[Ы=О. поэтому представление (Р~)' = — 2л~В1 ~,О) (еДИ (5.26) является точным.
Силы, обусловленные начальными напряже- ниями, определяются таким же образом. Б.2.8. Распределенные объемные силы При решении осесимметричных задач часто возникает необходимость рассматривать распределенные объемные силы, такие, как сила тяжести ~если она действует вдоль оси а), центробежная сила ва вращающихся механизмах,, внутреннее давление в пористом материале. Запишем такие силы в виде вектора где Я, У вЂ” компоненты силы в направлениях г и а соответ- ственно на единицу объема материала.
В соответствии с ~2.И) имеем Осесим,яетричное ноар женное состояние или для 1-Го узла (Р Д', — — 2п ~ ( ~ ) РЛт Ит йи. Если в первом приближении допустить, что объемные силы по- стоянны, то с помощью переноса начала координат, так же как в подразд. 4.2.7, легко получить р )е ф)е ф )е 2 ГЬ Хотя это выражение не совсем точно, можно показать, что величина поправочного члена уменьшается с уменьшением размеров элемента и вследствие самоуравновешенности он не приведет к заметной ошибке. Ясно, что в случае необходимости интегрирование в (5.28) можно произвести точно.
Если объемные силы заданы потенциалом, аналогичным введенному в подразд, 4.2.8, т. е. дф Л= —— дт (5.30) и если этот потенциал линеен относительно своих узловых значений, то можно использовать выражение, эквивалентное (4.40). Во многих задачах объемные силы пропорциональны расстоянию т от оси симметрии. Например, во вращающемся теле (5.31.) Я =В'рГ, где о — угловая скорость, а р — плотность материала. Очевид- но, что аппроксимация (5.29) в этом случае будет очень грубой, и для получения хорошего результата необходимо точное ин- тегрирование. Б,2.9. Вычисление напряжений Можно показать, что значения напряжений несколько колеблются от элемента к элементу и усреднение узловых напряжений позволяет улучшить результат, Как следует из формул (5.5) и (5.6), напряжения не постоянны внутри элемента.
В этом случае удобно усреднять напряжения и относить их к центру тяжести элемента. Матрица напряжений, получающаяся из формул (5.6) и (2.3), имеет, как обычно, вид (о)'= РИЙ (й' — Р1 (вэ) + (и ). Фиг. 5.4. Напряжения в сфере при действии внутреннего давления (коэффициент Пуассона т = 0,3), а — треугольные элементы-значення в центрах тяжестн," б — треугольные элементы ° усреднение но узлам; в-нетырехугольные элементы — усреднение по смежным треугол никам. Фнг.
5.5. Перемещения внутренней и внешней поверхностей сферы при показан- иом на фиг. 5.4 нагружении. -2 Фиг. 5.6. Сфера прн установившемся распределении температур (100'С на внутренней поверхности н О' на внешней). а †распределен температуры и напряжении по радиусу; б-усреднение по четырехугольникам. †. точное решение; ~ усреднение по треугольникам; 0 усреднение по четырехугольникам. Глава 6 5.3. Некоторые примеры Решения тестовых задач, таких, например, как задачи о цилиндре с постоянными осевыми или радиальными напряжениями, как и следовало ожидать, совпадают с точными. Это очевидное следствие того, что функция перемещений может описывать однородные деформации. Задача о сфере под действием внутреннего давления, для которой характерно почти линейное изменение напряжений, имеет точное решение.
На фиг. 5.4,а показаны отнесенные к центрам тяжести элементов напряжения, полученные при использовании достаточно крупной сетки. Следует отметить, что полученные напряжения несколько колеблются около точного решения. (Эти колебания становятся еще более заметными при ббльших значениях коэффициента Пуассона, хотя точное реше- Фиг. 5.7. Сосуд реактора высокого, давления. а — использованные врв расчете четырехугольные элементы, разбиение иа элементы осу. ществлвлось эвм автоматически; б — напряжения при равномерно рагйределенвом давлении р ~чертеж, выполненный ЭВМ), При решении определялись средние по четырехуголь. никам значении.
Коэффициент Пуассона и О,!5. ние не зависит от него.) На фиг. 5.4,6 приведено гораздо лучшее приближенное решение, полученное усреднением значений напряжений в узловых точках; с помощью усреднения, результаты которого приведены на фиг. 5.4,в, решение можно еще 101 Осесимиетричное напряженное состояние улучшить. Хорошее совпадение с точным решением даже при использовании весьма грубого разбиения свидетельствует о высокой точности метода. На фиг.
5 5 с точным решением сравниваются перемещения узловых точек. На фиг. 5.6 показаны температурные напряжения в той же самой сфере, вычисленные для установившегося температурного поля, Сравнение с точным решением снова показывает высокую точность метода. 5.4. Практические приложения метода В этом разделе приводятся два примера практического применения метода к исследованию осесимметрического нагружения.
Фнг. 5.8. Сосуд реактора высокого давления. Температурные напряжения в установивгпемся состоянии. Линии максимальных главных напряжений (фунт~дюйм'). (температура внутри 400'С, снаружи О'С, а = 5!О-' 1/'С, Е = 2,58 10' уунт/дюйм~, ч 0,15.) Реактор из предварительно напряженногожелезобетонапод давлением. На фиг.
5.7 показано распределение напряжений в упрощенном варианте такого реактора. Вследствие симметрии рассматривается только одна его половина. Приведены р-г,ХИРН ааи = 600 чаи =0,25 диуф сдаи-са' ила сааи итжт длили, Фиг. 5.9а. Сван в слоистом грунте. Нерегулярное разбиение и исходные данные. а ~ааяаи в~к~.е» ' Фиг. б,96. Свая в слоистом грунте График вертикальных напряжений в горизонтальных сечениях. Показано также решение задачи Буссинеска при Е, = = Еэ ~ Есваа И ПроиадЕНО СраВИЕИИЕ С ТОЧНЫМ рЕШЕИИЕМ.
— точное решение эадачц Вуссанеска; 4, решение эадачн Вуссннеска методом хонеч- ВЫК ЭЛЕМЕНТОВ; ЧЭ РЕЩЕННЕ ЭаДаЧН О Савв МЕТОДОМ ХОНЕЧаЫХ ЭЛЕМЕНтОВв Осесимметричное напряженное состояние 1Оз напряжения, возникающие при действии внутреннего давления. Аналогичные результаты легко получить для случая предварительно напряженной арматуры, если в узловых силах учесть нагрузку от арматуры. На фиг.
5.8 приведейы линии равных максимальных главных температурных напряжений, Температурные напряжения и само температурное поле в установившихся условиях определены с помощью метода конечных элементов, как описано в гл, 15. Свая фундамента. На фиг. 5.9а и 5.9б показано распределение напряжений вокруг сваи фундамента, проходящей через два различных пласта грунта.
Решение этой неоднородной задачи не представляет трудностей и получается с помощью стандартной программы. 5,5. Несимметричное нагружение Метод, изложенный в настоящей главе, может быть распространен на случай несимметричного нагружения. Если изменение нагрузки по окружности описывается с помощью круговых гармоник, то можно рассматривать только одно осевое сечение, хотя число степеней свободы при этом увеличивается до трех.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
